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1、- 1 -20192019 学年度第一学段高三年级学段考试试卷学年度第一学段高三年级学段考试试卷理科数学（理科数学（I I 卷）卷）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分，分，1已知集合，集合，则等于（） 1|02xAxxBNABABCD1,0,11 0,11,0【答案】C【解析】集合，集合，1|0| 122xAxxxx BN 0,1AB 故选C2已知向量，且，则等于（） (1,2)a ( , 2)bx ab|abABCD554 231【答案】B【解析】，且，(1,2)a ( , 2)bx ab，得，40x4x ，(
2、1,2)a (4, 2)b (5,0)ab| 5ab故选B3设复数满足（其中 为虚数单位） ，则的模为（） z(12i)2izizABCD1253【答案】A【解析】由题意，复数，2i(2i)(12i)5ii12i(12i)(12i)5z的模z| | 1z 故选A4执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果为（） 5n - 2 -为为为为n为 为 为 为i=1n=n2n=3n+1n=1?i=i+1为 为 n输出i结束为 为ABCD4567【答案】B【解析】模拟执行程序，可得，执行循环体，5n i1不满足是偶数，不满足条件，；n16n 1n i2满足条件是偶数，不满足条件，；n8n 1n i3
3、满足条件是偶数，不满足条件，；n4n 1n i4满足条件是偶数，不满足条件，；n2n 1n i5满足条件是偶数，满足条件，退出循环，输出 的值n1n 1n i5故选B5已知，则等于（） 3,223tan()4 sincosABCD1 51 51 57 5【答案】B【解析】，且，3tan()tan04 3,22，4cos5 3sin51sincos5 故选B- 3 -6下列命题中正确的是（） A若为真命题，则为真命题pqpqB “，”是“”的充分必要条件0a 0b 2ba abC命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则2320xx1x 2x 1x 2x ”2320xxD命题，使得，则，使得0:px
4、R2 0010xx :px R210xx 【答案】D【解析】项若为真命题，则，中至少有一个为真，则为真假不确定，故Apqpqpq错误；A项若，则，当且仅当时取得等号，反之，若B0a 0b 1222bab a aba bab，即，即，即有，2ba ab2220abab ab2()0ab ab0ab 则“，”是“”的充分不必要条件，故错误；0a 0b 2ba abB项命题“若，则或”的逆否命题为“若或，C2320xx1x 2x 1x 2x 则”故错误；2320xxC项命题，使得，则，使得，故正确D0:pxR2 0010xx :px R210xx D故选D7函数且的图象可能为（） 1( )cos (
5、 f xxxxx0)x AxyOBxyOCxyOD xyO- 4 -【答案】D【解析】对于函数且，它的定义域关于原点对称，1( )cos ( f xxxxx0)x 且，故函数，1()cosfxxxx ()( )fxf x 所以的奇函数，故它的图象关于原点对称，排除、，( )f xAB又当时，排除x 11()cos0fC故选D8某学校运动会的立定跳远和秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为30名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊10学生序号12345678910立定跳远（单位：米） 1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030 秒跳绳（单位：次）
6、63a75606372701a b65在这名学生中，进入立定跳远决赛的有 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有1086 人，则A号学生进入秒跳绳决赛230B号学生进入秒跳绳决赛530C 号学生进入秒跳绳决赛830D号学生进入秒跳绳决赛930【答案】B【解析】由于这名学生中，进入立定跳远决赛的有 人，故编号为 ，1081， ， 的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和秒跳234567830绳决赛的有人，则 ，号同学必进入秒跳绳决赛，剩下 ， 号同学63673012458的成绩分别为：，有且只有 人进入秒跳绳比赛，故成绩为的同63a60631a 33063学必进入秒跳绳决赛，
7、则号学生进入秒跳绳决赛30530故选B二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分）9已知正方形边长为，为边上一点，则的最小值为_ABCD2EABED EC 【答案】3- 5 -【解析】以为原点，为轴，为轴建立如图所示直角坐标系，BBCxBAy则由正方形边长为得，2(2,0)C(2,2)D设， （其中） ，则，(0, )Ey02y(2,2)EDy (2,)ECy ，2222(2) ()24(1)3ED ECyyyyy 故当时，取得最小值，的最小值为 1y ED EC ED EC 3xy DABCE10_10(e2 )dxxx【答案】e【解析】1201(e2 )d
