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1、第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-物理问题物理问题2.1 2.1 物理问题物理问题物理问题物理问题讨论一维杆中纵波的传播问题讨论一维杆中纵波的传播问题讨论一维杆中纵波的传播问题讨论一维杆中纵波的传播问题 假设：假设：变形前后横截面为平面变形前后横截面为平面 只有均布轴向力只有均布轴向力各参量各参量各参量各参量 为为为为 、的函数的函数的函数的函数(1)(1)微元体的微元体的微元体的微元体的运动方程运动方程运动方程运动方程：即即即即也可写成也可写成也可写成也可写成 或或或或(2-1)应变应变应变应变 和质点的速度和质点的速度和质点的速度和质点的速度 分别是位移对分别是位移对分别是位
2、移对分别是位移对X,tX,t 的一阶导数的一阶导数的一阶导数的一阶导数,由位移由位移由位移由位移 u u的单值连续条件即可得到联系的单值连续条件即可得到联系的单值连续条件即可得到联系的单值连续条件即可得到联系 和和和和 的相容性方程的相容性方程的相容性方程的相容性方程,即连续即连续即连续即连续方程方程方程方程(2-2)(2)(2)连续方程连续方程连续方程连续方程2(3)(3)(3)(3)材料的本构关系材料的本构关系材料的本构关系材料的本构关系 材料的本构关系材料的本构关系材料的本构关系材料的本构关系,先限于讨论应变率无关理论先限于讨论应变率无关理论先限于讨论应变率无关理论先限于讨论应变率无关理
3、论,则作另一个假则作另一个假则作另一个假则作另一个假定定定定:应力只是应变的函数应力只是应变的函数应力只是应变的函数应力只是应变的函数,即即即即 (2-3)(2-3)由于应力波速很高由于应力波速很高由于应力波速很高由于应力波速很高,在应力波通过的微元体的时间内在应力波通过的微元体的时间内在应力波通过的微元体的时间内在应力波通过的微元体的时间内,微元体微元体微元体微元体尚未与周围介质交换热量尚未与周围介质交换热量尚未与周围介质交换热量尚未与周围介质交换热量,可近似认为绝热过程可近似认为绝热过程可近似认为绝热过程可近似认为绝热过程.本构关系是绝本构关系是绝本构关系是绝本构关系是绝热的本构关系热的本
4、构关系热的本构关系热的本构关系.关于变量关于变量关于变量关于变量 的封闭控制方程组由的封闭控制方程组由的封闭控制方程组由的封闭控制方程组由(2-1),(2-2)(2-1),(2-2)和和和和(2-3)(2-3)组组组组成成成成.杆中应力波的传播问题即是从这些基本方程组中杆中应力波的传播问题即是从这些基本方程组中杆中应力波的传播问题即是从这些基本方程组中杆中应力波的传播问题即是从这些基本方程组中,按给定的按给定的按给定的按给定的初始条件和边条件来求解三个未知函数初始条件和边条件来求解三个未知函数初始条件和边条件来求解三个未知函数初始条件和边条件来求解三个未知函数 3 一般情况下一般情况下一般情况
5、下一般情况下,是连续可微函数是连续可微函数是连续可微函数是连续可微函数,设一阶导数为非零正数设一阶导数为非零正数设一阶导数为非零正数设一阶导数为非零正数,引入引入引入引入由由由由(2-1)(2-1)和和和和(2-3)(2-3)消去消去消去消去 ,(2-4),(2-4)或或或或(2-2)(2-2)和和和和(2-3)(2-3)消去消去消去消去 (2-5)(2-5)问题化为求解一阶偏微分方程组问题化为求解一阶偏微分方程组问题化为求解一阶偏微分方程组问题化为求解一阶偏微分方程组 或或或或 4或由或由或由或由(2-1)(2-1)、(2-2)(2-2)消去消去消去消去 可得可得可得可得 (2-6)(2-6
6、)若对于线弹性材料若对于线弹性材料若对于线弹性材料若对于线弹性材料,本构关系本构关系本构关系本构关系 (2-7)(2-7)(2-7)(2-6)(2-7)(2-6)消去消去消去消去 则得则得则得则得同理可推出同理可推出同理可推出同理可推出 (2-8)(2-8)线弹性杆中线弹性杆中线弹性杆中线弹性杆中 都满足形式为都满足形式为都满足形式为都满足形式为(2-8)(2-8)的二阶偏微分方程，的二阶偏微分方程，的二阶偏微分方程，的二阶偏微分方程，从不同的侧面表达了一维杆中波的传播规律。从不同的侧面表达了一维杆中波的传播规律。从不同的侧面表达了一维杆中波的传播规律。从不同的侧面表达了一维杆中波的传播规律。
