《第四节基本不等式.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四节基本不等式.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第四节第四节基本不等式基本不等式1 1基本不等式基本不等式 ababa ab b2 2(1)(1)基本不等式成立的条件：基本不等式成立的条件：a a00，b b00(2)(2)等号成立的条件：当且仅当等号成立的条件：当且仅当 a ab b2 2几个重要的不等式几个重要的不等式b ba a(1)(1)a a2 2b b2 2 2 2abab(a a，b bR)R)；(2)(2)a ab b2(2(a a，b b 同号同号)；a ab b 2 2a ab b 2 2a a b b(3)(3)abab(a a，b bR)R)；(4)(4)2 2 2 2 2 2(a a，b bR)R)3 3算术平均数
2、与几何平均数算术平均数与几何平均数a ab b设设 a a0 0，b b00，则，则 a a，b b 的算术平均数为的算术平均数为，几何平均数为，几何平均数为 abab，基本不等式可叙述，基本不等式可叙述2 2为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4 4利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题已知已知 x x00，y y00，则，则(1)(1)如果如果 xyxy 是定值是定值 p p，那么当且仅当那么当且仅当 x xy y 时，时，x xy y 有最小值是有最小值是 2 2 p p(简记：简记：积定和最小积定和最小)q q2 2(2
3、)(2)如果如果 x xy y 是定值是定值 q q，那么当且仅当，那么当且仅当 x xy y 时，时，xyxy 有最大值是有最大值是(简记：和定积最大简记：和定积最大)4 4 小题体验小题体验 1 1(教材习题改编教材习题改编)设设 x x，y yR R，且，且 x xy y1818，则，则 xyxy 的最大值为的最大值为_2 2若实数若实数 x x，y y 满足满足 xyxy1 1，则，则 x x2 22 2y y2 2的最小值为的最小值为_1 1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2 2“当且仅当
4、“当且仅当 a ab b 时等号成立”的含义是“时等号成立”的含义是“a ab b”是等号成立的充要条件，这一点”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误至关重要，忽略它往往会导致解题错误3 3连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致 小题纠偏小题纠偏 1 1判断正误判断正误(在括号内打在括号内打“”“”或或“”“”)(1)(1)当当 a a0 0，b b0 0 时，时，a ab b abab()2 22 22 2(2)(2)两个不等式两个不等式 a a2 2b b2 22 2abab 与与a ab b ab
5、ab成立的条件是相同的成立的条件是相同的()2 2x xy y(3)(3)x x0 0 且且 y y00 是是y yx x2 2 的充要条件的充要条件()2 2若若 f f(x x)x x5 5A A2 27 7C C2 21 13 3函数函数 f f(x x)x x 的值域为的值域为_x x考点一考点一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 重点保分型考点重点保分型考点师生共研师生共研 典例引领典例引领 1 11 11 1(2017(2017宜春中学与新余一中联考宜春中学与新余一中联考)已知已知 x x，y yR R，且，且 x xy yx xy y5 5，则，则 x xy y 的最的最大
6、值是大值是()A A3 3C C4 47 7B B2 29 9D D2 21 1(x x2)2)在在 x xn n 处取得最小值，则处取得最小值，则 n n 等于等于()x x2 2B B3 3D D4 49 92 2(2017(2017常州调研常州调研)若实数若实数 x x 满足满足 x x4 4，则函数，则函数 f f(x x)x x的最小值为的最小值为_x x4 41 11 13 3已知已知 a a00，b b00，a ab b1 1，则，则a ab b的最小值为的最小值为_ 由题悟法由题悟法 利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为
7、定值或积为定值，主要有两种思路：利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等(2)(2)条件变形，进行条件变形，进行“1”“1”的代换求目标函数最值的代换求目标函数最值 即时应用即时应用 3 31 1设设 0 0 x x，则函数，则函数 y y4 4x x(3(32 2x x)的最大值为的最大值为_2 22 2(2017(2017郑
