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1、西北工业大学数值分析习题集第一章绪论1 .设xO,x的相对误差为3,求Inx的误差.2 .设X的相对误差为2%,求*的相对误差.3 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：X* 1.1021, X* 0.031, X* 385.6, X* 56.430, X* 7 1.0.123454 .利用公式(3. 3)求下列各近似值的误差限：(i)X* X* X；,(ii)X；X2*X*,(iii)X2*/xJ 其中 X*，XJX*,X；均为第 3 题所给的数.5 .计算球体积要使相对误差限为1 %，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？6
2、.设工2&按递推公式1Y Y V783n n 1 100(n= 1,2,)计算到710G .若取用27.982 (五位有效数字)，试问计算丫益将有多大误差？7 .求方程M 56X 1 的两个根，使它至少具有四位有效数字( 弱=27.982).!_dx.当N充分大时,怎样求n 1 X2 ?8 .正方形的边长大约为100 cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1 cm 2?1S -gt29 .设 2假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.10 .序列口？满足递推关系* 1丫 1(n=l,2,)，若% I (三位有效数字), 计算到y10时误差
3、有多大?这个计算过程稳定吗？11 .计算(质1次取展14,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？1=,(3 2x5)3,-,99 70应(72(3 2M3. f(X)小优 g 1),求f(30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式ln(x & 1) ln(x * 1)计算,求对数时误差有多大？可复制、编制，期待你的好评与关注!12,用三点公式和五点公式分别求f J） X）2在x 1. 0, 1.1和1. 2处的导数值,并估计 误差.f（x）的值由下表给出：X1.01. 11.21.31.4f(x)0. 25000. 22680. 20660. 18900.
4、1736第五章 常微分方程数值解法1 .就初值问题y b,y（0）。分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达 1y - ax2 bx式，并与准确解2 相比较。2 .用改进的尤拉方法解初值问题y x y,0 x 1;y（o） 1,取步长h=0.1计算，并与准确解y X 1 2ex相比较。3 .用改进的尤拉方法解y x2 x y;y（o）o,取步长h=o.l计算y（05）,并与准确解y ex X2 X 1相比较。4 .用梯形方法解初值问题y y o；y（o）1,证明其近似解为2 h n1cv e x并证明当h时，它原初值问题的准确解5 .利用尤拉方法计算积分在点x 05,1,1,5,2的近似
5、值。在点x 05,1,1,5,2的近似值。xet2dto6 .取h=0.2,用四阶经典的龙格一库塔方法求解下列初值问题:y x y,0 x 1;1)y(o)1,y 3y/(1 x),0 x 1;2)y(o) 1.7证明对任意参数t,下列龙格一库塔公式是二阶的:yn1 v.卯2 K3)；Ki f()；Kf(x th,ythK );2nn1K f(x (1 t)h,y (1 t)hK ).8 .证明下列两种龙格一库塔合法是三阶的：1yn1 % . 3K3)；K f(x y );n nKf(xDy ); n3Kf(x4,y4k );1) 3 n 3 n 2y y 42K 3K 4K );7n 1 J
6、n 9123，4 f(Wn)；K2 f( ,却Kf(x%y %K ).2) 3 n 4 n 4 2.分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题: v 1 y,y（0） 0,e x相比较。13y )”nJ取h 02yoi 0,y。网，计算2）并与准确解丫 1.证明解y f （x，y）的下列差分公式1n n是二阶的，并求出截断误差的首项。11.导出具有下列形式的三阶方法：ym aoyn Vm a2yn2 h（by nby.将下列方程化为一阶方程组：V 3y 2y 0,i）y（o）i.y（o）1；y 0.1（1 y2）y y 0,2)y(o)i,y(o)o；,、 X ,、 V X
