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1、n3.3 平衡原理n 与机理模型3.3 平衡原理与机理模型平衡原理与机理模型n一.平衡原理 n 自然界任何物质在其运动变化过程中n 一定受到某种平衡关系的支配。n二.机理模型 n 在一定的假设下，n 根据主要因素相互作用的机理，n 对它们之间的平衡关系的数学描述n关于假设n 是对实际问题的抽象、化简和规范n 是组建数学模型的基础和前提。n 假设较强，模型简单易分析和操作n 但与实际差距大。n 假设较弱，模型比较接近实际。n 但模型复杂不易操作。n关于平衡关系n1.平衡关系是数学模型的核心，建模的关键。n2.有些平衡关系是明显的。n 有些平衡关系隐藏在问题的背后 需要在化简之后逐渐明确出来。n3
2、.有些平衡关系本身就直接构成了模型。n 有些平衡关系还需要经过数学上 的加工整理才能得到理想的模型。n三.模型举例n例例1 1 买房贷款买房贷款：银行可以向购房人提供个人住房：银行可以向购房人提供个人住房贷款的业务。贷款的业务。n偿还贷款时要求借款人偿还贷款时要求借款人在借款期间内每月以相在借款期间内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。n试组建计算月均还款额的数学模型。试组建计算月均还款额的数学模型。n 假设假设:n 1.1.每月月底还款；每月月底还款；n 2.2.每月还款金额相等；每月还款金额相等；n 3.3.按月计算利息；按月计算利息；n 4.
3、4.到期欠款全部还清。到期欠款全部还清。n参量、变量参量、变量 n 贷款额：贷款额：A(万元万元)，n 贷款期限：贷款期限：N年年(n=12N月月),n 月利率：月利率：r，n 月均还款额：月均还款额：x。n模型模型n平衡关系：平衡关系：n 相相邻两月欠款余额之的关系邻两月欠款余额之的关系n本月月底还款后的欠款余额等于上月欠款余额本月月底还款后的欠款余额等于上月欠款余额的本利和扣除月还款后的金额。的本利和扣除月还款后的金额。令令Ck表示第表示第k月月底还款后的欠款余额，则有月月底还款后的欠款余额，则有n Ck=(1+r)Ck-1-x 令令 C*=(1+r)C*-x,则有则有 C*=x/r.可得
4、可得 Ck-C*=(1+r)(Ck-1-C*)=(1+r)k(C0-C*)利用利用 C0=A,Cn=0 和和 C*=x/r 可得可得 (1+r)n(A-x/r)-x/r=0 (1+r)nA-(1+r)n-1/rx=0例例:一位教师筹措月利息为一位教师筹措月利息为0.3675%的的15年公年公积金贷款积金贷款20万元买房。万元买房。1.每月等额偿还贷款。计算它的月均还款额。每月等额偿还贷款。计算它的月均还款额。2.他已经还款他已经还款20个月，想知道他还欠多少贷款？个月，想知道他还欠多少贷款？月均还款额月均还款额k月后的欠款余额月后的欠款余额练习：一项买房贷款期限练习：一项买房贷款期限15年，每
5、月支付年，每月支付0.51%利息的利息的20万元商品房贷款，每月应万元商品房贷款，每月应还款额是多少？还款额是多少？1 试组建计算等额本息（等额月均）还款的试组建计算等额本息（等额月均）还款的数学模型。数学模型。2 如果每月偿还当月利息后，再以每月相等如果每月偿还当月利息后，再以每月相等的额度偿还本金（等额本金还款）。的额度偿还本金（等额本金还款）。试组建等额本金还款的数学模型。试组建等额本金还款的数学模型。比较比较 2种还款方式的优劣。种还款方式的优劣。n问题nP88 15，14，13例例2.兔子的繁殖兔子的繁殖 I由一对兔子开始，一年可以繁殖成多少对兔子？由一对兔子开始，一年可以繁殖成多少
6、对兔子？假设兔子的生殖力是这样的：假设兔子的生殖力是这样的：一对兔子每一个月可以生一对兔子，一对兔子每一个月可以生一对兔子，兔子在出生两个月以后就具有繁殖后代的能力。兔子在出生两个月以后就具有繁殖后代的能力。假设：假设：1.每对兔子每一个月定生一对兔子。每对兔子每一个月定生一对兔子。2.兔子出生两个月后都具有繁殖能力。兔子出生两个月后都具有繁殖能力。3.兔子每经过一个月底就增加一个月令。兔子每经过一个月底就增加一个月令。4.兔子不离开群体（不考虑死亡）。兔子不离开群体（不考虑死亡）。变量、参量变量、参量 月份：月份：n，幼兔：幼兔：a0(n)，成兔成兔:a1(n)平衡关系：平衡关系：本月初本月