8、州质检郑州质检)已知正数已知正数 x x，y y 满足满足 x x2 22 2xyxy3 30 0，则则 2 2x xy y 的最小值是的最小值是_1 11 13 3若若 典例引领典例引领33 中条件和结论互换，即：已知中条件和结论互换，即：已知 a a0 0，b b0 0，4 4，则，则 a ab b 的最的最a ab b小值为小值为_考点二考点二基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用 典例引领典例引领 首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采
9、用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品利用的化工产品 已知该单位每月的处理量最少为已知该单位每月的处理量最少为 400400 吨，吨，最多为最多为 600600 吨，吨，月处理成本月处理成本 y y(元元)1 1与月处理量与月处理量 x x(吨吨)之间的函数关系可近似地表示为之间的函数关系可近似地表示为 y y x x2 2200200 x x8080 000000，且每处理一吨二，且每处理一吨二2 2氧化碳得到可利用的化工产品价值为氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100100 元元(1)(1)该单位每月
10、处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？贴多少元才能使该单位不亏损？y y1 180 00080 000解解：(1)(1)由由题题意意可可知知，二二氧氧化化碳碳每每吨吨的的平平均均处处理理成成本本为为 x x2002002 2x x2 2x x1 180 00080 000 x x x x200200200200，2 21 180 00080 00
11、0当且仅当当且仅当 x x，即，即 x x400400 时等号成立，时等号成立，x x2 2故该单位月处理量为故该单位月处理量为 400400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200200 元元(2)(2)不获利设该单位每月获利为不获利设该单位每月获利为 S S 元，元，1 12 2 则则 S S100100 x xy y100100 x x 2 2x x 200200 x x80 00080 000 1 11 1 x x2 2300300 x x80 00080 000(x x300)300)2 235 00035 000，2 22
12、 2因为因为 x x400,600400,600，所以，所以 S S 80 00080 000，40 00040 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 40 00040 000 元才能不亏损元才能不亏损 由题悟法由题悟法 解实际应用题的解实际应用题的 3 3 个注意点个注意点(1)(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)(3)在求函数的
13、最值时，一定要在定义域在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求内求解解 即时应用即时应用 某化工企业某化工企业 20172017 年年底将投入年年底将投入 100100 万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是费用是 0 05 5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2 2 万元，由于设备万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 2 万元设该企业使用该设备万元设
14、该企业使用该设备 x x 年的年平均污水年的年平均污水处理费用为处理费用为 y y(单位：万元单位：万元)(1)(1)用用 x x 表示表示 y y；(2)(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备企业几年后需要重新更换新的污水处理设备解：解：(1)(1)由题意得，由题意得，y y即即 y yx x1001000.50.5x x 2 24 46 62 2x x，x x1001001 15(5(x xN N*)x x(2)(2)由基本不等式得：由基本不等式