7、第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-物理问题物理问题5 若把若把若把若把 和和和和 代入代入代入代入 (2-4)(2-4)中中中中,则问题可完等价地归结则问题可完等价地归结则问题可完等价地归结则问题可完等价地归结为求解以位移为未知函数的二阶偏微分方程为求解以位移为未知函数的二阶偏微分方程为求解以位移为未知函数的二阶偏微分方程为求解以位移为未知函数的二阶偏微分方程,即波动方程即波动方程即波动方程即波动方程 (2-9)(2-9)上述控制方程组中上述控制方程组中上述控制方程组中上述控制方程组中,忽略了杆的横向运动的惯性作用忽略了杆的横向运动的惯性作用忽略了杆的横向运动的惯性作用忽略了杆的
8、横向运动的惯性作用,即忽略即忽略即忽略即忽略了杆的横向收缩或膨胀对动能的贡献了杆的横向收缩或膨胀对动能的贡献了杆的横向收缩或膨胀对动能的贡献了杆的横向收缩或膨胀对动能的贡献.事实上事实上事实上事实上,由于质点的横由于质点的横由于质点的横由于质点的横向运动将使杆横截面上的应力分布不再均匀向运动将使杆横截面上的应力分布不再均匀向运动将使杆横截面上的应力分布不再均匀向运动将使杆横截面上的应力分布不再均匀,原来的横截面原来的横截面原来的横截面原来的横截面将变歪曲将变歪曲将变歪曲将变歪曲,也不再是一维问题也不再是一维问题也不再是一维问题也不再是一维问题.6第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-
9、特征线特征线特征线特征线特征线特征线:方向导数法方向导数法方向导数法方向导数法,即能把二阶偏微分方程即能把二阶偏微分方程即能把二阶偏微分方程即能把二阶偏微分方程(或等价的一阶偏或等价的一阶偏或等价的一阶偏或等价的一阶偏微分方程组的线性组合微分方程组的线性组合微分方程组的线性组合微分方程组的线性组合)化为只包含沿自变量平面化为只包含沿自变量平面化为只包含沿自变量平面化为只包含沿自变量平面(X,tX,t)上某上某上某上某曲线的方向导数的形式时曲线的方向导数的形式时曲线的方向导数的形式时曲线的方向导数的形式时,此曲线即为特征线此曲线即为特征线此曲线即为特征线此曲线即为特征线.设自变量平面设自变量平面
10、设自变量平面设自变量平面(X,tX,t)上有某曲线上有某曲线上有某曲线上有某曲线 ,那么那么那么那么 的一阶偏导数分的一阶偏导数分的一阶偏导数分的一阶偏导数分别为别为别为别为 ,沿此曲线方向的微分为沿此曲线方向的微分为沿此曲线方向的微分为沿此曲线方向的微分为7方向导数含义：方向导数含义：方向导数含义：方向导数含义：在在在在（X X，t t）平平平平面面面面内内内内有有有有一一一一曲曲曲曲线线线线，函函函函数数数数f f(X X,t t)在在在在S S 方方方方向向向向上上上上的的的的方方方方向向向向导数定义为：导数定义为：导数定义为：导数定义为：给出了在与曲线给出了在与曲线给出了在与曲线给出了
11、在与曲线 相切方向上对相切方向上对相切方向上对相切方向上对S S的变化率。的变化率。的变化率。的变化率。其中其中其中其中S S 的方向即为：的方向即为：的方向即为：的方向即为：8线性组合线性组合线性组合线性组合(1)(2)由由由由(1)(1)得得得得:由由由由(2)(2)得得得得:特征线微分方程特征线微分方程特征线微分方程特征线微分方程,积分可得特征线积分可得特征线积分可得特征线积分可得特征线.与波动方程与波动方程与波动方程与波动方程(2-9)(2-9)对比对比对比对比:第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-特征线特征线9回代回代回代回代只包含特征线方向微分的常微分方程只包含特征线方
12、向微分的常微分方程只包含特征线方向微分的常微分方程只包含特征线方向微分的常微分方程 或或或或上式规定了在特征线上必须满足的相互关系上式规定了在特征线上必须满足的相互关系上式规定了在特征线上必须满足的相互关系上式规定了在特征线上必须满足的相互关系,称为特征线上称为特征线上称为特征线上称为特征线上的相容关系的相容关系的相容关系的相容关系.解线性偏微分方程的问题就完全等价地化为解解线性偏微分方程的问题就完全等价地化为解解线性偏微分方程的问题就完全等价地化为解解线性偏微分方程的问题就完全等价地化为解特征方程和特征线上的相容关系特征方程和特征线上的相容关系特征方程和特征线上的相容关系特征方程和特征线上的
13、相容关系.10小结小结小结小结:二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程,有有有有两条两条两条两条实特征线实特征线实特征线实特征线正向特征线正向特征线正向特征线正向特征线:负向特征线负向特征线负向特征线负向特征线:相容关系相容关系相容关系相容关系物理平面物理平面物理平面物理平面(X(X，t)t)速度平面速度平面速度平面速度平面Xt第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-特征线特征线11第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-特征线特征线特征线特征线特征线特征线的另一种求解方法的另一种求解方法的另一种求解方法的另一种求解方法:不定线法不定线法不定线