7、初(一月龄一月龄)的幼兔是上月成兔繁殖的后代。的幼兔是上月成兔繁殖的后代。本月的成兔是上月的成兔和上个月本月的成兔是上月的成兔和上个月(一月龄一月龄)的幼兔发育结果的总和。的幼兔发育结果的总和。模型模型 I a0(n)=a1(n-1)a1(n)=a0(n-1)+a1(n-1)a0(1)=1 a1(n)=0 目标：求到第目标：求到第12个月底兔子总数个月底兔子总数 a(12)=a0(12)+a1(12)相邻两月兔群数量的变化相邻两月兔群数量的变化 1.模拟模拟.a0(1)=1,a1(1)=0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a0(n)1 0 1 1 2 3 5 8 13
8、 21 34 55 a1(n)0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 a(n)1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 a(12)=144 斐波那契数列斐波那契数列(黄金数黄金数)a(n+1)=a(n)+a(n-1)2.证明斐波那契数列证明斐波那契数列(黄金数黄金数)的性质的性质 a(n+1)=a(n)+a(n-1)因为因为 a0(n+1)=a1(n)a1(n+1)=a0(n)+a1(n)=a(n)所以所以 a(n+1)=a(n)+a1(n)=a(n)+a(n-1)于是于是 a(n)/a(n+1)=1/a(n-1)/a(n)+1 记记 xn=a(n)/a(
9、n+1),则则 xn=1/1+xn-1 可以证明可以证明xn 收敛，记其极限为收敛，记其极限为x0，则由则由 x0=1/1+x0 得到得到 x0=0.618 3.模型的作用机理模型的作用机理 令令 a(n)=(a0(n),a1(n),则模型为则模型为 a(n)=A a(n-1)a11幼兔的繁殖能力，幼兔的繁殖能力，a12成兔的繁殖能力，成兔的繁殖能力，a21幼兔的发育为成兔的比例，幼兔的发育为成兔的比例，a22成兔存活的比例。成兔存活的比例。4.群体的渐近性质群体的渐近性质 A 有主特征值有主特征值=1.618 相应的右特征向量相应的右特征向量 L=(0.382 0.618)，于是，当于是，当
10、n 时时,a(n)/a(n)L群体的渐进增长速率为群体的渐进增长速率为1.618幼兔将占群体总数的幼兔将占群体总数的 0.382成兔将占群体总数的成兔将占群体总数的 0.618称称向量向量 L为种群的稳定分布。为种群的稳定分布。问题：如果每对兔子每月可生两对兔子，求这个种问题：如果每对兔子每月可生两对兔子，求这个种群的稳定分布。群的稳定分布。兔子的繁殖兔子的繁殖II 一对兔子每月可生一对幼兔，一对兔子每月可生一对幼兔，幼兔出生二个月后就具有繁殖能力，幼兔出生二个月后就具有繁殖能力，三个月后三个月后就离开群体。就离开群体。问一对幼兔一年后繁殖的群体多大？问一对幼兔一年后繁殖的群体多大？求这个种群
11、的稳定分布。求这个种群的稳定分布。假设假设 1.2.3 同上同上 假设假设4.兔子在三兔子在三个月个月 后后生完一对幼兔就离开生完一对幼兔就离开群体。群体。参量、变量参量、变量 月份月份:n,幼兔幼兔:a0(n),成兔成兔:a1(n),老兔老兔:a2(n)平衡关系平衡关系 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。本月初的老兔是上月成兔发育的结果。本月初的老兔是上月成兔发育的结果。n模型模型n a0(n+1)=a1(n)+a2(n)n a1(n+1)=a0(n)n a2(n+1)=a1(n)n