15、得：100100y yx xx x1 15 52 2100100 x x x x1 15 521215 5，100100当且仅当当且仅当 x x，即，即 x x1010 时取等号时取等号x x故该企业故该企业 1010 年后需要重新更换新的污水处理设备年后需要重新更换新的污水处理设备考点三考点三利用基本不等式求参数的取值范围利用基本不等式求参数的取值范围 典例引领典例引领 a a1 1已知函数已知函数 f f(x x)4 4x x(x x0 0，a a0)0)在在 x x3 3 时取得最小值，则时取得最小值，则 a a_x x解析：解析：(1)(1)x x0 0，a a0 0，a af f(x
16、 x)4 4x xx x2 2a a当且仅当当且仅当 4 4x xx x，即即 4 4x x2 2a a 时，时，f f(x x)取得最小值取得最小值又又f f(x x)在在 x x3 3 时取得最小值，时取得最小值，a a4 43 32 23636答案：答案：3636a a4 4x x x x4 4 a a，x x2 2axax11112 2已知函数已知函数 f f(x x)(a aR)R)，若对于任意的，若对于任意的 x xN N*，f f(x x)3 3 恒成立，则恒成立，则 a a 的的x x1 1取值范围是取值范围是_x x2 2axax11118 8x x 3 3设设 g g(x
17、x)解析：解析：对任意对任意 x xN N，f f(x x)3 3，即，即3 3 恒成立，即恒成立，即 a a x x x x1 1*8 88 81717x xx x，x xN N*，则则 g g(x x)x xx x4 4 2 2，当当 x x2 2 2 2时等号成立，时等号成立，又又 g g(2)(2)6 6，g g(3)(3)g g(2)(2)3 3g g(3)(3)，g g(x x)minmin8 817178 8x xx x 3 3，3 33 38 88 8，a a，故，故 a a 的取值范围是的取值范围是 3 3 3 38 8，答案：答案：3 3 由题悟法由题悟法 求解含参数不等式
18、的求解策略求解含参数不等式的求解策略(1)(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围(2)(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化体现了主元与次元的转化 即时应用即时应用 1 1a a 1 1已知不等式已知不等式(x xy y)x xy y 9 9 对任意的正实数对任意的正实数 x x，y y 恒成立，则正实数恒成立，则正实数 a a 的最小值为的最小值为()A
19、 A2 2C C6 6B B4 4D D8 81 1a a y yaxax2 2解析：解析：选选 B B(x xy y)1 1a a 1 1a a2 2 a a(a a1)1)(x x，y y，a a0)0)，当且，当且 x xy y x xy y2 2 1 1a a 的最小值为的最小值为(a a1)1)2 2，仅当仅当 y y axax 时取等号，时取等号，所以所以(x xy y)于是于是(a a1)1)9 9 恒成立恒成立 所所 x xy y 以以 a a4 4，故选，故选 B B2 2已知正数已知正数 x x，y y 满足满足 x x2 2 2 2xyxy(x xy y)恒成立，则实数恒
20、成立，则实数 的最小值为的最小值为_x x2 2 2 2xyxy解析：解析：依题意得依题意得 x x2 2 2 2xyxyx x(x x2 2y y)2(2(x xy y)，即，即2(2(当且仅当当且仅当 x x2 2y y 时时x xy yx x2 2 2 2xyxyx x2 2 2 2xyxy取等号取等号)，即，即的最大值为的最大值为 2 2又又 ，因此有，因此有 2 2，即，即 的最小值为的最小值为 2 2x xy yx xy y答案：答案：2 2一抓基础，多练小题做到眼疾手快一抓基础，多练小题做到眼疾手快a a2 2b b2 21 1“a ab b0 0”是“”是“abab”的”的()
21、2 2A A充分不必要条件充分不必要条件C C充要条件充要条件B B必要不充分条件必要不充分条件D D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：选选 A A由由 a ab b0 0 得，得，a a2 2b b2 22 2abab；但由但由 a a2 2b b2 22 2abab 不能得到不能得到 a ab b0 0，故故“a aa a2 2b b2 2b b0 0”是是“abab”的充分不必要条件，故选的充分不必要条件，故选 A A2 22 2x x2 2当当 x x0 0 时，时，f f(x x)2 2的最大值为的最大值为()x x 1 11 1A A2 2C C2 2B B1 1