8、(e)e1 1e0xxxxx 11已知数列满足，且，则 na11a 1()(*)nnnan aanN_；_2a na 【答案】；2n【解析】由得，1()nnnan aa11nnnaan又，11a 2122aa由，得，11nnnaan11nnan an，212a a323 2a a434 3a a 11nnan an324 1 1231341 2231n n naaaanaanaaaan 12设函数，则使得成立的的取值范围是_( )1 |xf xx2(2 )(36)f xxxx【答案】(,2)(3,)- 6 -【解析】函数为奇函数，当时，( )1 |xf xx0x 1( )111xf xxx 可
9、得在上单调递增，( )f x(0,)由奇函数的性质，可得在上单调递增，( )f xR由，可得，即，2(2 )(36)f xxx2236xxx2560xx解得或，2x 3x 故的取值范围是x(,2)(3,)13已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函R( )yf x3( )2fxf x 3 4yfx数，给出以下四个命题：函数是周期函数；( )f x函数的图象关于点对称；( )f x3,04函数是偶函数；( )f x函数在上是单调函数( )f xR在述四个命题中，正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号） 【答案】【解析】对于，函数是以 为周期的周期函数，故3(3)(3)2f xfxf ( )f
10、 x3正确；对于，是奇函数，其图象关于原点对称，又函数的图象是由3 4yfx( )f x的图象向左平移个单位长度得到，所以函数的图象关于点对称，3 4yfx3 4( )f x3,04 故正确；对于，由知，对于任意的，都有，xR33 44fxfx 用换，可得：，3 4xx3( )02fxf x对任意的都成立，33( )22fxf xfx xR令，则，函数是偶函数，故正确；3 2tx()( )ftf t( )f x- 7 -对于，由知是偶函数，偶函数的图象关于轴对称，( )f xy在上不是单调函数，故错误( )f xR综上所述，正确命题的序号是14已知，是函数在内的两个零点，则 1x2x( )2s
11、in2cos2f xxxm0,2 12sin()xx_【答案】2 5 5【解析】由，是函数在内的两个零点，可得：1x2x( )2sin2cos2f xxxm0,2 ，即为：，11222sin2cos22sin2cos2mxxxx12122(sin2sin2)cos2cos2xxxx 即有，121221214cos()sin()2sin()sin()xxxxxxxx 由，可得，可得，12xx12sin()0xx2112sin()2cos()xxxx又，可得，22 1212sin ()cos ()1xxxx2 1220sin ()25xx，120,xx122 5sin()5xx三、解答题（共三、解
12、答题（共 8080 分）分）15 （本小题满分分）13已知向量，且函数2(cos ,cos)axx(sin ,3)bx( )f xa b （ ）求函数的最大值以及取最大值时的取值集合1( )f xx（）在中，角，的对边分别为，且，2ABCABCabc3 22Af 3a ，求的面积2 3bcABC 【答案】见解析【解析】 （ ）由题意，1213133( )sin cos3sinsin2(cos21)sin2cos222222f xa bxxxxxxx ，3sin 232x当，即，时，取最大值，22 32xkkZ512xkkZ( )f x312- 8 -函数的最大值为，此时的取值集合为( )f x
13、312x5|,12x xkkZ（），233sin2322AfA ，sin03A为的内角，AABC， 3A由余弦定理得即，2222cosabcbcA2222()3abcbcbcbc又，故，3a 2 3bc9123bc得，1bc 的面积ABC1133sin12224SbcA 16 （本小题满分分）13已知数列的前项和为，且是和 的等差中项，等差数列满足， nannSnanS1 nb11ba43bS（ ）求数列，的通项公式1 na nb（）设，数列的前项和为，求证211n nncb b ncnnT1 2nT 【答案】见解析【解析】 （ ）是和 和等差中项，1nanS1，21nnSa当时，得，1n 1
14、1121aSa11a 当时，2n111(21)(21)22nnnnnnnaSSaaaa，即，12nnaa12nna a数列是以 为首项，为公比的等比数列， na12，12nna设的公差为，则由，得， nbd111ba431247bS 2d ，1(1)221nbnn - 9 -综上所述，12nna21nbn（）证明：，2111111 (21)(21)2 2121n nncb bnnnn111111123352121nTnn，111221n，*nN，1021n，11112212n即1 2nT 17 （本小题满分分）13某市，两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐了 名男生、名女生，中学推ABA32