12、令令 a(n)=(a0(n),a1(n),a2(n),则则n a(n)=A a(n-1)n其中其中n分析分析n 1.模拟模拟.a0(1)=1,a1(1)=0,a2(1)=0n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12na0(n)1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9na1(n)0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7na2(n)0 0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5na(n)1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21n 2.证明证明 a(n+1)=a(n-1)+a(n-2)n a(n+1)=a(n)+a(n-4)n Padovan 数列数列(塑料
13、数塑料数)n矩阵矩阵A的特征方程为的特征方程为n 31=0n有特征值（渐进增长率）有特征值（渐进增长率）=1.3247n特征向量（特征向量（稳稳定的年定的年龄结龄结构）构）n （0.4302，0.3247，0.2451）离散模型离散模型（差分方程）的组建（差分方程）的组建利用平衡原理，利用平衡原理，找出每一步对前一步或前几步的依赖关系，找出每一步对前一步或前几步的依赖关系，得到以差分方程的形式描述的数学模型。得到以差分方程的形式描述的数学模型。n例例3.3.人口的自然增长人口的自然增长.n建模描述一个地区内人口的建模描述一个地区内人口的自然增殖自然增殖的的过程。过程。n即只考虑由于人口的生育和
14、死亡所引起即只考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。的人群数量变化的过程。n 令令N(t)N(t)表示表示t t时刻的人口数。时刻的人口数。n 假设假设1 1.人群个体同质。人群个体同质。n N(t)N(t)连续可微连续可微.n 假设假设2 2.群体规模大。群体规模大。n平衡关系：平衡关系：人口数在区间人口数在区间t t，t+t+t t内内的改变量等于这段时间内出生的个体的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差数与死亡的个体数之差。n假设假设3 3.群体封闭，只考虑生育和死亡群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。对人口的影响。n令令B(t,t,N),D(t,t,N)
15、分别表示生育分别表示生育数和死亡数数和死亡数,则有则有 n假设假设4.4.从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响（生育率和死亡率）n 生育率 b(t,t,N)=B(t,t,N)/Nn 死亡率死亡率 d(t,t,N)=D(t,t,N)/Nn则有由于R(t,t,N)|t=0=0，将R(t,t,N)关于t展开 令 t0 取极限可得假设5.群体增长恒定.则 r(t,N)=r(N)假设6.个体增长独立.则则 r(N)=rr(N)=r.n在离散时间点k=0,1,2,上有n N(k+1)=erN(k)=N(k)nMarthus 模型n“若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然
16、界为人类提供资料的能量的。n人口如果不受控制，它会以几何比率增长。而生活资料只能以算术比率增长。”n Marthus:论人口原理(1798年)n 给定初值 N(0)=N0，可得n假设1.人群个体同质。n假设2.群体规模大。n假设3.群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。n假设4.从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）n假设5.群体增长恒定。n假设6.个体增长独立。n模型的讨论n 1.作为人口自然增长，n 模型与实际是不一致的。n 许多地区人口增长不符合这个模型。n 2.只考虑增长和衰减时，n 模型是正确的。n 3.模型是可以改进的。草履虫实验室种群的动态(Gause
