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1、第二十一章 重积分1 二重积分的概念 2 直角坐标系下二重积分的计算 3 3 格林公式曲线积分与路线的无关性 44 二重积分的变量变换 5 三重积分 6 重积分的应用 1 二重积分的概念一一、平面图形的面积平面图形的面积二二、二重积分的定义及其存在性二重积分的定义及其存在性三、二重积分的性质三、二重积分的性质一 平面图形的面积1.内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念（2）(3)于是由（3）可得使得（2）式成立但 所以 定理212 平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零 证 由定理211，P可求面积的充要条件是：由于 还可证明得到：柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点
2、：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积二 二重积分的定义及其存在性播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示解：解：对区域对区域D进行网状分割（如图）进行网状分割（如图）曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 一曲顶柱体其顶为曲面一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平底面为平面区域面区域 D,求此曲顶柱体的体积求此曲顶柱体的体积。曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体 积之和为积之和为4）取极限：）取极限：2）近似：）近
3、似：每个个小区域每个个小区域内任取一点内任取一点则每个小曲顶柱体的体积近似为：则每个小曲顶柱体的体积近似为：其中其中2 平面薄片的质量平面薄片的质量2）取点）取点3）作和）作和4）取极限）取极限设平面薄片占有设平面薄片占有xoy面上的区域为面上的区域为D，它在点（它在点（x,y)处的密度为处的密度为求：此薄片的质量求：此薄片的质量3.二重积分的概念积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素注：注：1）在二重积分定义中，对区域在二重积分定义中，对区
4、域D的划分是的划分是任意的，故任意的，故如果在直角坐标系中用平如果在直角坐标系中用平边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域则则故在直角坐标系中，故在直角坐标系中，都是矩形闭区域。设矩形小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域的边长为的边长为和和行于坐标轴的直线网来划分行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含，则除了包含，0 xyD直角坐标系下面积元素直角坐标系下面积元素图示图示2）由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数）由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数在在D上的二重积分上的二重积分平面薄片的质量是面密度平面薄片的质量是面密度在薄片所占闭区域在薄片所占
5、闭区域D上的上的二重积分：二重积分：3）二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：（1）如果）如果则二重积分则二重积分解释解释为曲顶柱体的体积。为曲顶柱体的体积。（2）如果）如果则二重积分则二重积分解释解释为曲顶柱体体积的负值。为曲顶柱体体积的负值。（3）如果）如果则二重积分则二重积分解释为曲顶柱体体积的代数和。解释为曲顶柱体体积的代数和。（其中（其中xoy面上方柱体的体积取正，面上方柱体的体积取正，xoy面下方柱体的体积取负）面下方柱体的体积取负）。例：用定义计算二重积分 解：用直线网 分割该正方形,在每个正方形上取其右上顶点为介点.4.可积条件可积条件:可积的必要条件：上和与下和：令=定理2
6、16 有界闭区域D上的连续函数必可积 又记 性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有例例1 比较下列积分的大小：比较下列积分的大小：1）与与其中其中D:0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解：在区域解：在区域 D内，显然有内，显然有故在故在D内内 ,其中区域其中区域 D为为顶点为顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。的三角形闭区域。2）解：解：BC的方程的方程 x+y
7、=2D内内所以所以A(1,0)B(2,0)B(1,1)性质性质6（估值定理）（估值定理）设在设在D上上f(x,y)的最大值为的最大值为M，最最小值为小值为m，A为为D的面积，即的面积，即则则证明：证明：因为因为由性质由性质5所以所以例例2解：解：在在D内的最大值为内的最大值为4，最小值为，最小值为1区域区域D的面积为的面积为2所以由性质所以由性质6得得性质性质7(中值定理中值定理)D连续，连续，之面积之面积,则在则在D上至少存在一上至少存在一使得：使得：证明：由性质证明：由性质6得，得，点点在闭区域在闭区域根据据闭区域上连续函数的介值定理，在根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少上至少存
8、在一点存在一点即即解解解解解解二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分
9、的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答2 直角坐标系下 二重积分的计算复习：曲顶柱体的体积复习：曲顶柱体的体积求以曲面求以曲面 为顶，底面为矩形为顶，底面为矩形 的曲顶柱体的体积的曲顶柱体的体积。求曲顶柱体体积步骤如下：求曲顶柱体体积步骤如下：分割分割：将矩形 任意分为 n 块可求面积的小块其面积仍记为 。相应地将曲顶柱体分割成 n 个小曲顶柱体，分别记为 近似代替：近似代替：在每一小块上任意取一点 则小曲顶柱体的体积 可用直柱体的体积近似代替，即 求和求和：把