22、D D4 42 2x x2 22 2解析：解析：选选 B Bx x0 0，f f(x x)2 2 1 1，1 12 2x x 1 1x xx x1 1当且仅当当且仅当 x xx x，即，即 x x1 1 时取等号时取等号b b4 4a a1 1 1 1 的最小值为的最小值为()3 3(2017(2017合肥调研合肥调研)若若 a a，b b 都是正数，则都是正数，则 b b a a A A7 7C C9 9B B8 8D D1010b b 4 4a aa a b b9 9，b b4 4a ab b4 4a a1 1 1 1 5 5 5 52 2解析：解析：选选 C C因为因为 a a，b b
23、都是正数，所以都是正数，所以 b b a a a ab b当且仅当当且仅当 b b2 2a a 时取等号，选项时取等号，选项 C C 正确正确4 4当当 3 3x x1212 时，函数时，函数 y y x x3 3 1212x x 的最大值为的最大值为_x x x x3 3 1212x x x x2 21515x x3636解析：解析：y yx xx x3636x x 15152 2 x x 3636x x x x15153 33636当且仅当当且仅当 x xx x，即，即 x x6 6 时，时，y ymaxmax3 3答案：答案：3 35 5 若把总长为若把总长为 20 m20 m 的篱笆围
24、成一个矩形场地，的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是则矩形场地的最大面积是_ m_ m2 2解析：解析：设一边长为设一边长为 x x m m，则另一边长可表示为，则另一边长可表示为(10(10 x x)m)m，x x1010 x x 2 2由题知由题知 0 0 x x1010，则面积，则面积 S Sx x(10(10 x x)2 2 2525，当且仅当，当且仅当 x x1010 x x，即，即 x x5 5 时等号成立，时等号成立，故当矩形的长与宽相等，都为故当矩形的长与宽相等，都为 5 m5 m 时面积取到最大值时面积取到最大值 25 m25 m2 2答案：答案：2525二保高考，
25、全练题型做到高考达标二保高考，全练题型做到高考达标1 1下列不等式一定成立的是下列不等式一定成立的是()1 1x x2 2 lg lg x x(x x0)0)A Alg lg 4 4 B Bsinsin x x1 12(2(x xk k，k kZ)Z)sinsin x xC Cx x2 21 12|2|x x|(|(x xR)R)1 1D D2 21(1(x xR)R)x x 1 11 11 11 11 1x x2 2 lg lg x xx x2 2 x x(x x0)0)4 4x x2 24 4x x1 10(0(x x0)0)解析：解析：选选 C Clg lg 当当 x x 时，时，4 4
26、4 4 4 42 22 22 21 11 14 4 1 10 0，A A 错；当错；当sinsin x x1 1 时，时，sinsin x x2 22 2，B B 错；错；x x2 21 12|2|x x|(|(|x x|2 2sinsin x x1)1)2 20 0，C C 正确；当正确；当 x x0 0 时，时，1 11 1，D D 错错x x 1 12 21 11 12 2已知已知 a a00，b b00，a a，b b 的等比中项是的等比中项是 1 1，且，且 m mb b，n na a，则，则 m mn n 的最小值的最小值a ab b是是()A A3 3C C5 5B B4 4D
27、D6 61 11 1解析：解析：选选 B B由题意知由题意知 abab1 1，m mb ba a2 2b b，n na ab b2 2a a，m mn n2(2(a ab b)4 4 abab4 4，当且仅当，当且仅当 a ab b1 1 时取等号时取等号3 3若若 2 2x x2 2y y1 1，则，则 x xy y 的取值范围是的取值范围是()A A0,20,2C C 2 2，)B B 2,02,0D D(，221 1解析：解析：选选 D D2 2x x2 2y y2 2 2 2x x 2 2y y2 2 2 2x xy y(当且仅当当且仅当 2 2x x2 2y y时等号成立时等号成立)
28、，2 2x xy y，2 21 12 2x x y y，得，得 x xy y2 24 44 4(2017(2017湖北七市湖北七市(州州)协作体联考协作体联考)已知直线已知直线 axaxbyby6 60(0(a a0 0，b b0)0)被圆被圆 x x2 2y y2 22 2x x4 4y y0 0 截得的弦长为截得的弦长为 2 2 5 5，则，则 abab 的最大值是的最大值是()A A9 9C C4 49 9B B2 25 5D D2 2解析：解析：选选 B B将圆的一般方程化为标准方程为将圆的一般方程化为标准方程为(x x1)1)2 2(y y2)2)2 25 5，圆心坐标为，圆心坐标为
