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1、第第7 7章章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 知识目标知识目标u了解二次曲面的标准方程；了解二次曲面的标准方程；u理解空间直角坐标系、向量的概念；理解空间直角坐标系、向量的概念；u会判断平面与平面、直线与直线以及会判断平面与平面、直线与直线以及直线与平面间的关系；直线与平面间的关系；u掌握向量的线性运算、向量平行和垂掌握向量的线性运算、向量平行和垂直的条件、几种常见的曲面方程；直的条件、几种常见的曲面方程；u熟练掌握两点间的距离公式、平面与熟练掌握两点间的距离公式、平面与直线的各种方程直线的各种方程.能力目标能力目标 通过几何问题代数化，培养学生的抽通过几何问题代数化，培养学生
2、的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力象能力.德育目标德育目标 借助数形结合的思想，将研究问题的借助数形结合的思想，将研究问题的不同方法进行联结，提高学生的综合不同方法进行联结，提高学生的综合素质与人文素养素质与人文素养.7.1 7.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 了解空间向量的概念,掌握空间向量的基本定理及其意义,建立空间直角坐标系，以向量为工具,利用空间向量的坐标和相关运算解决空间中的几何问题.7.1.1 7.1.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握
3、住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.过空间一个定点O O,作三条相互垂直的数轴,它们都以O O 为原点且一般具有相同的长度单位,这三条轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称坐标轴坐标轴.这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系O Oxyz,点O O 叫做坐标原点坐标原点(或原点原点).这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称为一个卦限卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第I卦限.在xO Oy面的上方,从第I卦限开始，按逆时针方向先后出现的卦限依次称为第、卦限;第、卦限下面的空间部分依次称为第、卦限.每两个
4、坐标轴确定的平面称为坐标平面,简称为坐标面坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xO Oy面,类似地,有yO Oz面,zO Ox面.八封限八封限八封限八封限1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？A（1，-2，3）B（2，3，-4）C（2，-3，4）D（-2，-2，1）练练练练 习习习习2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.A（3，4，0）B（0，4，3）C（3，0，0）D（0，-1，0）空间中的任意一点P 与唯一一组有序数组x、y、z之间建立起一一对应的关系.点坐标点坐标点坐标点坐标xyOxyzOPABC这组数就叫做点P 的坐标坐标，并依次称x、y、z
5、为点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P(x,y,z).xyz(x,y,z)两点间距离两点间距离两点间距离两点间距离（M1PQ都是直角三角形）是直角三角形）任取空间两点任取空间两点 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2),它们之间的距离为它们之间的距离为d=|M1M2|.过点过点 M1、M2 各作三个平面分别垂直各作三个平面分别垂直于三个坐标轴于三个坐标轴,形成如图的长方体形成如图的长方体.（M1QM2 是直角三角形）是直角三角形）zOxyx1y1z1M1M2()PQz2y2x2两点间距离公式：两点间距离公式：特别地，点特别地，点 M(x,y,z)与原点与原点O(0,0,0)的距离
6、：的距离：2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B（-2，4，1）的距离相等.练练练练 习习习习1.利用两点间距离公式求下列两点间距离.（1）A（3，4，0）B（0，4，3）（2）C（3，0，0）D（0，-1，0）7.1.2 7.1.2 向量的概念向量的概念定义定义7.1 7.1 既有大小又有方向的量称为向量向量(或矢量矢量););向量的大小称为向量的模模.代数法代数法表表达达方方式式几何法几何法用始点为A 终点为B 的有向线段 表示AB图示图示用带有箭头的小写字母 表示或用黑体字母 表示.(或 )记作向量向量的模向量的模(或 )(注：注：模长是标量)两个基本向量两个基本向量两个基
7、本向量两个基本向量模长为零的向量.模长为1的向量.(方向是任意的)零向量零向量单位向量单位向量记作记作(方向未做规定)向量的三种关系向量的三种关系向量的三种关系向量的三种关系模长相等,方向相反的向量.相反向量相反向量记作模长相等,方向相同的两个向量.相等向量相等向量记作向量可以在空间中任意平移.注注 与始点、终点位置无关；图示图示图示图示注注方向相同或相反的非零向量.平行向量平行向量记作平行向量又可称作共线向量.注注零向量与任何向量都平行.图示图示7.1.3 7.1.3 向量的线性运算向量的线性运算向向量量的的加加法法运运算算向向量量的的减减法法运运算算向向量量的的数数乘乘运运算算向量的线性运
8、算向量的线性运算三角形法则三角形法则运运算算法法则则平等四边行法则平等四边行法则AB图示图示图示图示加法运算加法运算加法运算加法运算CDABACC CA三角形法则三角形法则运运算算法法则则平等四边行法则平等四边行法则AB图示图示图示图示减法运算减法运算减法运算减法运算CDABCCBDB数乘运算数乘运算数乘运算数乘运算注 数乘运算后的结果仍是一个向量.记作一个向量 与一个实数 的乘积.定理定理 向量 与向量 平行(或共线)的充要条件是：存在不全为零的实数 和 ,使得 .若有 成立,则称向量 为原向量 同方向的单位向量单位向量.例例例例 题题题题已知求：.解：解：向量的坐标向量的坐标向量的坐标向量