14、法不定线法概念：沿概念：沿概念：沿概念：沿(X,tX,t)平面有这样的曲线平面有这样的曲线平面有这样的曲线平面有这样的曲线,由沿此曲线上给定的初值及偏由沿此曲线上给定的初值及偏由沿此曲线上给定的初值及偏由沿此曲线上给定的初值及偏微分方程一起不足以确定全部偏导数的话微分方程一起不足以确定全部偏导数的话微分方程一起不足以确定全部偏导数的话微分方程一起不足以确定全部偏导数的话,则此曲线称为特征线则此曲线称为特征线则此曲线称为特征线则此曲线称为特征线.12第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-特征线特征线若曲线为特征线若曲线为特征线若曲线为特征线若曲线为特征线,上述方程的解不确定上述方程的解
15、不确定上述方程的解不确定上述方程的解不确定,则应有则应有则应有则应有特征线方程特征线方程特征线方程特征线方程相容条件相容条件相容条件相容条件即即即即13例例例例2-1:2-1:利用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特利用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特利用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特利用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系征相容关系征相容关系征相容关系.解解解解:由方向导数的定义由方向导数的定义由方向导数的定义由方向导数的定义,上述偏微分方程组线性组合为上述偏微分方程组线性组合为上述偏微分方程组线性组合为上述偏微分方程组线性组合为 (3)(3)所对
16、的特征方向应相同所对的特征方向应相同所对的特征方向应相同所对的特征方向应相同,(1)(2)14可得可得可得可得 代入得特征线方程代入得特征线方程代入得特征线方程代入得特征线方程(3)(3)式可写为式可写为式可写为式可写为即有即有即有即有从而得从而得从而得从而得15第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-初边值问题初边值问题一一一一 、波动方程的解、波动方程的解、波动方程的解、波动方程的解 初值问题初值问题初值问题初值问题 行波解法行波解法行波解法行波解法 特定物理问题特定物理问题特定物理问题特定物理问题+初值初值初值初值 定解定解定解定解无限长杆的初始条件无限长杆的初始条件无限长杆的初
17、始条件无限长杆的初始条件引入引入引入引入则(2-12)(2-13)(2-10)(2-11)16把把把把(2-12)(2-13)(2-12)(2-13)代入（代入（代入（代入（2-102-10）：）：）：）：上式对上式对上式对上式对 、各作一次积分得：各作一次积分得：各作一次积分得：各作一次积分得：方程（方程（方程（方程（2-102-10）的通解为：）的通解为：）的通解为：）的通解为：（2-14）(2-14)(2-14)代入初始条件代入初始条件代入初始条件代入初始条件(2-11)(2-11)式得式得式得式得:其中其中其中其中:（2-15）第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-初边值问题
18、初边值问题17代入（代入（代入（代入（2-142-14）中得到原初值问题的解为：）中得到原初值问题的解为：）中得到原初值问题的解为：）中得到原初值问题的解为：式（式（式（式（2-142-14）（）（）（）（2-162-16）（）（）（）（2-172-17）波的传播规律的数学描述）波的传播规律的数学描述）波的传播规律的数学描述）波的传播规律的数学描述.（2-17）(2-15)(2-15)(2-15)(2-15)式可解出式可解出式可解出式可解出:积分（2-16）第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-初边值问题初边值问题18二二二二 、物理意义和初值影响区间物理意义和初值影响区间物理意义和
19、初值影响区间物理意义和初值影响区间若若若若若若若若依赖于依赖于依赖于依赖于 区间的初值区间的初值区间的初值区间的初值.P P点的依赖区间点的依赖区间点的依赖区间点的依赖区间第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-初边值问题初边值问题19影响区域示意图影响区域示意图影响区域示意图影响区域示意图 20常数常数,则则 =常数常数;常数常数,则则 =常数常数;沿沿 :沿沿 :A A点的初始值分解成对应于点的初始值分解成对应于点的初始值分解成对应于点的初始值分解成对应于 和和和和 两部分，则这两部两部分，则这两部两部分，则这两部两部分，则这两部分分别沿着直线分分别沿着直线分分别沿着直线分分别沿着
