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1、第二章2.3 23.2第1课时基础巩固一、选择题.设双曲线马一0, b0）的离心率为日 a bzA. y=3B. y=|xC. y=1xD. y=x答案c 砧hic 近.c2 5L解析e a Za 4,2_5 22_a.b-a-a-p,?=4,即渐近线方程为丫=故. a zzn224.己知o0,|k|-20.-又 c=k-l+ k-2 =2k-3l, 故选A.二、填空题7 .若双曲线的渐近线方程为y=3x,它的一个焦点是（5，0）则双曲线的方程是答案x2-=l解析设双曲线方程为9x2-y2=A （入0）,即（一4=1. A A 9Va2+b2=c2,/*zF 人=10,解得人=9.KZ双曲线方
2、程为X2-=l8 .(2018 全国卷n文，15)已知双曲线过点(4, 且渐近线方程为丫=方，则该双曲线的标准方程 为.答案y=i122解析根据双曲线渐近线方程为y= 土?，可设双曲线的方程1丫2=必把(4,的代入y?=1n得m=1.所以双曲线的方程为1-y2=l.三、解答题9.已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2+y2=10相交于点P(3, -1),若此圆过点P的切线与双曲线 的渐近线平行，求此双曲线的方程.解析解法L切点为P(3, 1)的圆的切线方程为3xy=10. ,双曲线的一条渐近线与切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称， .两渐近线方程为3xy=0.设所求的双曲线方程为9x2-y2=
3、入(入H0),丁点P(3, 1)在所求的双曲线上，入=80. 所求双曲线的方程为旨一a=1.9解法2：切点为P(3, 1)的圆的切线方程为3x-y=10. 双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标对称， 双曲线的渐近线方程为3xy=0.当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为一(=130, b0),则其渐近线方程为y=土%,即？=3, a ba a则双曲线方程可化恳一(=1. 双曲线过P(3, -1),3-表=L a2=y, b2=80. 所求双曲线的方程为第一% 1. oU OU9当焦点在y轴上时，设双曲线方程为马一3=110, b0),则其渐近线方程为y=?,即：=3,则双曲线
4、a 0d b方程可化为翡一百=1. 双曲线过点P(3, -1), 热T =L得埸=1,此方程无解.X2 y2所求的双曲线方程为亲一亲=1. OU OU9能力提升：一、选择题1 .已知双曲线也一看=l（a0, b0）的一条渐近线平行于直线1： y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线1 上，则双曲线的方程为（） 2 22 2A J JR4 5 20-120 5-1c组一直=1D%一直=125 100, 100 25答案A解析由于一个焦点在直线y=2x+10上，则一个焦点为（-5,0）,又由渐近线平行于直线y=2x+10.则，=2,结合 a2+b2=c, c=5 得， a/.a2=5, b2=20,
5、双曲线标准方程为春一亲=1,选A.o zu2 .己知椭圆吞+=1和双曲线京一京=1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A. x=yB. y= 士唱xC. x=yD. y=x答案D解析由双曲线方程判断出公共焦点在X轴上，椭圆焦点（啊二瓦?，0）, 双曲线焦点（庖锚，0）.r.3m2-5n2=2m24-3n2. /.m2=8n2.又,双曲线渐近线为y= 土吗;X， ，代入 m2=8r?, m=2yf2n ,得 y= 土呼x.3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3,0）,离心率等于5,2222A 9-工=1RL=1爪431B,451X2y2x2y2。2 5T% 1答案B3解析e=z c=
6、3, .*.a=2, .*.b2=c2a2=5,即双曲线的标准方程为一=1. 4 5.则C的方程是（）答案D解析由双曲线方程判断出公共焦点在X轴上，椭圆焦点（啊二瓦?，0）, 双曲线焦点（庖锚，0）.r.3m2-5n2=2m24-3n2. /.m2=8n2.又,双曲线渐近线为y= 土吗;X， ，代入 m2=8r?, m=2yf2n ,得 y= 土呼x.3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3,0）,离心率等于5,2222A 9-工=1RL=1爪431B,451X2y2x2y2。2 5T% 1答案B3解析e=z c=3, .*.a=2, .*.b2=c2a2=5,即双曲线的标准方程为一=1.