7、(t) y(t) r X2 y2)O z11x(0) 0.4, x (0) 0, y(0) 0, y (0) 2.12 .取h=0.25,用差分方法解边值问题y y o； y(0) 0,y(1) 1.68.13 .对方程y f （x，y）可建立差分公式y 1 2y y h2f（x ,y ）, 试用这一公式求解初值问题“0 y 1;y（o）y（i） o,验证计算解恒等于准确解.取h=0. 2用差分方法解边值问题（1 x2）y xy 3y 6x 3;y（o）y（o）ty（i） 2.第六章方程求根1.用二分法求方程X2 X 1 0的正根，要求误差0.05。2,用比例求根法求f（x） 1 xsinx
8、在区间oj内的一个根，直到近似根Xk满足精 度|f（xj| 0005时终止计算。3.为求方程X3 X2 1 在X。15附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并 建立相应的迭代公式。X 1 1/X21）X 1 1/X2,迭代公式 k1k；X3,1注2） X3 1俨2,迭代公式k 14 k ;X? dy1 / X 13） 2L，迭代公式乂 v V-U试分析每种迭代公式的收敛性，并选取“种公式求出具有四位有效数字的近似根。4） 比较求ex 10x 2 0的根到三位小数所需的计算量；1）在区间0,1内用二分法;2）用迭代法xki化水）/10 ,取初值x0 0。5d定吗确住第fct智般挥且0 m,z
9、f6.已知X （X）在区间a, b内只有仁根x）恤曲a.|xto.利用初等反射阵将正交相似约化为对称三对角阵。8.设A RnL且 盘，,不全为零，1为使0P A口的平面旋转阵，试推导计算人第p T行，第j行元素公式及ij第i歹U,第j列元素的计算公式。AA.设21是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y是 用的一个特征向量。证明矩阵A对应的特征向量是X Pp 2 Pn2y(b)对于给出的y应如何计算x ?9 .用带位移的QR方法计算(b)全部特征值。10 .试用初等反射阵A分解为QR,其中Q为正交阵，R为上三角阵,111A 21124 5数值分析习题简答(适合课程数值方法A和数值方法B)西北工业大
10、学1. e (Inx)y(X) r第一章绪论习题参考答案可复制、编制，期待你的好评与关注!11.证明（fk9 fk gkgk1 Tk.2.(xn) r(Xn)n (x*)x*0.02n3.手有5位有效数字，XJ有2位有效数字，X有4位有效数字，X；有5位有效4.数字，有2位有效数字。(X* X* X*)(x)(x*)(X) 0.5 10 4240.5 10 3 0.5 10 3 1.05 10 35.6.7.8.9.10.11.12.13.(XJX*X*) 2 gx* ()e 3(X)2(x*)0.214790825x* 1(本 一21 2 (以 2 (x) 8.85566810 6300)2
11、8(x)4(R) r r4i36V21 1100100 2L783 55.9821 dx(S)2_72SII gt (t)103x 282arctgN12 (S) 0.0050.1g t(V)/1 (V)3 y103783(S) r28L7830.0033331be” 0.0178655.982gj (t)7 R2 gt22怦)t，故t增加时s的绝对误差增加，相对误哥小。7(y ) 1010 (V )108%，2,计算均程不稳定。f ( 2 1)6 0.005051,如果令 2 1.4,贝ij 乙0.005233 上八二 fc i(2 1尸f 3 2 2)3 0.008 4 V , 4的结果最
12、好。(2 1 0.004096? Q血 25(3 2 5)399 70 2 1 ff(30)4.094622,开平方时用六位函数表计算所得的误差为10 4，分别代入等价公式L(x) ln(x X2 1),f2(x) ln(xX21)得n(17)X X2 1X X2 1(xX2 1)601 1042103n(1V )X X2 1X X2 11601 10428.331071.2.3.、mx 1.000000,x 1.000000 一十万程组的真解为1999999999 ?,而无0 j i n 1,结果十可靠。c -b- at ws c c aL2(x) 0(x(X X(X 1)(x 2)(15
13、X26线性插值：取为1)(13 x22) 73.(3)1 1)( 1 2)（X 1）（X4 2）（X 1）（x 1）(2 1)(2 1)0.5? 0.6, yQ0.693147, V0.510826,贝1jIn 0.54 L(0.54) yyix1yo (0.54 x0X。)0.620219二次插值：取x 0.4, x 0.5, x 0.6, y 01270In 0.54 LJ0.54) (0.54 x )(0.54 x )V。 (xx )(x x )0102=0.616707 .0.916291,0.693147, y20.510826 ,贝jR(x) f(x) L(x)4.1所以总误差界I