20、直线L L 和和和和R R的数值不变地传播出去。的数值不变地传播出去。的数值不变地传播出去。的数值不变地传播出去。第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-初边值问题初边值问题21 初始值区间，用上式求出初始时刻初始值区间，用上式求出初始时刻初始值区间，用上式求出初始时刻初始值区间，用上式求出初始时刻 和和和和 的分布，它们分别沿的分布，它们分别沿的分布，它们分别沿的分布，它们分别沿着斜率为着斜率为着斜率为着斜率为 ，的方向形状不变的传播，的方向形状不变的传播，的方向形状不变的传播，的方向形状不变的传播，为扰动传播的速度。扰为扰动传播的速度。扰为扰动传播的速度。扰为扰动传播的速度。扰动传
21、播沿特征线。任意时刻动传播沿特征线。任意时刻动传播沿特征线。任意时刻动传播沿特征线。任意时刻t t，是是是是 和和和和 的迭加。的迭加。的迭加。的迭加。初始值分解初始值分解初始值分解初始值分解:第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-初边值问题初边值问题22 2.32.3弹性杆中波的传播（半无限长弹性杆，不考虑反射）弹性杆中波的传播（半无限长弹性杆，不考虑反射）弹性杆中波的传播（半无限长弹性杆，不考虑反射）弹性杆中波的传播（半无限长弹性杆，不考虑反射）第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-弹性杆中波的传播弹性杆中波的传播（1）（1 1）式）式）式）式 的通解为：的通解为：的通
22、解为：的通解为：引入对 求 的偏微分（2）沿直线沿直线沿直线沿直线（3）一一一一 特征线和相容关系特征线和相容关系特征线和相容关系特征线和相容关系23沿着沿着沿着沿着（3 3）式可写成）式可写成）式可写成）式可写成对于线弹性杆，对于线弹性杆，对于线弹性杆，对于线弹性杆，因此有：因此有：因此有：因此有：或或或或微分形式有：微分形式有：微分形式有：微分形式有：特征线方程特征线方程特征线方程特征线方程相容条件相容条件相容条件相容条件引入积分常数引入积分常数引入积分常数引入积分常数右行波右行波右行波右行波左行波左行波左行波左行波Rieman不变量24第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-弹性
23、杆中波的传播弹性杆中波的传播二二二二 两个重要结论两个重要结论两个重要结论两个重要结论PA:PB:若点若点若点若点A,BA,B状态已知状态已知状态已知状态已知,则有则有则有则有结论结论结论结论1:1:如果如果如果如果ABAB区间上的任一条曲线区间上的任一条曲线区间上的任一条曲线区间上的任一条曲线 上应力、速度为常数，上应力、速度为常数，上应力、速度为常数，上应力、速度为常数，则在特征线则在特征线则在特征线则在特征线PAPA、PBPB和曲线和曲线和曲线和曲线 所围成的曲边三角形内，应力所围成的曲边三角形内，应力所围成的曲边三角形内，应力所围成的曲边三角形内，应力和速度也为常数，该区为和速度也为常
24、数，该区为和速度也为常数，该区为和速度也为常数，该区为恒值区恒值区恒值区恒值区。若若若若25PA:PB:DB:DA:(1)(2)(3)(4)(1)+(2)-(3)-(4):结论结论结论结论2 2：P P、A A点间的应力差和速度差分别等于点间的应力差和速度差分别等于点间的应力差和速度差分别等于点间的应力差和速度差分别等于B B、D D点间的应点间的应点间的应点间的应力差和速度差。若特征线力差和速度差。若特征线力差和速度差。若特征线力差和速度差。若特征线PAPA上应力、速度为常数，则上应力、速度为常数，则上应力、速度为常数，则上应力、速度为常数，则BDBD上应上应上应上应力、速度也为常数；但各特
25、征线上的应力和速度的常数值可力、速度也为常数；但各特征线上的应力和速度的常数值可力、速度也为常数；但各特征线上的应力和速度的常数值可力、速度也为常数；但各特征线上的应力和速度的常数值可以不同。以不同。以不同。以不同。第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-弹性杆中波的传播弹性杆中波的传播262.4 Cauchy2.4 Cauchy问题和问题和问题和问题和PicardPicard问题问题问题问题研究对象：半无限长弹性杆。研究对象：半无限长弹性杆。研究对象：半无限长弹性杆。研究对象：半无限长弹性杆。初态：静止自然状态，初态：静止自然状态，初态：静止自然状态，初态：静止自然状态，时刻在杆端时
