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1、第十模块第十模块 概率与统计概率与统计第四十八讲第四十八讲 随机抽样随机抽样 用样本估计用样本估计总体总体 变量间的相互关系变量间的相互关系 统计案例统计案例回归课本回归课本1.样本及抽样的定义样本及抽样的定义(1)在数理统计中称研究对象的全体为在数理统计中称研究对象的全体为总体总体,组成总体的每一组成总体的每一个个基本单元基本单元为个体为个体,从总体中抽取若干个个体从总体中抽取若干个个体x1,x2,xn,这这样的样的n个个体个个体x1,x2,xn称为称为大小为大小为n(容量为容量为n)的一个样本的一个样本.(2)抽样抽样:抽样是为了抽样是为了获取总体的信息获取总体的信息,特别在客观实际中对特
2、别在客观实际中对总总体体的全部个体逐一进行研究的全部个体逐一进行研究,有的是不适宜有的是不适宜 不可能或不必不可能或不必要的要的.因此因此,抽样调查抽样调查是获取总体信息的重要方法是获取总体信息的重要方法.2.随机抽样随机抽样(1)简单随机抽样简单随机抽样:从一个总体中通过从一个总体中通过逐个抽取的方法逐个抽取的方法从中抽从中抽取一个样本取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等相等,这这样的抽样称为样的抽样称为简单随机抽样简单随机抽样.这样抽出的样本称为简单随机这样抽出的样本称为简单随机样本样本.简单随机抽样的基本方法有简单随机抽样的基本方法有抽签法和随
3、机数表法抽签法和随机数表法.(2)系统抽样系统抽样:系统抽样被称为系统抽样被称为等距抽样或机械抽样等距抽样或机械抽样.它按照时它按照时间或空间的间或空间的等距间隔等距间隔抽取样本抽取样本,即将总体分成几个部分即将总体分成几个部分,然然后按照预先定出的规则后按照预先定出的规则,从每一部分从每一部分抽取一个个体抽取一个个体,得到所得到所需要的样本需要的样本,这种抽样称为系统抽样这种抽样称为系统抽样.系统抽样与简单随机系统抽样与简单随机抽样的联系在于抽样的联系在于:将总体均分后的每一部分进行抽样时将总体均分后的每一部分进行抽样时,采采用的是用的是简单随机抽样简单随机抽样.(3)分层抽样分层抽样:当总
4、体中一部分个体与另一部分个体有当总体中一部分个体与另一部分个体有明显的明显的差异且易于区别差异且易于区别时时,常将相近的个体归成一组常将相近的个体归成一组,然后按照各然后按照各部分所占的部分所占的比例比例进行抽样进行抽样,这种抽样称为这种抽样称为分层抽样分层抽样.其中所其中所分成的各部分称为分成的各部分称为层层.分层抽样时分层抽样时,每一个个体被抽到的概每一个个体被抽到的概率都是率都是相等相等的的.3.频率分布表频率分布表 频率分布直方图与茎叶图频率分布直方图与茎叶图(1)频率分布频率分布样本中所有数据样本中所有数据(或者数据组或者数据组)的频数和样本容量的比的频数和样本容量的比,就是该就是该
5、数据的数据的频率频率.所有数据所有数据(或者数据组或者数据组)的频率的分布变化规律的频率的分布变化规律叫做叫做频率分布频率分布,可以用可以用频率分布表频率分布表 频率分布直方图频率分布直方图 频率分频率分布折线图布折线图 茎叶图等来表示茎叶图等来表示.(2)频率分布折线图频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端连接频率分布直方图中各小长方形上端的的中点中点,就得到频率分布折线图就得到频率分布折线图.(3)总体密度曲线总体密度曲线如果样本容量不断增大如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小分组的组距不断缩小,则频率分布直则频率分布直方图实际上越来越接近于方图实际上越来越接近于总体在各小
6、组内所取值的个数与总体在各小组内所取值的个数与总数比值的大小总数比值的大小,它可以用一它可以用一光滑曲线光滑曲线来描绘来描绘,这条这条光滑曲光滑曲线线就叫做总体密度曲线就叫做总体密度曲线.(4)茎叶图表示数据有两个突出的优点茎叶图表示数据有两个突出的优点,其一是统计图上没有其一是统计图上没有原始数据原始数据的损失的损失,所有信息都可以从这个茎叶图中得到所有信息都可以从这个茎叶图中得到,其其二是在比赛时随时记录二是在比赛时随时记录,方便记录与表示方便记录与表示.4.用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数众数,中位数中位数,平均数平均数在一组数据中在一组数据