10、n 个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分，故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值：取极限取极限：记 在和式中令 由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面 与平面 之间，用与 轴垂直的平面截立体，截得截面的截面面积为 ，则此立体的体积为化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分作与 轴垂直的平面，设截得曲顶柱体截面的面积为立体位于平面与平面 之间，则曲顶柱体体积为而 就是平面 上，由曲线 与
11、直线 所围成的曲边梯形的面积，所以从而因此类似地，也可以用与 轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得从上面的分析，可以得到下列结果：定理定理21.8 设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则类似地可以给出先对 后对 积分的结果：设 在矩形 上连续，则我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：定理21.9 前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。根据积分区域的特点，分三种情况讨论。这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。这时二重积分可化为先对 后对 的二
12、次积分。第一种情形：积分区域 D 由两条曲线及两条直线围成，即作包含此积分区域的矩形令于是第二种情形：积分区域 D 由曲线及直线围成，即这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。第三种情形：一般情形，这时可用平行于 轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。X型型区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.Y型型区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多
13、于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.解解积分区域如图积分区域如图解解积分区域如图积分区域如图解解原式原式解解解解解解解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.例8 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.解 设这两个直交圆柱面的方程为：由图形的对称性=8=8=8=二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择在积分中要正确选择积分次序积分次序）小结Y型型X型型思考题思考题思考题解答思考题解答3 格林(Green)公式曲线积分与路径无
14、关的条件一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类二、格林公式二、格林公式三、简单应用三、简单应用四、曲线积分与路径无关的定义四、曲线积分与路径无关的定义一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD 设空间区域设空间区域G,如果如果G内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成的区域全属于的区域全属于G,则称则称G是空间二维单连通域是空间二维单连通域;如果如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭
15、曲线总可以张一片完全属于G的曲面的曲面,则称则称G为空间一维单连通区域为空间一维单连通区域.GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通二、格林公式定理定理1 1边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.证明证明(1)(1)yxo abDcdABCE同理可证同理可证yxodDcCE证明证明(2)(2)D两式相加得两式相加得GDFCEAB证明证明(3)(3)由由(2)知知xyoL1.1.简化曲线积分简化曲线积分三、简单应用AB 2.2.简化二重
16、积分简化二重积分xyo解解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)3.3.计算平面面积计算平面面积解解其中其中L是曲线是曲线|x|+|+|y|=1|=1围成的区域围成的区域D的正向边界。的正向边界。11-1-1LDyxO格林公式的应用格林公式的应用 （格林公式）（格林公式）从从 证明了证明了：练习练习1 1 计算积分计算积分解解 练习练习2 2求星形线求星形线所界图形的面积。所界图形的面积。解解 yxODL11-1-1重要意义：重要意义：1.1.它它建立了建立了二重积分二重积分与与曲线积分曲线积分的一种等式关系的一种等式关系2.2.它它揭示了揭示了函数在区域函数在区域内部内
17、部与与边界边界之间的内在联系之间的内在联系4.4.它的应用范围可以它的应用范围可以突破突破右手系的限制，使它的右手系的限制，使它的应用应用 3.3.从它出发，可以从它出发，可以导出导出数学物理中的数学物理中的许多重要公式许多重要公式更加广泛更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。，而这只需要改变边界的正向定义即可。四、曲线积分与路径无关的定义如果对于区域如果对于区域 G 内任意指定的两点内任意指定的两点 A、B 以及以及 G 内内从点从点 A 到点到点 B 的任意两条曲线的任意两条曲线 L1，L2 有有GyxoBA=0所以=于是，在于是，在 内内应用格林公式，有应用格林公式，有与路径无关与
