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1、2022-2023年上海市实验学校高二上开学考 2022.08一.填空题.已知向量 =(5,3), b = (-l,x),且则实数%=.若1 + i是关于无的实系数方程/+云+。= 0的一个复数根，则。=.已知向量 = (5,3), 3 = (-1,2),则2在加上的投影向量的坐标为1 .记S为数列%的前项和，若S=2%+1,则&=.已知等差数列。的公差dw。，且用+嫉+164 = +%：,则%的前15项和S15=6,设|=2, |=3, |3。一|=6,则向量2与B的夹角为.复数sinl-icosl的辐角主值是7 .在A3C 中，GA + GB + GC = 0, GAGB = 0,则由 A
2、 + tan 功 tan C =tan A - tan B.在矩形A3CO中，AC = 1, AEBD,垂足为,则女)(加E)的最大值是.设/(x)是定义在Z上的函数，且对于任意的整数 满足/( + 4)-/()6(n + 5), /(-1) = -505,则 /*023)的值为289二.选择题.在复平面内，复数L的共辗复数对应的点位于第()象限1-iA.一B.二 C.三 D 四.设为正整数，则“数列氏为等比数列”是“数列满足。g+3=%讨%+2”的()条件A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要.已知%为等比数列，下面结论中正确的是()14.2021年第十届中国花卉博览会
3、举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目(如图)，而美妙的 蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图 像，探究如下：图 国 UUl UUUUU1UUU如图，平面上有两定点。、A,两动点5、Q,且|OA|=|OB|=1, Q4绕点。逆时针旋转到03所形成的角记1 xQ为凡 设函数/(。)= 4sign(e)cose-sin5g ( -n 3 7t,其中 sign(x) = 0 x = 0 ,令夕= /(8),作-1 x 0UUlU UUUOQ = pOB ,随着。的变化，就得到了点。的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点。
4、的轨迹(考虑蝴蝶的朝向)最有可能为()4B.C.D.三.解答题.已知向量。=(cosx,sinx), b = (3,-73), xe0,.(i)若B,求工的值；(2)记/(x) = q，求函数y = /(x)的最大值和最小值及对应的X的值.15 .设复数 z = + Oi （其中 a、Z? g R ）, Zj = z +Id , z2 = z- Id （其中 ZeR）.(1)设 = /? =，若|zj = |z2l，求出实数k的值；(2)若复数Z满足条件：存在实数攵，使得Z与Z2是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数 Z的模的取值范围.17. S 为等差数列4的前项和，且q=1
5、, 7=28,记2=lgq/，其中幻表示不超过x的最大整数，如 0.9 = 0, lg99 = l.(1)求白、如、% ；(2)求数列2的前2022项和.18.已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64, 2是公比大于0的等比数列，4=4,a-=48 （1）求和的通项公式；(2) iBc = b2n + , N .llZ77 jb证明C；-。2是等比数列；证明之 k=四.附加题19.设数列的前项和为S，若对任意正整数，总存在正整数相，使得S=%，则称%是“H数列（1）若数列q的前项和为S=2（eN*）,证明：%是“，数列”；（2）设4是等差数列，其首项4=1,公差d0.若%是“”数列”，求d的
6、值；（3）证明：对任意的等差数列,总存在两个“H数列” a和g,使得q =+%（ N* ）成立.20 .称一个复数数列z为“有趣的，若|马|=1,且对任意正整数外均有4z3+2zz向+z；=0 .求最大的常 数G使得对一切有趣的数列z及任意正整数机，均有I4+Z2+ z,| NC参考答案一.填空题4. -6331.2.257. Id7127. Id7127. Id7125. 156. arccos449. 一10. 353527二.选择题W.D12. A13. B14. B三.解答题15.好 /(矶1ax =/(0) = 3 , /(4山=/)=2G6o 16. (1) k = -l； (2) (0,1)17. (1) b1=0,Ai=l，% = 2 ； (2)0x9 + 1x90+2x900+3x1023 = 495918. (1) an = 2n-,2=4 ； (2)略四.附加题(1)略；(2) d = -l； (3)略近3