17、,1934)酵母细胞20小时内的动态(Pearl)n例例4.Logistic 模型模型n 模型模型:n在有限的资源内生物种群不可能无限增长在有限的资源内生物种群不可能无限增长.n存在有饱和水平存在有饱和水平,n种群增加接近饱和时增长速度减慢而趋于零种群增加接近饱和时增长速度减慢而趋于零.n 假设假设 60 需要修改需要修改:r=r(N),n r(N)K,N 0;N=K,N=0;N 0n K:环境承载力或饱和水平环境承载力或饱和水平.n K 时，模型退化为时，模型退化为 Malthus 模型，模型，n r：内禀增长率内禀增长率n 20.模型的解：分离变量法模型的解：分离变量法 递增，有极限递增，
18、有极限 K，依赖于三个参数。，依赖于三个参数。n30.模型的动态特征模型的动态特征n 平衡解：模型不依赖于时间的解平衡解：模型不依赖于时间的解n N0*=0，N1*=K。n 平衡解的稳定性：平衡解的稳定性：N0*不稳定，不稳定，N1*稳定稳定n例例5 池水含盐池水含盐n 问题问题n 池中有一定体积的盐水，池中有一定体积的盐水，n从池的上部向池中注入一定浓度的盐水从池的上部向池中注入一定浓度的盐水n混合后的盐水将从池的下部流出。混合后的盐水将从池的下部流出。n建模描述池中盐水浓度的动态。建模描述池中盐水浓度的动态。n假设：假设：n 1.盐水注入池中后迅速混合盐水注入池中后迅速混合n 2.池中盐水
19、浓度均匀。池中盐水浓度均匀。n平衡关系平衡关系n 在时间段在时间段t+t内内,池中盐水体积的改变量等池中盐水体积的改变量等于这段时间内流入盐水的体积与流出盐水体积于这段时间内流入盐水的体积与流出盐水体积之差；之差；n 在时间段在时间段t+t内内,池中池中(纯纯)盐的改变量等于盐的改变量等于这段时间内流入的这段时间内流入的(纯纯)盐的量与流出的盐的量与流出的(纯纯)盐的盐的量之差。量之差。n变量、参量：变量、参量：n 池中盐水体积池中盐水体积 V(t),池中盐水浓度池中盐水浓度 p(t);n 流入盐水速度流入盐水速度 rI(t),流入盐水浓度流入盐水浓度 pI(t);n 流出盐水速度流出盐水速度
20、rO(t),流出盐水浓度流出盐水浓度 p(t).n模型模型n池中盐水的改变量池中盐水的改变量 V(t+t)-V(t)n流入盐水量流入盐水量n流出盐水量流出盐水量n池中盐的改变量池中盐的改变量 p(t+t)V(t+t)-p(t)V(t)n 流入盐量流入盐量n n 流出盐量流出盐量n n利用积分中值定理可得利用积分中值定理可得 类似地有类似地有n模型模型n连续模型（微分方程）组建的连续模型（微分方程）组建的微元法微元法n 在自变量的在自变量的微小的区间微小的区间内以内以简单的形式简单的形式描述有描述有关变量之间的平衡关系关变量之间的平衡关系,n 再利用微积分学的思想进一步处理它再利用微积分学的思想
21、进一步处理它,得到以得到以微微分方程分方程的形式描述的数学模型的形式描述的数学模型。n例例5.录音机的运行录音机的运行n 建模分析磁带录音机的运行规律建模分析磁带录音机的运行规律(计数器的读计数器的读数与运行时间的关系数与运行时间的关系)。n 数据：数据：I.读数与时间读数与时间nt 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 31 -nn 9 18 28 37 47 97 151 211 280 362 382 385 n 数据：数据：II.读数与转数读数与转数k 2 4 10 14 18 22 26 31 35 41 60 1 2 5 7 9 11 13 15 17 20 29 n背