14、R1（X）I5.6.i)对 f(x)Xk(0.54X/Q54 x2)x0)(E X?)y2(0.54 Xq)(0.54 x)a x0)(x2x?-21max4 X为)(X X0)(x xI COS (x) Ix ,x0 1121(X X )210max | (x*0 X 一11a 6nxj(xx)|1801.06 10 8(x x0x期2)(x3 x)(x x )冲3 X)W，取得最大值max |l2(耕xs(kP(x)n10 7 7% X餐0,1，,，n）在x0,X/,Xn处进行n次拉格朗日插值,R （x）n则有可复制、编制，期待你的好评与关注!1L（x）x； 口叫|）（）（x xo）（x
15、xn）/、 cI (x)xk Xk由于f(m)( ),故有j j Jn)构造函数g(x)(X t)k插值余项为 由于 g(n1)( ) 0,(kL (x) nn i 0,/ gm 1)()L (x)nv) (n 1)!12,n).故有(X t)k|(X)j j(xx)J j 0(X t)k L (x)nn(X . t)k|(X).JJi 0(X 在(,处进行门次拉格朗日插值，有t)k| (X) 0jn (x令t X,即得 ji 0.以a, b两点为插值节点作f(x)的一次插值多项式 f(b) f (a)L(x) fa),1坤金伯加f(x)1(x) ? ( )(x a)(x b),a,b据余项J
16、E理，12由于 f(a) f(b) 0,故a) 2 max | f (x) |. a x b11|f(x) L (x)| | f(x)| max | f (x)|max|(x a)(x b) | (b axba x bO14r , R (x) e (x x )(x x )(x x ), 4,4.7 .截断误差26、o八1八 小L J其中%x h, x12”时取得最大值max | (x4x4由题意， 所以，h2x )(x x )(x x )|!3 h3o 八 1 八 271 gv12|R2(x)| Re4 ( j3 h3) 10 6, yjw0.006.9.yn2nl 2、2y (2n 2 2n
17、 1) (2n 1 2n) nyn2n 1/2 2n 1/210.数学归纳法证4y 2( 2y )2n.n n2y (2n 1 2n) (2n 2e) n4y 2( 2y ) 2n 2. n n当 k 1 时，f(x)f(x h) f(x)为卬i次多项式;假设kf(x)(O k m)是11H次多项式，设为g(x),则kif(x) g(x h)g(x)为nr(k+1)次多项式,得证。fk9k 左ii.右 fk(gk 1 gk) gk /fk 1 fk) f-g1fogo13.n 1rg fk 1 k 1k 0n 1nl9/(y(yy?(y3 y (yyn y0(y n1y ynP14.由于底色,
18、X。是f(x)的n个互异的零点,所以f(x)a (x x )(x x )(x x ) 012na (x x)0ii 1a (x0对f(x)求导得X ) n(Xji 1i jX),记g/x) xk,则由以上两式得15. i)ii)16.f (X)Xkn(x X.)Ii 0j(X ) ajXkn0i 1i J1(X(XjXj)(x)Xkig(n 1)(x)1 n a-0j 1n(X j 0 v j 0 证明同上。(X x) i1jn(Xj Xj)0,0 k (n 1)!,k2,n 1.gjx)k i(x X)i 11 g() % (n 1)!0,0g x ,x ,，x -ykL 2,5 nJa 1
19、,k02,1.F(x ) J (x x )(x X )(x 。 j j 1 jc f(x.)j(X X )(X X )(xJ J 1 J J 1 J“2。2,27f)()7!7!7x.)(X X )J 1 j nC 会，X1；0.17 R (x ) f(x ) p(x ) 0, R(X ) f (x )“3 jjj3 j， j，即Xk，X均为R3(X)的二重零点。因而有形式：R (x) K(x)(x x)2(x x 3kp(x ) 0,j k,k 1.作辅助函数f(t) 则(xk) o, (x) 0, 由罗尔定理，存在1P(t)(x ) k 1 7 (x,x), KK(x)(t x )2(t
20、x )2.KK I，(xj ，(X-)0(x，Xk)，使得类似再用三次罗尔定理,(4)()可得0,又(t)K(x)存在f(4)(t)()0,1(一)4!K(x),f(4)( )/4!,()0.2(Xk，Xk)，使得R (x) f(4)( )(x x)2(x xJKK I18.采用牛顿插值，作均差表:Xif(x) 1一阶均差二阶均差00111210-1/2p(x) p(x ) (x x )fx ,x (X X )(x X )fx ,x ,x 000101012(A Bx)(x x)(x x(x x)0 x x(x 1)( 1/2) (A Bx)x(x 1)(x 2)又由P(0)所以p(x)A 0,P(1) 1,得人X 3)2.、h19.记a kh.f(x)-xX，卷 F、xjx,x .f (8)()f2o,2i, ,28I 因为f(x)h当n N时， max | f (x) a