7、 4 5.则C的方程是（）4.如图，R、F2是椭圆Cu +y2=l与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是G、Q在第二、四象限的公共点.若 四边形AFiBFz为矩形，则C2的离心率是()A.2B.小1 D近2 u- 2答案D解析不妨设双曲线方程为一(=1.由题意知 |BFj-|BF2|=2a=|BFj2+|BF2|2-2|BFj |BF2|=4a2,并由勾股定理得|BFF+|BFz|2=4c2=i2,由知 124a2=2|BR| IBF2I，AlBFil |BF2|=6-2a2.下面求|BR| IBF2I 的值.在椭圆中 |BFj + |BF2=4, ttlBFip+lBFallBFd |BF2|
8、=16, 又由知 |BFir+|BF2|2=4c2=12,r.lBFil |BF2|=2,因此有 c2-a2=L,*c2=3, * a2=2,，弓的离心率 e= o .a ，二、填空题25 . (2018 北京理，10)已知双曲线%-y2=l(a0)的一条渐近线为，x+y=0,贝!) a=.答案当解析双曲线京一y2=l(a0)的渐进线方程为丫= 土生，/x+y=0=y=Va0,则一=一4,6 .已知点F、A分别为双曲线C：京一=l(a0, b0)的左焦点、右顶点，点B(0, b)满足而而=0,则 双曲线的离心率为.答案苧解析由已知 F(c, 0), A (a, 0),AFB=(c, b), A
9、B=(-a, b),:.由丽 AB=0 得一ac+b2=0,即 c2aca2=0, e2e1=0,解得e=LV(另一根舍去).7 .设m是常数，若点F(0, 5)是双曲线9一=1的一个焦点，则m=.m y答案16解析本题考查双曲线的标准方程以及a、b、c基本量的关系和运算.根据标准方程可知，a2=m, 1)2=9,而c=5, ：c2=a2+b2H .52=/+9.三、解答题228.如图，已知F】、F?为双曲线当一强=110, b0)的焦点，过Fz作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且 a bNPFF2=30 .求双曲线的渐近线方程.解析解法一：设F2(c, 0) (c0), P(c, yo),代
10、入方程得yo=Z aA|PF2|=7. a在 RtZiFF2P 中，ZPF1F2=30 ,l2.|FiF2|=V3|PF2|,即 2c=又/.b2=2a2, -=y(2.a y故双曲线的渐近线方程为y= +y2x.解法二：在 Rt/SPFE 中，ZPF1F2=30 ,A|PFi|=2|PF2|,由双曲线的定义可知|PF 一 |PFz| =2a,A|PF2|=2a, A|F1F2|=V3|PF2|.2c=2/3a, c2=3a2=a24-b2. A2a2=b2.=*,故所求双曲线的渐近线方程为y=*x. 229.已知双曲线当一%=l(a0, b0)的右焦点为F(c, 0). a b(1)若双曲线
11、的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程；(2)以原点0为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线，斜率为一镉, 求双曲线的离心率.解析 二双曲线的渐近线为y=x, ：.a=b,.*.c2=a24-b2=2a2=4, /.a2=b2=2,双曲线方程为X=l.(2)设点A的坐标为(xo, yo),，直线A0的斜率满足段-(一小)=一1,/.xo=/3yo,依题意，圆的方程为x?+y2=c2,将代入圆的方程得3y54-yS=c2,即y0=1c, Xo- 2 c，点A的坐标为(乎c,代入双曲线方程得3c2 C2+一*=1,即和 2c2 一%c2 = a2b2,又a2+b2=c2,将b?=c2-a?代入式，整理得 4c, 2a2c2+a=0, 3 (9)，-8 (2) 2+4=0, a aA(3e2-2) (e2-2)=0,Vel, ,e=/，双曲线的离心率为也.