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1、27.2.2相似三角形应用举例(第1课时)1.1.运用三角形相似的知识，解决不能直接测量的物体的长度和运用三角形相似的知识，解决不能直接测量的物体的长度和高度高度.（重点）（重点）2.2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力（重了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力（重点、难点）点、难点）一、相似三角形的性质一、相似三角形的性质相似三角形的对应角相似三角形的对应角_，对应边的比等于，对应边的比等于_._.二、相似三角形的性质的应用二、相似三角形的性质的应用物高与影长物高
2、与影长.如图，高为如图，高为ABAB，DEDE的两物体在同一时刻阳光下的影长为的两物体在同一时刻阳光下的影长为BCBC，EF.EF.相等相等相似比相似比【思考思考】(1)AC(1)AC与与DFDF的位置关系是的位置关系是_._.(2)ABC(2)ABC与与DEFDEF具有什么关系？具有什么关系？提示提示:相似相似.(3)(3)由（由（2 2）得）得 =_.=_.【总结总结】在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的高度与影长在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的高度与影长_.平行平行成正比成正比 （打（打“”“”或或“”）（1 1）中心投影下，物高与影长成正比）中心投影下，物高与影长成正比.（）（2
3、2）在阳光下，两个物体的高度与影长成正比）在阳光下，两个物体的高度与影长成正比.（）（3 3）在灯光下，不同的物体的影长也有可能相同）在灯光下，不同的物体的影长也有可能相同.（）知识点知识点 1 1 应用相似三角形测量物体的高度应用相似三角形测量物体的高度【例例1 1】问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量.下面是下面是他们通过测量得到的一些信息：他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图甲组：如图1 1，测得一根直立于平地，长为，测得一根直立于平地，长
4、为80 cm80 cm的竹竿的影长的竹竿的影长为为60 cm.60 cm.乙组：如图乙组：如图2 2，测得学校旗杆的影长为，测得学校旗杆的影长为900 cm.900 cm.丙组：如图丙组：如图3 3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为其粗细忽略不计）的高度为200 cm200 cm，影长为，影长为156 cm.156 cm.任任务务要求要求(1)(1)请请根据甲、乙两根据甲、乙两组组得到的信息得到的信息计计算出学校旗杆的高度算出学校旗杆的高度.(2)(2)如如图图3,3,设设太阳光太阳光线线NHNH与与O O相切于点相切
5、于点M.M.请请根据甲、丙两根据甲、丙两组组得得到的信息到的信息,求景灯灯罩的半径求景灯灯罩的半径(友情友情提示提示:如如图图3,3,景灯的影景灯的影长长等等于于线线段段NGNG的影的影长长;需要需要时时可采用等式可采用等式1561562 2+208+2082 2=260=2602 2).).【解题探究解题探究】（1 1）根据同一时刻，竖直的两个物体的高度与）根据同一时刻，竖直的两个物体的高度与影长影长_，你得到的比例式是，你得到的比例式是:_，代入数据解得，代入数据解得DEDE的长为的长为_cm.cm.（2 2）根据（根据（1 1）中的计算方法，计算出）中的计算方法，计算出GNGN的值：的值
6、：提示提示:,即即GN=208GN=208成正比成正比1 2001 200连接连接OMOM，根据切线的性质，可以得到，根据切线的性质，可以得到OMOM与与MNMN的关系是的关系是_.根据勾股定理，得根据勾股定理，得NHNH的长为的长为_ cm.cm.垂直垂直260260此时在图中，有哪两个三角形相似，为什么？此时在图中，有哪两个三角形相似，为什么？提示提示:OMNHGN,OMNHGN,理由是：有一个锐角相等的两个直角三角理由是：有一个锐角相等的两个直角三角形相似形相似.若设若设O O的半径为的半径为r cmr cm，根据，根据的结论，所得到的比例式为：的结论，所得到的比例式为：_.所列的方程为
7、：所列的方程为：_,解得：解得：r=r=_所以，景灯灯罩的半径是所以，景灯灯罩的半径是_ cm cm12121212【互动探究互动探究】求灯罩的半径时，还有什么方法？求灯罩的半径时，还有什么方法？提示提示:利用相似三角形的性质，得到利用相似三角形的性质，得到MN=r,MN=r,在在RtOMNRtOMN中应用中应用勾股定理列方程求解勾股定理列方程求解.【总结提升总结提升】利用相似三角形测量物体高度的一般步骤利用相似三角形测量物体高度的一般步骤1.1.画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形.2.2.测量与表示未知量的线段相对应的边长