18、路径无关.L与与路径无关路径无关解解因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。则则 P，Q 在全平面上有在全平面上有连续的一阶偏导数，且连续的一阶偏导数，且全全平面是单连通域。平面是单连通域。取一取一简单路径：简单路径：L1+L2.因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。全全平面是单连通域。平面是单连通域。解解因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。则则 P，Q 在全平面上有连续的在全平面上有连续的一阶偏导数，且一阶偏导数，且全全平面是单连通域。平面是单连通域。因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。全全平面是单连通域。平面是单连通域。取一取一简单路径：简单路径：L1+L2.解解
19、例例7 验证：在验证：在 xoy 面内，面内，是是某个函数某个函数u(x,y)的全微分，并求出一个这样的函数。的全微分，并求出一个这样的函数。这里这里且且在在整个整个 xoy 面内恒成立。面内恒成立。即，即，因此，在因此，在 xoy 面内，面内，是是某个函数某个函数u(x,y)的全微分。的全微分。解解1.1.连通区域的概念连通区域的概念;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3.3.格林公式的应用格林公式的应用.格林公式格林公式;五、小结与与 路路 径径 无无 关关 的的 四四 个个 等等 价价 命命 题题条条件件等等价价命命题题作业：作业：P231:1,2,3,4,5,6,
20、7.若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。思考题思考题思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成外外边界：边界：内内边界：边界：4 重积分的变量变换一、一、二重积分的变量变换公式二重积分的变量变换公式二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分一一 二重积分的变量变换公式二重积分的变量变换公式则区域的面积=（6）=（7）=令=因此=于是=0，则=例例1 1解解=作变换=例例3 3解解二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分面积元素面积元素二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分
21、的公式（）区域特征如图区域特征如图D：区域特征如图区域特征如图D：二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图D：极坐标系下区域的极坐标系下区域的面积面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图例例4 将将化为在极坐标系下的二次积分。化为在极坐标系下的二次积分。（1）（4）（2）（3）（1）解解在在极坐标系中，闭区域极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为（2）在在极坐标系中，闭区域极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为（2）在在极坐标系中，闭区域极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为（3）在在极坐标系中，闭区域
22、极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为（3）在在极坐标系中，闭区域极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为（4）在在极坐标系中，闭区域极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为（4）在在极坐标系中，闭区域极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为解解例例6 6解解例例8、求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内部的）立体的体积.解：解：由对称性体积在极坐标系下故解解例例 9 9 计算计算dxdyeDyx-22，其中，其中D 是由中心在原点，是由中心在原点，半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.例10 求椭球体 的体积.解 应用广义极坐标变换 时得到球的体积 当=8=8=解解例例 1111
23、计算计算dxdyyxD)(22+。其中其中D为由圆为由圆 yyx222=+，yyx422=+及直及直 线线03=-yx，03=-xy 所围的闭区域所围的闭区域.解解例例 1212 求广义积分求广义积分 -02dxex.解解例例 1313 计算计算dxdyyxD)(22+，其，其 D为由圆为由圆 yyx222=+，yyx422=+及直线及直线yx3-0=，03=-xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解例例 1 14 求曲线求曲线)(2)(222222yxayx-=+和和222ayx+所围成的图形的面积所围成的图形的面积.解解例例 1 15 5 计算二重积分计算二重积分 +p pDdxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为其中积分区域为41|),(22+=yxyxD.二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式三、小结（在积分中注意使用在积分中注意使用对称性对称性）思考题思考题思考题解答思考题解答