7、中,出现次数出现次数最多最多的数据叫做这组数据的众数的数据叫做这组数据的众数.将一组数据按大小依次排列将一组数据按大小依次排列,把处在把处在中间中间位置的一个数据位置的一个数据(或或中间两个数据的平均数中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数叫做这组数据的中位数.如果如果n个数个数,x1,x2,xn,那么那么 (x1+x2+xn)叫做这叫做这n个数的平均数个数的平均数.总体中所有个体的平均数叫做总体中所有个体的平均数叫做总体平均数总体平均数.样本中所有个体的平均数叫做样本中所有个体的平均数叫做样本平均数样本平均数,如果在如果在n个数据中个数据中,x1出现了出现了f1次次,x2出现出现f2次次
8、,xk出现出现fk次次(这里这里f1+f2+fk=n),那么那么 (x1f1+x2f2+xkfk),叫做这叫做这n个数的加权平均数个数的加权平均数.5.两个变量的相关关系两个变量的相关关系(1)当自变量的取值当自变量的取值一定一定时时,因变量的取值带有因变量的取值带有随机性随机性,这两个这两个变量之间的关系叫做相关关系变量之间的关系叫做相关关系.如果一个变量的值由小变大时如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也在由小到大另一个变量的值也在由小到大,这种相关称为这种相关称为正相关正相关;反之反之,如果一个变量的值由小变大时如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值在由大到小另一个变量的值在由
9、大到小,这种关系称为这种关系称为负相关负相关.变量间变量间的这种关系与函数关系不同的这种关系与函数关系不同,它是一种非确定关系它是一种非确定关系.(2)散点图散点图:表示具有表示具有相关关系相关关系的两个变量的一组数据的图形的两个变量的一组数据的图形叫做散点图叫做散点图.6.回归直线方程回归直线方程(1)一般地一般地,设设x和和y是具有相关关系的两个变量是具有相关关系的两个变量,且对应于且对应于n个个观测值的观测值的n个点大致分布在一条直线的附近个点大致分布在一条直线的附近,若所求的直线若所求的直线方程为方程为 我们将这个方程叫做我们将这个方程叫做回归直线方程回归直线方程,a,b叫做叫做回归系
10、数回归系数,相应的相应的直线叫做直线叫做回归直线回归直线.(2)最小二乘法最小二乘法使离差平方和使离差平方和Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2为最为最小的方法小的方法,叫做最小二乘法叫做最小二乘法.7.回归分析回归分析(1)回归直线方程回归直线方程 =bx+a中中,上述方程对应的直线叫做上述方程对应的直线叫做回归直线回归直线,而对两个变量所进行的上而对两个变量所进行的上述统计分析叫做述统计分析叫做线性回归分析线性回归分析.相关系数相关系数用用相关系数相关系数来描述线性相关关系的强弱来描述线性相关关系的强弱.当当r0时时,两个变量两个变量正正相关相关;当当
11、r0时时,两个变量两个变量负相关负相关,r的绝对值越接近的绝对值越接近1,表明两表明两个变量的线性相关性越个变量的线性相关性越强强,r的绝对值接近于的绝对值接近于0,表明两个变表明两个变量之间几乎量之间几乎不存在不存在线性相关关系线性相关关系.通常当通常当|r|大于大于r0.05时时,认为认为两个变量有很强的线性相关关系两个变量有很强的线性相关关系,因而求回归直线方程才有因而求回归直线方程才有意义意义.数据点和它在回归直线上相应位置的差异数据点和它在回归直线上相应位置的差异(y1-i)是随机误是随机误差效应差效应,称称 i=yi-i为为残差残差,将所得值平方后加起来将所得值平方后加起来,用数用
12、数学符号表示为学符号表示为 (yi-i)2称为称为残差平方和残差平方和,它代表了随它代表了随机误差的效应机误差的效应.8.独立性检验独立性检验(1)分类变量的定义分类变量的定义如果某种变量的不同如果某种变量的不同“值值”表示个体所属的不同类别表示个体所属的不同类别,像这样像这样的变量称为的变量称为分类变量分类变量.(2)22列联表列联表一般地一般地,假设有两个分类变量假设有两个分类变量X和和Y,它们的值域分别为它们的值域分别为x1,x2和和y1,y2,其样本频数列联表其样本频数列联表(称为称为22列联表列联表)为为y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+dK2=用它