8、，以及另外一组对应测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外一组对应边的长度边的长度.3.3.利用相似三角形的性质列出包括以上四个量的比例式，解出利用相似三角形的性质列出包括以上四个量的比例式，解出未知量未知量.4.4.检验并得到答案检验并得到答案.知识点知识点 2 2 应用相似三角形测量宽度应用相似三角形测量宽度【例例2 2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点目标作为点A A，再在河的这一边选点，再在河的这一边选点B B和和C C，使，使ABBCABBC，然后，再，然后，再选点选点E E，使，使ECBCECBC，用视线
9、确定，用视线确定BCBC和和AEAE的交点的交点D.D.此时如果测得此时如果测得BD=110 mBD=110 m，DC=55 mDC=55 m，EC=52 mEC=52 m，求两岸间的大致距离，求两岸间的大致距离AB.AB.【思路点拨思路点拨】ABBC,ECBCABBC,ECBC证明证明ABDECDABDECD应用相似应用相似性质列出关于性质列出关于ABAB的比例式的比例式代入数值计算代入数值计算ABAB的长的长.【自主解答自主解答】ABBCABBC，ECBCECBC，ABC=BCE=90ABC=BCE=90.ADB=CDEADB=CDE，ABDECDABDECD，即即 解得解得AB=104
10、m.AB=104 m.答：两岸间的大致距离答：两岸间的大致距离ABAB为为104 m.104 m.【总结提升总结提升】构造相似三角形测宽度三注意构造相似三角形测宽度三注意1.1.在构造的三角形中，被测对象必是其中一三角形的一边在构造的三角形中，被测对象必是其中一三角形的一边.2.2.注意把握注意把握“所构造的三角形除被测对象外其余的对应边易测所构造的三角形除被测对象外其余的对应边易测量量”的原则的原则.3.3.构造的方法较多，一般构造包括宽度在内的两个直角三角形构造的方法较多，一般构造包括宽度在内的两个直角三角形相似相似.题组一题组一:应用相似三角形测量物体的高度应用相似三角形测量物体的高度1
11、.1.（20132013白银中考）如图，路灯距离地面白银中考）如图，路灯距离地面8 m8 m，身高，身高1.6 m1.6 m的的小明站在距离灯的底部（点小明站在距离灯的底部（点O O）20 m20 m的的A A处，则小明的影子处，则小明的影子AMAM长长_m._m.【解析解析】由题意得由题意得,解得解得AM=5AM=5（m m）.答案答案:5 52.2.甲、乙两盏路灯底部间的距离是甲、乙两盏路灯底部间的距离是30 m30 m，一天晚上，当小华走，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部到距路灯乙底部5 m5 m处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部已知小华的身
12、高为乙的底部已知小华的身高为1.5 m1.5 m，那么路灯甲的高为，那么路灯甲的高为_m._m.【解析解析】设路灯甲高为设路灯甲高为x mx m，由相似得，由相似得 ,解得解得x=9,x=9,所以所以路灯甲的高为路灯甲的高为9 m.9 m.答案答案:9 93.3.如图，铁道口的栏杆短臂长如图，铁道口的栏杆短臂长1 m1 m，长臂长，长臂长16 m16 m当短臂端点当短臂端点下降下降0.5 m0.5 m时，长臂端点升高时，长臂端点升高_m_m（杆的宽度忽略不计）（杆的宽度忽略不计）【解析解析】设长臂上升的高度为设长臂上升的高度为x m,x m,根据题意得根据题意得 解得解得x=8.x=8.答案答
13、案:8 84.4.如图，小明为了测量一高楼如图，小明为了测量一高楼MNMN的高，在离的高，在离N N点点20 m20 m的的A A处放了处放了一个平面镜，小明沿一个平面镜，小明沿NANA后退到后退到C C点，正好从镜中看到楼顶点，正好从镜中看到楼顶M M点，点，若若AC=1.5 mAC=1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为，小明的眼睛离地面的高度为1.6 m1.6 m，请你帮助小，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到明计算一下楼房的高度（精确到0.1 m0.1 m）【解析解析】光线的入射角等于反射角，光线的入射角等于反射角，则分析可知则分析可知BAC=MANBAC=MAN，又，又BCCABC