29、(1,2)(1,2)，9 9半径半径 r r 5 5，故直线过圆心，即，故直线过圆心，即a a2 2b b6 6，a a2 2b b6 62 2 a a 2 2b b，可得，可得 abab，当且仅当，当且仅当 a a2 29 92 2b b3 3 时等号成立，即时等号成立，即 abab 的最大值是的最大值是，故选，故选 B B2 25 5某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800800 元若每批生产元若每批生产 x x 件，则平件，则平x x均仓储时间为均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为天，且每件产品每天的仓储费用为1 1 元为使平
30、均到每件产品的生产准备费元为使平均到每件产品的生产准备费8 8用与仓储费用之和最小，每批应生产产品用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A A6060 件件C C100100 件件B B8080 件件D D120120 件件800800解析：解析：选选 B B每批生产每批生产 x x 件，则平均每件产品的生产准备费用是件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓元，每件产品的仓x xx x800800 x x储费用是储费用是 元，则元，则x x 2 28 88 8每批生产产品每批生产产品 8080 件件6 6已知已知 A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2
31、 2)是函数是函数 y y2 2x x图象上两个不同的点，若图象上两个不同的点，若 x x1 12 2x x2 24 4，则，则 y y1 1y y2 22 2的最小值为的最小值为_解析：解析：y y1 1y y2 22 22 2x x1 12222x x2 22 2 2 2x x1 12 2x x2 28(8(当且仅当当且仅当 x x1 12 2x x2 22 2 时等号成立时等号成立)答案：答案：8 87 7(2016(2016青岛模拟青岛模拟)已知实数已知实数 x x，y y 均大于零，且均大于零，且x x2 2y y4 4，则，则loglog2 2x xloglog2 2y y 的最大
32、值为的最大值为_x x2 2y y 2 2解析：解析：因为因为 loglog2 2x xloglog2 2y yloglog2 22 2xyxy1 1loglog2 2 2 2 1 12 21 11 1，当且仅当当且仅当 x x2 2y y2 2，即，即 x x2 2，y y1 1 时等号成立，时等号成立，所以所以 loglog2 2x xloglog2 2y y 的最大值为的最大值为 1 1答案：答案：1 18 8已知实数已知实数 x x，y y 满足满足 x x2 2y y2 2xyxy1 1，则，则 x xy y 的最大值为的最大值为_解析：解析：因为因为 x x2 2y y2 2xyx
33、y1 1，所以所以 x x2 2y y2 21 1xyxyx xy y 2 2所以所以(x xy y)2 21 13 3xyxy1 13 3 2 2，即即(x xy y)2 24 4，解得，解得2 2x xy y2 2当且仅当当且仅当 x xy y1 1 时右边等号成立时右边等号成立所以所以 x xy y 的最大值为的最大值为 2 2答案：答案：2 23 38 89 9(1)(1)当当 x x 时，求函数时，求函数 y yx x的最大值；的最大值；2 22 2x x3 3800800 x x800800 x x 2020，当且仅当，当且仅当x x8 8x x8 8，即，即 x x8080 时时
34、“”成立，成立，(2)(2)设设 00 x x22，求函数，求函数 y y x x 4 42 2x x 的最大值的最大值1 18 83 3解：解：(1)(1)y y(2(2x x3)3)2 22 2x x3 32 28 8 3 3 3 32 2x x 2 2 3 32 2x x 2 23 3当当 x x 00，2 23 32 2x x8 82 22 23 32 2x x3 32 2x x8 8 4 4，2 23 32 2x x3 32 2x x8 81 1当且仅当当且仅当，即，即 x x 时取等号时取等号2 22 23 32 2x x3 35 55 5于是于是 y y4 4 ，故函数的最大值为
35、，故函数的最大值为 2 22 22 2(2)(2)00 x x200，x x2 2x xy y x x 4 42 2x x 2 2x x 2 2x x 2 2 2 2，2 2当且仅当当且仅当 x x2 2x x，即，即 x x1 1 时取等号，时取等号，当当 x x1 1 时，函数时，函数 y y x x 4 42 2x x 的最大值为的最大值为 2 21010已知已知 x x0 0，y y0 0，且，且 2 2x x8 8y yxyxy0 0，求：，求：(1)(1)xyxy 的最小值；的最小值；(2)(2)x xy y 的最小值的最小值8 82 2解解：(1)(1)由由 2 2x x8 8y