22、景背景n 1.磁带盒内有二个磁带轮：送带轮和收带轮磁带盒内有二个磁带轮：送带轮和收带轮n放音时送带轮上的磁带减少，缠于收带轮上放音时送带轮上的磁带减少，缠于收带轮上n 2.计数器只记录某个磁带轮转动的情况。计数器只记录某个磁带轮转动的情况。n计数器的读数不刚好是磁带轮的转数。计数器的读数不刚好是磁带轮的转数。n 3.磁带轮在放音时转动不是匀速的，送带轮加磁带轮在放音时转动不是匀速的，送带轮加速，收带轮减速。速，收带轮减速。n n假设假设 1.1.计数器记录了送带轮的转数。计数器记录了送带轮的转数。2.2.计数器的读数与送带轮的转数成正比。计数器的读数与送带轮的转数成正比。3.3.磁带运行的线速
23、度定常。磁带运行的线速度定常。4.4.磁带厚度均匀，缠绕松紧一致，无空隙磁带厚度均匀，缠绕松紧一致，无空隙 5.5.磁带缠绕一圈的周长等于缠绕的圆周长磁带缠绕一圈的周长等于缠绕的圆周长n参量、变量参量、变量n 读数：读数：n，带轮转数：，带轮转数：k,运行时间：运行时间：t(k)n 磁带厚度：磁带厚度：d，带芯轮半径：，带芯轮半径：r，n 磁带速度：磁带速度：v,磁带最多圈数：磁带最多圈数：Nn 第第 k 圈磁带的半径：圈磁带的半径：Rk，n 第第k圈磁带长度：圈磁带长度：Lkn平衡关系平衡关系n 运行运行k圈磁带的时间等于磁带的长度与运行速圈磁带的时间等于磁带的长度与运行速度之商。度之商。n
24、模型：模型：t=0 时时 n=0，送带轮缠满磁带并开始转动，送带轮缠满磁带并开始转动n 由假设由假设1，送带轮计数从外圈数起。，送带轮计数从外圈数起。n 由假设由假设5，Lk=2Rkn 由假设由假设4，Rk=r+(N-k+1)dn由假设由假设2,k=c n则有则有n得模型得模型t(n)=a n+b n2,其中其中n参数参数 a,b,c 的估计的估计n 1.最小二乘法估计最小二乘法估计 a,bn 正规方程组正规方程组n方程方程n 290942 a+83322472 b=25827n 83322472 a+2.591711010 b=7237447n有解有解 a=0.11095，b=-7.7445
25、10-5n模型模型 t(n)=0.11095 n 7.4475 10-5 n2n检验检验 n 9 18 28 37 47 97 151 211 280 t 1 2 3 4 5 10 15 20 25 t .99 1.97 3.05 4.00 5.04 10.03 14.99 19.96 24.99 n分析分析n 根据假设根据假设2：k=c n,利用数据利用数据II可以给出参可以给出参数数 c 的最小二乘估计。的最小二乘估计。n可得可得 c=2.04。又可测得。又可测得 r=1.1 cm，N=3852.04n由由n可以求出可以求出d=0.001628cm，v=2.75m/min，L=85.25m
26、。n问题：大江截流问题：大江截流n 1997年年11月月8日电视正在播放十分壮观的日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况。长江三峡工程大江截流的实况。n截流截流8：55开始，水面宽开始，水面宽40 m，水深水深60m。n 到到11：50时，时，水面宽水面宽34.4mn 到到13：00时，时，水面宽水面宽31 m。n这时电视机旁的小明说，这时电视机旁的小明说，n现在可以估算下午几点合龙。现在可以估算下午几点合龙。n8：55到到11：50，进展的速度为，进展的速度为40-34.4=5.6m，n平均每小时宽度减少平均每小时宽度减少1.9m。n从从11：50到到13：00，宽度减少，宽度减
27、少34.4-31=3.4m，n平均每小时减少平均每小时减少2.9mn小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快速度加快1m。从下午从下午1：00起，大约要起，大约要5个多小时，个多小时，即到下午即到下午6点多才能合龙。点多才能合龙。n但到了下午但到了下午3点点28分，电视里传来了振奋人心分，电视里传来了振奋人心的消息：大江截流成功！的消息：大江截流成功！n小明后来想明白了，他估算的方法不好小明后来想明白了，他估算的方法不好n现在请你根据上面的数据设计一种合理的估算现在请你根据上面的数据设计一种合理的估算方法（建立一种合理的数学模型）进行估算，方法（建立一种合理的数学模型）进行估算，使你的计算结果更切合实际。使你的计算结果更切合实际。