14、CA，MNANMNAN，BCAMNABCAMNA，MNBC=ANACMNBC=ANAC，即，即MN1.6=201.5.MN1.6=201.5.MN=1.6MN=1.620201.521.3(m).1.521.3(m).所以楼房的高度约为所以楼房的高度约为21.3 m.21.3 m.【高手支招高手支招】镜面反射测高原理镜面反射测高原理（1 1）APB=CPDAPB=CPD，理由：，理由：入射角入射角APE=APE=反射角反射角CPE,BPE=DPE=90CPE,BPE=DPE=90，APB=CPD.APB=CPD.（2 2）ABP=CDP=90ABP=CDP=90.（3 3）ABPCDP.ABP
15、CDP.5.5.已知：已知：CDCD为一幢为一幢3 m3 m高的温室，其南面窗户的底框高的温室，其南面窗户的底框G G距地面距地面1 m1 m，CDCD在地面上留下的最大影长在地面上留下的最大影长CFCF为为2 m2 m，现欲在距，现欲在距C C点点7 m7 m的正的正南方南方A A点处建一幢点处建一幢12 m12 m高的楼房高的楼房ABAB（设（设A A，C C，F F在同一水平线上）在同一水平线上）（1 1）按比例较精确地作出高楼）按比例较精确地作出高楼ABAB及它的最大影长及它的最大影长AE.AE.（2 2）问若大楼）问若大楼ABAB建成后是否影响温室建成后是否影响温室CDCD的采光，试
16、说明理由的采光，试说明理由【解析解析】(1)(1)所作图形如图所示所作图形如图所示.（2 2）HEDFHEDF，HCABHCAB，CDFABECHECDFABECHE，AEAB=CFDCAEAB=CFDC，AE=8 mAE=8 m，由，由AC=7 mAC=7 m，可得，可得CE=1 mCE=1 m，由比例可知：由比例可知：CH=1.5 mCH=1.5 m1 m1 m，故影响采光，故影响采光题组二题组二:应用相似三角形测量宽度应用相似三角形测量宽度1.1.（20132013北京中考）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边北京中考）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点选定一个目标点A A，
17、在近岸取点，在近岸取点B B，C C，D D，使得，使得ABBCABBC，CDBCCDBC，点，点E E在在BCBC上，并且点上，并且点A A，E E，D D在同一条直线上在同一条直线上.若测得若测得BE=20 mBE=20 m，EC=10 mEC=10 m，CD=20 mCD=20 m，则河的宽度，则河的宽度ABAB等于（等于（）A.60 m A.60 m B.40 m B.40 m C.30 m C.30 m D.20 mD.20 m【解析解析】选选B.ABBCB.ABBC，CDBCCDBC，ABE=DCE=90ABE=DCE=90，又又AEB=DECAEB=DEC，ABEDCEABEDC
18、E，AB=40AB=40（m m）.2.2.如图，如图，A,BA,B两点被池塘隔开，在两点被池塘隔开，在ABAB外取外取一点一点C C，连接，连接AC,BCAC,BC，在，在ACAC上取点上取点M M，使，使AMAM=3MC,=3MC,作作MNABMNAB交交BCBC于于N N，量得，量得MN=38 mMN=38 m，则，则ABAB的长为的长为_m._m.【解析解析】MNAB,AM=3MCMNAB,AM=3MC，CMNCAB,CMNCAB,即即 ，AB=38AB=384=1524=152（m m）.答案答案:1521523.3.为测量湖两岸为测量湖两岸A,BA,B间的距离，小强选择一点间的距离
19、，小强选择一点C C，测得，测得BC=290 mBC=290 m，延长延长BCBC到到D D，使，使CD=10 mCD=10 m，过点，过点D D作作DEABDEAB交交ACAC的延长线于点的延长线于点E E，测得测得DE=30 mDE=30 m，求湖两岸的距离，求湖两岸的距离AB.AB.【解析解析】DEABDEAB，A=EA=E，B=DB=D，ABCEDCABCEDC，即即 AB=870 m.AB=870 m.答：湖两岸的距离答：湖两岸的距离ABAB是是870 m.870 m.【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图，某一时刻，身高为如图，某一时刻，身高为1.6 m1.6 m的小明站的小明站在离墙在离墙1 m1 m的地方，发现自己在太阳光下的影子有一部分在地的地方，发现自己在太阳光下的影子有一部分在地面上，另一部分在墙上，墙上的部分影子长为面上，另一部分在墙上，墙上的部分影子长为0.2 m0.2 m，同时他，同时他又量得附近一棵大树的影子长为又量得附近一棵大树的影子长为10 m10 m，求这棵大树的高度，求这棵大树的高度.提示提示:BC+CDBC+CD不能作为不能作为ABAB的影长的影长.