26、刻在杆端时刻在杆端时刻在杆端 受一给定条件的撞击。受一给定条件的撞击。受一给定条件的撞击。受一给定条件的撞击。初条件可写为：初条件可写为：初条件可写为：初条件可写为：边条件：边条件：边条件：边条件：求解求解求解求解 或按特征线法求解或按特征线法求解或按特征线法求解或按特征线法求解 .第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-Cauchy-Cauchy问题和问题和PicardPicard问题问题27第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-Cauchy-Cauchy问题和问题和PicardPicard问题问题沿沿沿沿 :沿沿沿沿 :可得可得可得可得P P点的点的点的点的 和和和和 :
27、由于由于由于由于可得可得可得可得AOXAOX为恒值区为恒值区为恒值区为恒值区28如果如果如果如果 常数常数常数常数 ,常数常数常数常数,则则则则 区总是区总是区总是区总是恒值区恒值区恒值区恒值区,总有总有总有总有 ,。类空曲线：类空曲线：类空曲线：类空曲线：OXOX的初值曲线是一条非特的初值曲线是一条非特的初值曲线是一条非特的初值曲线是一条非特征线，并且经曲线上任一点所作的两条征线，并且经曲线上任一点所作的两条征线，并且经曲线上任一点所作的两条征线，并且经曲线上任一点所作的两条特征线都随时间的增加而进入所讨论区特征线都随时间的增加而进入所讨论区特征线都随时间的增加而进入所讨论区特征线都随时间的
28、增加而进入所讨论区域。域。域。域。CauchyCauchy问题：问题：问题：问题：类空曲线的任意线段类空曲线的任意线段类空曲线的任意线段类空曲线的任意线段 上给定上给定上给定上给定 ，则可在由，则可在由，则可在由，则可在由 、和和和和 为边的曲线三角形区域中求得单值解，为边的曲线三角形区域中求得单值解，为边的曲线三角形区域中求得单值解，为边的曲线三角形区域中求得单值解，这类初边值问题称为这类初边值问题称为这类初边值问题称为这类初边值问题称为CauchyCauchy问题。问题。问题。问题。第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-Cauchy-Cauchy问题和问题和PicardPicar
29、d问题问题29混合边值问题或混合边值问题或混合边值问题或混合边值问题或PicardPicard问题问题问题问题 B B点作左行点作左行点作左行点作左行(负向负向负向负向)特征线特征线特征线特征线,与与与与OAOA 交于交于交于交于D D点点点点,AotAot 区域：区域：区域：区域：线线线线 因此恒该区域中恒有因此恒该区域中恒有因此恒该区域中恒有因此恒该区域中恒有 ,即恒有即恒有即恒有即恒有右行右行右行右行(正向正向正向正向)特征线特征线特征线特征线 总交于总交于总交于总交于 轴，而轴，而轴，而轴，而 轴的边条件给出轴的边条件给出轴的边条件给出轴的边条件给出,沿沿沿沿 ：第二章第二章 一维杆中
30、的应力波一维杆中的应力波-Cauchy-Cauchy问题和问题和PicardPicard问题问题Mt30正向特征线正向特征线正向特征线正向特征线 的数学表达式为的数学表达式为的数学表达式为的数学表达式为 该区域中任一点该区域中任一点该区域中任一点该区域中任一点 处的处的处的处的 ：说明：说明：说明：说明：时刻加于杆端的扰动时刻加于杆端的扰动时刻加于杆端的扰动时刻加于杆端的扰动 以以以以 速度在杆中传播，速度在杆中传播，速度在杆中传播，速度在杆中传播，于于于于t t时刻到时刻到时刻到时刻到 X X截面，即截面，即截面，即截面，即特征线在物理意义上表示扰动（波阵面）特征线在物理意义上表示扰动（波阵
31、面）特征线在物理意义上表示扰动（波阵面）特征线在物理意义上表示扰动（波阵面）的传播轨迹。的传播轨迹。的传播轨迹。的传播轨迹。类时曲线：类时曲线：类时曲线：类时曲线：OtOt轴，经曲线上的任一点的两条特征线随时间的轴，经曲线上的任一点的两条特征线随时间的轴，经曲线上的任一点的两条特征线随时间的轴，经曲线上的任一点的两条特征线随时间的增加只有一条进入所讨论的区域。一条特征线上给定增加只有一条进入所讨论的区域。一条特征线上给定增加只有一条进入所讨论的区域。一条特征线上给定增加只有一条进入所讨论的区域。一条特征线上给定 ，与之相交的类时曲线上给定与之相交的类时曲线上给定与之相交的类时曲线上给定与之相交