36、 yxyxy0 0，得，得x xy y1 1，又又 x x0 0，y y0 0，8 82 2则则 1 1 2 2x xy y8 8 2 28 8 ，得，得 xyxy6464，x x y yxyxy当且仅当当且仅当 x x1616，y y4 4 时，等号成立时，等号成立所以所以 xyxy 的最小值为的最小值为 64648 82 2(2)(2)由由 2 2x x8 8y yxyxy0 0，得，得x xy y1 1，8 82 2 2 2x x8 8y y则则 x xy y(x xy y)1010 x xy y y yx x10102 22 2x x 8 8y yy y x x1818当且仅当当且仅当
37、 x x1212 且且 y y6 6 时等号成立，时等号成立，x xy y 的最小值为的最小值为 1818三上台阶，自主选做志在冲刺名校三上台阶，自主选做志在冲刺名校1 19 91 1正数正数 a a，b b 满足满足 1 1，若不等式，若不等式 a ab bx x2 24 4x x1818m m 对任意实数对任意实数 x x 恒成立，恒成立，a ab b则实数则实数 m m 的取值范围是的取值范围是()A A33，)C C(，66B B(，33D D66，)1 19 9解析：解析：选选 D D因为因为 a a0 0，b b0 0，1 1，a ab b1 19 9 b b9 9a a1010
38、10102 2 9 91616，由题意，得，由题意，得 1616x x2 24 4x x1818所以所以 a ab b(a ab b)a ab b a ab bm m，即即 x x2 24 4x x2 2m m 对任意实数对任意实数 x x 恒成立，而恒成立，而 x x2 24 4x x2 2(x x2)2)2 26 6，所以，所以 x x2 24 4x x2 2的最小值为的最小值为6 6，所以所以6 6m m，即，即 m m6 62 2某工厂某种产品的年固定成本为某工厂某种产品的年固定成本为 250250 万元，每生产万元，每生产 x x 千件，需另投入成本为千件，需另投入成本为 C C(x
39、 x)，1 1当年产量不足当年产量不足 8080 千件时，千件时，C C(x x)x x2 21010 x x(万元万元)当年产量不小于当年产量不小于8080 千件时，千件时，C C(x x)5151x x3 310 00010 000 x x1 450(1 450(万元万元)每件商品售价为每件商品售价为0 00505 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完售完(1)(1)写出年利润写出年利润 L L(x x)()(万元万元)关于年产量关于年产量 x x(千件千件)的函数解析式的函数解析式(2)(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润
40、最大？当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：解：(1)(1)因为每件商品售价为因为每件商品售价为 0 00505 万元，万元，则则 x x 千件商品销售额为千件商品销售额为 0 005051 0001 000 x x 万元，依题意得：万元，依题意得：1 11 1当当 0 0 x x8080 时，时，L L(x x)(0(005051 0001 000 x x)x x2 21010 x x250250 x x2 24040 x x2502503 33 3当当 x x8080 时，时，L L(x x)(0(005051 0001 000 x x)5151x x10 0001
41、0 00010 00010 000 x xx x 1 4501 4502502501 2001 200 x x 所以所以 L L(x x)x x10 00010 000，x x80.80.1 2001 200 x x 1 1 x x2 24040 x x250250，0 0 x x8080，3 31 1(2)(2)当当 0 0 x x8080 时，时，L L(x x)(x x60)60)2 29509503 3此时，当此时，当 x x6060 时，时，L L(x x)取得最大值取得最大值 L L(60)(60)950950 万元万元10 00010 000 x xx x 当当 x x8080 时，时，L L(x x)1 2001 200 1 2001 2002 210 00010 000 x x x x1 2001 2002002001 0001 000此时此时 x x10 00010 000，即，即 x x100100 时，时，L L(x x)取得最大值取得最大值 1 0001 000 万元万元x x由于由于 9509501 1 000000，所以，当年产量为，所以，当年产量为 100100 千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为最大利润为 1 0001 000 万元万元