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1、点、线对称问题1对对称称问问题题中心对称问题中心对称问题点点关关于点的对称于点的对称线线关关于点的对称于点的对称轴对称问题轴对称问题点点关关于线的对称于线的对称线线关关于线的对称于线的对称2例例1.已知点已知点A(5,8)，B(4，1)，试求，试求A点点 关于关于B点的对称点点的对称点C的坐标。的坐标。一、点关于点对称一、点关于点对称解题要点：解题要点：中点公式的运用中点公式的运用A(x0,y0)P P(a a,b b)(2(2a a-x x0 0，2 2b b-y y0 0)A A一般地，点一般地，点 A(x0,y0)关关于点于点 P(a,b)的对称点是的对称点是(2a-x0，2b-y0)3
2、练1：点A(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点A/的坐标是()-4,-1练2：过点P(1,3)与两坐标轴交成的线段以P为中点的直线方程_分析：用中点坐标公式可求直线在坐标轴的截距分别为2和6用截距式写出方程为 ，即3x+y-6=04例例2.求直线求直线l 1:3x-y-4=0关于点关于点P(2,-1)对称的对称的直线直线l 2的方程。的方程。二、直线关于点对称二、直线关于点对称 法一：法一：在在 l 1上找两个特殊点，求出各点关上找两个特殊点，求出各点关于于P的对称点，再求出的对称点，再求出l 2方程方程 l2MP(m,n)P(m,n)MM l l1 1NN N 5 法二：法二：l 2上的
3、任意一点的对称点在上的任意一点的对称点在l 1上上 f(x,y)=0M(x,y)P(m,n)P(m,n)MM (2m-x,2n-y)(2m-x,2n-y)f f(2m-x,2n-y)=0(2m-x,2n-y)=0法三：法三：l 1/l 2且且P到两直线等距。到两直线等距。P(m,n)P(m,n)l2l l1 1d2d d1 167例例3.已知点已知点M的坐标为的坐标为(-4,4)，直，直线线l 的方程为的方程为3x+y-2=0,求点求点M关于直线关于直线l 的对称点的对称点M的坐标。的坐标。三、点关于直线对称三、点关于直线对称解题要点：解题要点：k kMM=-1（垂直）（垂直）MM中点中点 P
4、 在在 l 上上 M(xM(x1 1,y,y1 1)MM(x,y)(x,y)lP8练习4：求点A（-1，3）关于直线 l：x+y-1=0 的对称点B9几种特殊的对称：几种特殊的对称：点点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：关于下列点或线的对称点分别为：关于直线关于直线 x=mp(-x,-y)p(x,-y)p(-x,y)p(y,x)p(-y,-x)p(2m-x,y)P(x,y)关于原点关于原点关于关于 x 轴轴关于 y 轴关于直线 y=x关于直线 y=-x 关于直线关于直线 y=np(x,2n-y)10练习5：已知点A（-4，6），则(1)A关于x轴的对称点A/坐标是（）(2)A关于y轴的
5、对称点A/坐标是（）(3)A关于直线y=x轴的对称点A/坐标是（）6，-4-4，-64，611例例4.试求直线试求直线l1:x-y-2=0关于直线关于直线 l2:3x-y+3=0 对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称解题要点：由解题要点：由线关于线线关于线对称转化为对称转化为点关于线点关于线对称对称思考：若思考：若l1/l2,如何求如何求l1 关于关于l2的对称直线方程？的对称直线方程？C1lC2M(x,y)M(x,y)MM (x (x1 1,y,y1 1)l1l2l11213设直线设直线则则 l 关于原点原点对称的直线是 l 关于关于 x 轴对称的
6、直线是轴对称的直线是l关于关于 y 轴对称的直线是轴对称的直线是l关于关于 y=x对称的直线是对称的直线是l关于关于 y=-x 对称的直线是对称的直线是l关于关于 x=a 对称的对称的直线是直线是_直线直线 f(x,y)=0关于下列点或直线对称的直关于下列点或直线对称的直线方程分别为：线方程分别为：几种特殊的对称：几种特殊的对称：1415五、角分线问题五、角分线问题例：例：已知已知ABC的顶点的顶点A（4,1）,B（4,5）,角角B的内角平分线的内角平分线BE所在直线的方程为所在直线的方程为 ，求，求BC边所在直线方程。边所在直线方程。B(-4,-5)A(4,-1)M（0,3）xyOE16变式
7、：变式：ABC的一个顶点是的一个顶点是A（3，-1），），B,C的内角平分线所在的直线方程分的内角平分线所在的直线方程分别为别为x=0和和y=x,求顶点求顶点B、C坐标坐标。xyOA（3,-1）A1(-3,-1)A2(-1,3)B(0,5)C(-5,-5)y=2x+517例例2：一条光线经过点一条光线经过点P（2，3），射到直线），射到直线x+y+1=0上，反射后，穿过点上，反射后，穿过点Q（1，1），求），求光线的入射线和反射线的方程。光线的入射线和反射线的方程。xyOx+y+1=0P(2,3)Q(1,1)R(-4,-3)六、光线的问题六、光线的问题18例例3：光线从点光线从点P（3，4）射
8、出，到达）射出，到达x轴上的轴上的点点Q后，被后，被x轴反射到轴反射到y轴上的点轴上的点M，又被，又被y轴反轴反射，这时反射光线恰好经过点射，这时反射光线恰好经过点D（1，6），），求求QM所在直线方程。所在直线方程。xOP(-3,4)D(-1,6)yD(1,6)P(-3,-4)MQ19练习6：20例例4：已知已知x,y满足满足x+y=0，求，求的最小值。的最小值。七、解决求最值的有关问题七、解决求最值的有关问题M(1,-3)xyOM(3,-1)N(-2,3)y=xP213、在x轴上找点P，使它到点A（1,3），B（3,1）的距离最小，并求最小距离。22一、点关于点对称一、点关于点对称二、点关于直线对称二、点关于直线对称三、直线关于点对称三、直线关于点对称四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称五、角分线问题五、角分线问题六、反射问题六、反射问题七、最值问题七、最值问题两条直线的位置关系两条直线的位置关系 -对称对称四类对称常见运用23