32、的类时曲线上给定 或或或或 ，则可在此两曲线为界的，则可在此两曲线为界的，则可在此两曲线为界的，则可在此两曲线为界的的区域中求得单值解的区域中求得单值解的区域中求得单值解的区域中求得单值解.该类问题为混合问题或该类问题为混合问题或该类问题为混合问题或该类问题为混合问题或PicardPicard问题问题问题问题.第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-Cauchy-Cauchy问题和问题和PicardPicard问题问题31讨论：讨论：讨论：讨论：CauchyCauchy问题中问题中问题中问题中 其解完全由其解完全由其解完全由其解完全由初条件初条件初条件初条件确定，只受杆中初始扰确定，只
33、受杆中初始扰确定，只受杆中初始扰确定，只受杆中初始扰动的影响动的影响动的影响动的影响,不受边界扰动的影响。不受边界扰动的影响。不受边界扰动的影响。不受边界扰动的影响。PicardPicard问题中问题中问题中问题中 其解由其解由其解由其解由初条件初条件初条件初条件和和和和边条件边条件边条件边条件共同确定共同确定共同确定共同确定,其解受其解受其解受其解受由左行波传来的初扰动和右行波传来的边界扰动的影响。由左行波传来的初扰动和右行波传来的边界扰动的影响。由左行波传来的初扰动和右行波传来的边界扰动的影响。由左行波传来的初扰动和右行波传来的边界扰动的影响。第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波
34、-Cauchy-Cauchy问题和问题和PicardPicard问题问题32时刻波形曲线时刻波形曲线时刻波形曲线时刻波形曲线O截面位置上质点速截面位置上质点速截面位置上质点速截面位置上质点速度度度度 应变应变应变应变 应力随时应力随时应力随时应力随时间的变化曲线间的变化曲线间的变化曲线间的变化曲线第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-波形曲线波形曲线线弹性波线弹性波线弹性波线弹性波,波速恒定波速恒定波速恒定波速恒定,应力波在传播过程中波形不变应力波在传播过程中波形不变应力波在传播过程中波形不变应力波在传播过程中波形不变.33例例例例2-1 2-1 求解一端固定求解一端固定求解一端固定
35、求解一端固定,长为长为长为长为l l杆中应力波的传播问题杆中应力波的传播问题杆中应力波的传播问题杆中应力波的传播问题.初始条件初始条件初始条件初始条件:边条件边条件边条件边条件:(固定端固定端固定端固定端)(自由端边条件自由端边条件自由端边条件自由端边条件)分析分析分析分析:(1)OA(1)OA以下以下以下以下区为恒值区区为恒值区区为恒值区区为恒值区 (2)(2)区区区区:作作作作PQPQ特征线特征线特征线特征线,边界边界边界边界ABAB上未知应力上未知应力上未知应力上未知应力;因此因此因此因此,区也是恒值区。区也是恒值区。区也是恒值区。区也是恒值区。第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应
36、力波34（3 3）区为简单波区，任一条特征线区为简单波区，任一条特征线区为简单波区，任一条特征线区为简单波区，任一条特征线RURU上，上，上，上，简单波区与恒值区总是相邻。简单波区与恒值区总是相邻。简单波区与恒值区总是相邻。简单波区与恒值区总是相邻。（4 4）区为复杂波区区为复杂波区区为复杂波区区为复杂波区,任一点作两条特征线，可以和任一点作两条特征线，可以和任一点作两条特征线，可以和任一点作两条特征线，可以和OCOC和和和和ADAD相交。相交。相交。相交。RSRS特征线满足；特征线满足；特征线满足；特征线满足；代入固定端边条件：代入固定端边条件：代入固定端边条件：代入固定端边条件：则有，则有
37、，则有，则有，若为自由端边条件：若为自由端边条件：若为自由端边条件：若为自由端边条件：则有则有则有则有第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波35该区域中任一点该区域中任一点该区域中任一点该区域中任一点MM的状态，作两条特征线，的状态，作两条特征线，的状态，作两条特征线，的状态，作两条特征线，36（5 5）区：区：区：区：NANA特征线，特征线，特征线，特征线，该区也是恒值区。该区也是恒值区。该区也是恒值区。该区也是恒值区。（6 6）区：区：区：区：第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波37第三章第三章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-塑性波塑性波2.5 2.5 2.5 2.5