13、的大小可以决定是否拒绝原用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设来的统计假设H0,如果如果K2值较大值较大,就拒绝就拒绝H0,即拒绝即拒绝事件事件A与与B无关无关.考点陪练考点陪练1.(2010重庆重庆)某单位有职工某单位有职工750人人,其中青年职工其中青年职工350人人,中年中年职工职工250人人,老年职工老年职工150人人,为了了解该单位职工的健康情为了了解该单位职工的健康情况况,用分层抽样的方法从中抽取样本用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工若样本中的青年职工为为7人人,则样本容量为则样本容量为()A.7 B.15C.25 D.35解析解析:设样本容量为设样本容量为n,则依
14、题意有则依题意有 n=7,n=15,选选B.答案答案:B2.(2010湖北湖北)将参加夏令营的将参加夏令营的600名学生编号为名学生编号为:001,002,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为采用系统抽样方法抽取一个容量为50的的样本样本,且随机抽得的号码为且随机抽得的号码为003.这这600名学生分住在三个营名学生分住在三个营区区,从从001到到300的第的第营区营区,从从301到到495在第在第营区营区,从从496到到600在第在第营区营区,三个营区被抽中的人数依次为三个营区被抽中的人数依次为()A.26,16,8 B.25,17,8C.25,16,9 D.24,17,9解析解析:依题意
15、及系统抽样的意义可知依题意及系统抽样的意义可知,将这将这600名学生按编号依名学生按编号依次分成次分成50组组,每一组各有每一组各有12名学生名学生,第第k(k N*)组抽中的号码组抽中的号码是是3+12(k-1).令令3+12(k-1)300,得得k ,因此第因此第营区被营区被抽中的人数是抽中的人数是25;令令3003+12(k-1)495得得 10.828,所以我们有所以我们有99.9%的把握说的把握说,A,B两药对两药对该病的治愈率之间有显著差别该病的治愈率之间有显著差别.方法与技巧方法与技巧 上述结论是对所有服用上述结论是对所有服用A药或药或B药的病人而言药的病人而言的的,绝不要误以为
16、只对绝不要误以为只对100个病人成立个病人成立.这就体现了统计的意这就体现了统计的意义义,即由样本推断出全体即由样本推断出全体.技法二技法二数形结合思想数形结合思想【典例典例2】为了了解中学生的身高情况为了了解中学生的身高情况,对某中学同龄的若干对某中学同龄的若干女生的身高进行测量女生的身高进行测量,将所得数据整理后将所得数据整理后,画出频率分布直画出频率分布直方图如图所示方图如图所示,已知图中从左到右已知图中从左到右15组的频率分别为组的频率分别为0.05,0.10,0.15,0.15,0.30,68组的频数分别为组的频数分别为7,5,3,第二第二小组的频数为小组的频数为6.(1)画出频率分
17、布表画出频率分布表;(2)试问这组数据中的中位数在哪个身高的范围内试问这组数据中的中位数在哪个身高的范围内?(3)如果本次测试身高在如果本次测试身高在157 cm以上以上(包括包括157 cm)的为良好的为良好,试估计该校女生身高良好率是多少试估计该校女生身高良好率是多少?解题切入点解题切入点 通过第二组的频数和频率先求出学生总数通过第二组的频数和频率先求出学生总数,其其他问题就十分容易解决了他问题就十分容易解决了,主要考查同学们对频率分布表和主要考查同学们对频率分布表和频率分布直方图的掌握情况频率分布直方图的掌握情况,考查识图考查识图 读图的能力读图的能力,以及灵以及灵活运用图活运用图 表解
18、决实际问题的能力表解决实际问题的能力.解解 (1)因为第二组的频数是因为第二组的频数是6,频率是频率是0.1,所以学生总数为所以学生总数为60.1=60,所以所以15组的频数分别为组的频数分别为3,6,9,9,18;68组的频率分别为组的频率分别为频率分布表如下表所示频率分布表如下表所示:分组分组频数频数频率频率145,148)30.05148,151)60.10151,154)90.15154,157)90.15157,160)180.30160,163)70.12163,166)50.08166,169)30.05合计合计601.00(2)中位数在中位数在157 cm160 cm之间之间.(3)因为因为1-0.05-0.1-0.15-0.15=0.55,所以良好率是所以良好率是0.55.方法与技巧方法与技巧 数形结合的思想是重要的思想方法之一数形结合的思想是重要的思想方法之一,具有具有直观性直观性 灵活性灵活性,有较强的综合性有较强的综合性.数形结合的思想的实质就数形结合的思想的实质就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与使抽象思维与形象思维结合起来形象思维结合起来.