15、B荐了 名、名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加34集训的男生中随机抽取 人，女生中随机抽取 人组成代表队33（ ）求中学至少有 名学生入选代表队的概率1A1（）某场比赛前，从代表队的名队员中随机抽取人参赛，设表示参赛的男生人数，264X求的分布列和均值X【答案】见解析【解析】 （ ）由题意，参加集训的男、女学生各有人，参赛学生全从中抽出的概率为：16B，33 34 33 66C C1 C C100故中学至少有 名学生入选代表队的概率为：A11991100100（）由题意的可能取值为： ， ，2X123，13 33 4 6C C1(1)C5P X 22 33 4
16、 6C C3(2)C5P X 31 33 4 6C C1(3)C5P X 故的分布列为：XX123P1 53 51 5- 10 -均值131()1232555E X 18 （本小题满分分）13如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点PABCDABCD60BAD QAD（ ）若，求证：平面平面1PAPDPQBPAD（）若平面平面，且，点在线段上，试确定点的2PADABCD2PAPDADMPCM位置，使二面角大小为，并求出的值MBQC60PM PCQPCBAD【答案】见解析【解析】zxyD A BCPQ（ ）证明：，为的中点，1PAPDQAD，PQAD又底面为菱形，ABCD60BAD 是等边三角形，
17、ABD是中点，QAD，BQAD又，PQBQQ平面，AD PQB平面，AD PAD平面平面PQBPAD（）平面平面，平面平面，2PADABCDPADABCDADPQAD- 11 -平面，PQABCD以为坐标原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，如图所示，QQAQBQPxyz则由题意知：，(0,0,0)Q(0,0, 3)P(0, 3,0)B( 2, 3,0)C 设，则，(01)PMPC ( 2 , 3 , 3(1)M 平面的一个法向量是，CBQ1(0,0,1)n 设平面的一个法向量，MQB2( , , )nx y z则，即，2200QM nQB n 233(1)030xyzy取，233,0, 3
18、2n 二面角的大小为，MBQC60，212121|3 2| |33132nn nn 解得，此时1 31 3PM PC19 （本小题共分）14已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆2222:1(0)xyCabab 1( 1,0)F 2(1,0)F21,2A上C（ ）求椭圆的标准方程1C（）是否存在斜率为的直线 ，使得当直线 与椭圆有两个不同交点，时，能在22llCMN直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线 的5 3y PCQPMNQ l方程；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】 （ ）设椭圆的焦距为，则，1C2C1C 在椭圆上，21,2AC，22 12222|(1 1)2 2
19、22aAFAF- 12 -，2a 2221bac故椭圆的方程为C2 212xy（）假设这样的直线存在，设直线 的方程为，2l2yxt设，的中点为，11( ,)M x y22(,)N xy35,3P x44(,)Q xyMN00(,)D xy由，消去，得，22222yxtxy x229280ytyt，且，122 9tyy22436(8)0tt 故且，12 029yyty33t 由，知四边形为平行四边形，PMNQ PMQN而为线段的中点，因此为线段的中点，DMNDPQ，得，405 3 29yty 4215 9ty又，可得，33t 4713y 点不在椭圆上，Q故不存在满足题意的直线 l20 （本小题
20、共分）14已知函数，( )ln(1)f xxx22( )()2xxag xaxR（ ）求函数的单调区间及最值1( )f x（）若对，恒成立，求的取值范围20x ( )( )1f xg xa（ ）求证：，31111ln(1)35721nn(*)nN【答案】见解析【解析】 （ ）的定义域为，1( )f x( 1,) 1( )111xfxxx 令得，令，得，( )0fx10x ( )0fx0x 的单调增区间是，单调减区间是，( )f x( 1,0)(0,)- 13 -，无最小值max( )(0)0f xf（）若对，恒成立，20x ( )( )1f xg x则对，恒成立，0x 22ln(1)12xxa
21、xxx即对，恒成立，0x (2)1ln(1)axx令，则，( )(2)1ln(1)h xxx21( )1ln(1)ln(1)11xh xxxxx 当时，显然，0x 1( )ln(1)01h xxx 在上是减函数，( )h x(0,)当时，0x ( )(0)2h xh，即的取值范围是2aa2,)（ ）证明：由（）知，当，时，即，322a 0x 2ln(1)12xxln(1)2xxx在上式中，令，得，即，1(*)xkkN1 1ln12kk k k 11ln21k kk依次令， ，1k 23n得，21ln1331ln2541ln3711ln21n nn将这个式子左右两边分别相加得，n1111ln(1)35721nn即，1111ln(1)35721nn(*)nN