38、 弹塑性杆中波的传播弹塑性杆中波的传播弹塑性杆中波的传播弹塑性杆中波的传播 一维长杆中施加的载荷一维长杆中施加的载荷一维长杆中施加的载荷一维长杆中施加的载荷v v达到材料的屈服速度达到材料的屈服速度达到材料的屈服速度达到材料的屈服速度 （对应于材（对应于材（对应于材（对应于材料中波的应力大于材料的屈服强度料中波的应力大于材料的屈服强度料中波的应力大于材料的屈服强度料中波的应力大于材料的屈服强度Y Y）时，即）时，即）时，即）时，即 或或或或 材料发生屈服而进入塑性变形状态，杆中将传播塑性波。此材料发生屈服而进入塑性变形状态，杆中将传播塑性波。此材料发生屈服而进入塑性变形状态，杆中将传播塑性波。
39、此材料发生屈服而进入塑性变形状态，杆中将传播塑性波。此时，塑性波波速时，塑性波波速时，塑性波波速时，塑性波波速 C C是应变是应变是应变是应变 的函数，变化规律与材料的本构关的函数，变化规律与材料的本构关的函数，变化规律与材料的本构关的函数，变化规律与材料的本构关系直接相关。系直接相关。系直接相关。系直接相关。38式中式中式中式中代入方程代入方程代入方程代入方程中得杆的波动方程中得杆的波动方程中得杆的波动方程中得杆的波动方程:一研究对象一研究对象一研究对象一研究对象 细长杆细长杆细长杆细长杆 均已知均已知均已知均已知,其中弹塑性波的传播问其中弹塑性波的传播问其中弹塑性波的传播问其中弹塑性波的传
40、播问题题题题.二波动方程二波动方程二波动方程二波动方程或或第三章第三章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-塑性波塑性波39三 特征线及其相容关系特征线及其相容关系特征线及其相容关系特征线及其相容关系 设二阶拟线性偏微分方程：设二阶拟线性偏微分方程：设二阶拟线性偏微分方程：设二阶拟线性偏微分方程：初始条件：初始条件：初始条件：初始条件：平面上的平面上的平面上的平面上的 以及以及以及以及 上的上的上的上的 ，或或或或 为已知，为已知，为已知，为已知，为参量。为参量。为参量。为参量。可由下式求出：可由下式求出：可由下式求出：可由下式求出：设设设设 上任意一点上任意一点上任意一点上任意一点 .方程（方
41、程（方程（方程（1 1）的解）的解）的解）的解 在在在在 处泰勒展开处泰勒展开处泰勒展开处泰勒展开第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-塑性波塑性波(1)40根据特征线的定义（不定解的求法）：如果假定曲线上的条根据特征线的定义（不定解的求法）：如果假定曲线上的条根据特征线的定义（不定解的求法）：如果假定曲线上的条根据特征线的定义（不定解的求法）：如果假定曲线上的条件尚不能唯一的求出这些偏导数，因而定不出方程的解。则件尚不能唯一的求出这些偏导数，因而定不出方程的解。则件尚不能唯一的求出这些偏导数，因而定不出方程的解。则件尚不能唯一的求出这些偏导数，因而定不出方程的解。则曲线定义为特征线
42、。曲线定义为特征线。曲线定义为特征线。曲线定义为特征线。(2a)(1)(2a)(1)(2a)联立组成关于联立组成关于联立组成关于联立组成关于 的三元一次方程的三元一次方程的三元一次方程的三元一次方程:其解其解其解其解第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-塑性波塑性波41式中式中式中式中 当当当当 时，方程有不定解。时，方程有不定解。时，方程有不定解。时，方程有不定解。由由由由 得特征线方程：得特征线方程：得特征线方程：得特征线方程：或或或或第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-塑性波塑性波42当当当当 时，两簇特征线。时，两簇特征线。时，两簇特征线。时，两簇特征线。(1)(
43、1)为双曲型偏微分方程；为双曲型偏微分方程；为双曲型偏微分方程；为双曲型偏微分方程；当当当当 时，一簇特征线。时，一簇特征线。时，一簇特征线。时，一簇特征线。(1)(1)为抛物型偏微分方程；为抛物型偏微分方程；为抛物型偏微分方程；为抛物型偏微分方程；当当当当 时，没有特征线。时，没有特征线。时，没有特征线。时，没有特征线。(1)(1)为椭圆型偏微分方程。为椭圆型偏微分方程。为椭圆型偏微分方程。为椭圆型偏微分方程。特征线上的相容关系：特征线上的相容关系：特征线上的相容关系：特征线上的相容关系：,或或或或 由此可分析由此可分析由此可分析由此可分析：经过处理，一个二阶拟线性偏微分方程简化为特：经过处
44、理，一个二阶拟线性偏微分方程简化为特：经过处理，一个二阶拟线性偏微分方程简化为特：经过处理，一个二阶拟线性偏微分方程简化为特征线方程和沿特征线上的相容关系，后面两个都属于常微分方征线方程和沿特征线上的相容关系，后面两个都属于常微分方征线方程和沿特征线上的相容关系，后面两个都属于常微分方征线方程和沿特征线上的相容关系，后面两个都属于常微分方程。程。程。程。第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-塑性波塑性波43考察一维波动方程考察一维波动方程考察一维波动方程考察一维波动方程:代入可得特征线方程代入可得特征线方程代入可得特征线方程代入可得特征线方程:代入可得相容关系代入可得相容关系代入可得