9、的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，取与Ox轴、Oy轴、Oz轴同向的单位向量 .则称 为向量向量 的分解式的分解式；称为向量的坐向量的坐标式标式.向量线性运算规律向量线性运算规律向量线性运算规律向量线性运算规律坐标式坐标式分解式分解式(为常数)(为常数)练练练练 习习习习1.已知两点M1(0，1，2)和M2(1，-1，0),试用坐标式来表示向量 与 .2.已知 与 ,求向量 与 的坐标.7.2 7.2 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积 掌握向量的数量积和向量积的定义，能够灵活运用运算规律，并熟训练使用判断向量平行或垂直的条件.7.2.1 7.2.1 向量的数量积向量的数量积引例引例 设一
10、物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移 ,则力F 所做的功 为 ,其中 为F 与S 的夹角.M1M2FM1M2S特别地，特别地，时,称 与 垂直；垂直；记作：或时,称 与 平行平行或共线；共线；记作：定义定义 任意两个向量 ,的数量积数量积(或内积内积)是一个数量,记作 ,即 .定义定义 两个非零向量 与 ,它们的夹角 称为向向量量 与与 的夹角的夹角,记作 .定义法定义法坐标法坐标法数量积的运算方法数量积的运算方法数量积的运算方法数量积的运算方法数量积的性质数量积的性质数量积的运算律数量积的运算律例例例例 题题题题解：解：向量夹角余弦公式向量夹角余弦公式向量夹角余弦
11、公式向量夹角余弦公式7.2.2 7.2.2 向量的向量积向量的向量积FPOLQ向量积向量积向量积向量积右手系规则图示右手系规则图示向量积模的几何意义向量积模的几何意义分解式法分解式法坐标法坐标法向量积的运算方法向量积的运算方法向量积的运算方法向量积的运算方法例例例例 题题题题解：解：向量积的性质向量积的性质向量积的运算律向量积的运算律向量的混合积向量的混合积向量的混合积向量的混合积想一想想一想想一想想一想7.3 7.3 平面与直线平面与直线 平面和直线是几何学中最基本的研究对象,是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型,同时它们也是几何分析中“以直代曲”的最基本元素.本章中要求掌握平面和
12、直线的代数表达形式以及点、线、面间的位置关系.7.3.1 7.3.1 平面的方程平面的方程平面的法向量平面的法向量平面的点法式方程平面的点法式方程平面方程的表达式平面方程的表达式平面方程的表达式平面方程的表达式平面的一般式方程平面的一般式方程解：解：求过两点M1(2，-1，1)和M2(3，-2，1),且平行于z轴的平面方程。例例例例 题题题题解：解：求过点M(1，-1，2),且与平面2x-y+3z+7=0平行的平面的一般方程。例例例例 题题题题7.3.2 7.3.2 直线方程直线方程直直线线的的点点向向式式和和参参数数方方程程直直线线方方程程的的一一般般式式直直线线方方程程的的两两点点式式三种
13、表达形式三种表达形式M(x，y，z)LM0(x0，y0，z0)s=l，m，nM(x，y，z)M0(x0，y0，z0)直线的对称式方程直线的对称式方程（或向式方程）：（或向式方程）：直线的参数方程：直线的参数方程：直线的一般式方程直线的一般式方程 例题例题解：解：（两个相交平面的交线来表示）直线的两点式方程直线的两点式方程 7.3.3 7.3.3 直线与平面的相互位置关系直线与平面的相互位置关系两两平平面面的的位位置置关关系系两两直直线线间间的的位位置置关关系系直直线线与与平平面面的的位位置置关关系系三三 种种 关关 系系两平面的位置关系两平面的位置关系两平面的位置关系两平面的位置关系三种位置关
14、系相交、平行、重合两直线间的位置关系两直线间的位置关系两直线间的位置关系两直线间的位置关系两种位置关系异面、共面平行重合相交直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系三种位置关系相交、平行、直线在平面上例例 题题解：解：解：解：点到平面距离公式点到平面距离公式直线与平面的夹角直线与平面的夹角例例 题题解：解：注注：上结论可作为公式应用上结论可作为公式应用.两个平面间夹角两个平面间夹角注注：可类似地定义两条直线之间的夹角可类似地定义两条直线之间的夹角.7.4 7.4 常见空间曲面常见空间曲面 本章建立了作为点的轨迹的曲线与其方程之间的联系，把研究曲线与曲面的
15、几何问题，归结为研究其方程的代数问题，从而用代数的方法对一些曲线与曲面进行研究创造了条件.通过本章节的学习，将逐步培养学生的空间感，加强运用代数与几何相结合的方法分析问题和解决问题的能力.7.4.1 7.4.1 曲面的方程曲面的方程任何曲面都可看成是点的几何轨迹任何曲面都可看成是点的几何轨迹.注：注：一般地，三元方程 的图象都是空 间曲面.7.4.2 7.4.2 常见的二次曲面及其标准方程常见的二次曲面及其标准方程柱面柱面柱面柱面xzyoxzyoxzyo椭球面椭球面椭球面椭球面zxoy双曲面双曲面双曲面双曲面zxoy单叶双曲面单叶双曲面双曲面双曲面双曲面双曲面zxoy双叶双曲面双叶双曲面抛物面
16、抛物面抛物面抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面zxoy抛物面抛物面抛物面抛物面zxoy双曲抛物面双曲抛物面本章小结本章小结 本章主要从空间向量入手，给出空间直角坐标系、向 量的概念、表示方法、线性运算及其数量积与向量积 的运算.进一步建立作为点的轨迹的曲线与其方程之间 的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究 其方程的代数问题，从而，用代数的方法对一些曲线 与曲面进行研究创造了条件.本章重点是：1.运用坐标 求向量的数量积、向量积、夹角、距离等线性运算；2.求平面与直线方程；3.判断平面与平面、直线与平 面、直线与直线间的位置关系；4.判断空间各种曲面 的形状.本章难点是：1.求异面直线间的距离；2.常用 空间曲面的求法.