45、相容关系代入可得相容关系第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-塑性波塑性波二阶拟线性偏微分方程二阶拟线性偏微分方程二阶拟线性偏微分方程二阶拟线性偏微分方程,系数分别为系数分别为系数分别为系数分别为44或或或或45（若（若（若（若 则与线弹性杆中相同，现在讨论则与线弹性杆中相同，现在讨论则与线弹性杆中相同，现在讨论则与线弹性杆中相同，现在讨论 常数的情况）常数的情况）常数的情况）常数的情况）设应力设应力设应力设应力 ，仅是应变的常值函数。（仅考虑加，仅是应变的常值函数。（仅考虑加，仅是应变的常值函数。（仅考虑加，仅是应变的常值函数。（仅考虑加载段，不考虑卸载段）载段，不考虑卸载段）载段
46、，不考虑卸载段）载段，不考虑卸载段）积分为积分为积分为积分为令令令令则上式则上式则上式则上式 或或或或第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-塑性波塑性波 上式对弹性波和弹塑性波都适用，积分后，可得到左行波和上式对弹性波和弹塑性波都适用，积分后，可得到左行波和右行波特征线上的相容关系的等价式为：右行波特征线上的相容关系的等价式为：46(1)(1)线弹性材料线弹性材料线弹性材料线弹性材料;(2);(2)线弹性线弹性线弹性线弹性-线性硬化材料线性硬化材料线性硬化材料线性硬化材料;(3);(3)线弹性线弹性线弹性线弹性-递减硬化材料递减硬化材料递减硬化材料递减硬化材料;(4);(4)线弹性线
47、弹性线弹性线弹性-递增硬化材料递增硬化材料递增硬化材料递增硬化材料几种常见的材料本构模型几种常见的材料本构模型几种常见的材料本构模型几种常见的材料本构模型第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-塑性波塑性波47（1）线弹性材料）线弹性材料对于特定的材料弹性波波速为常数：对于特定的材料弹性波波速为常数：，特征线为相互平行的直线。特征线为相互平行的直线。（2）线弹性）线弹性-线性硬化材料线性硬化材料弹性弹性区内区内，塑性区内，塑性区内，塑性波速为常数，且塑性波速为常数，且。弹性区内。弹性区内和塑性区内的特征线分别相互平行，但是和塑性区内的特征线分别相互平行，但是弹性波特征线与塑性波特征线斜
48、率不相同。弹性波特征线与塑性波特征线斜率不相同。第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-塑性波塑性波48（3）线弹性）线弹性-递减硬化材料递减硬化材料弹弹性性区区：，塑塑性性区区：，且且有有.弹弹性性区区内内特特征征线线分分别别相相互互平平行行，塑塑性性区区内内波波幅幅不不同同的的特特征征线线彼彼此不平行。此不平行。a）上凸形的上凸形的曲线；曲线；二阶导数二阶导数；b）随着应力增加随着应力增加,应变增加应变增加,塑性波速减小塑性波速减小,塑性波传播过塑性波传播过程中，波剖面是逐渐发散和展宽的（发散波）。程中，波剖面是逐渐发散和展宽的（发散波）。第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应
49、力波-塑性波塑性波49（4）线弹性）线弹性-递增硬化材料递增硬化材料弹弹性性区区：，塑塑性性区区：，塑塑性性波波速速不不为为常常数数。弹弹性性区区内内特特征征线线分分别别相相互互平平行行，塑塑性性区区内内波波幅幅不不同同的的特特征征线彼此不平行。线彼此不平行。(a)下凹形的下凹形的曲线曲线;二阶导数二阶导数；(b)随着应力增加随着应力增加,塑性波速增加；塑性波速增加；(c)塑性波传播过程中，高幅值扰动的塑性波传播过程中，高幅值扰动的传播速度大于低幅值扰动的传播速度，传播速度大于低幅值扰动的传播速度，波剖面会愈来愈陡波剖面会愈来愈陡(会聚波会聚波)，最终将，最终将在波阵面上发生质点、速度和应力应
50、变的突跃，形成冲击波。在波阵面上发生质点、速度和应力应变的突跃，形成冲击波。第二章第二章 一维杆中的应力波一维杆中的应力波-塑性波塑性波50例例例例:半无限长杆半无限长杆半无限长杆半无限长杆,处于静止的自然状态处于静止的自然状态处于静止的自然状态处于静止的自然状态,在初始在初始在初始在初始t=0t=0时刻杆端受时刻杆端受时刻杆端受时刻杆端受到一撞击载荷到一撞击载荷到一撞击载荷到一撞击载荷,若杆端质点速度随时间的变化若杆端质点速度随时间的变化若杆端质点速度随时间的变化若杆端质点速度随时间的变化 已知已知已知已知.问题归结为在初始条件和边条件下问题归结为在初始条件和边条件下问题归结为在初始条件和边