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1、.1/7专题专题 6 6导数的综合应用导数的综合应用导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间.所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以与初等根本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维,解决单调性，极值，最值，切线，方程的
2、根,参数的围等问题，这类题难度并不大，但综合性强，容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏.导数综合试题,主要有以下几方面的容:1.函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的围等问题,这类问题涉与到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;2.函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题,这类问题涉与到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;3.利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题;4.通过构造函数,以导数为工具,证明不等式.5.导数与其他方面的知识的综合1.函数函数，导数导数，不等式综合在一起不等式综合在一起,解决单调性解
3、决单调性，参数的围等问题参数的围等问题,这类问题涉与到含这类问题涉与到含参数的不等式参数的不等式,不等式的恒成立不等式的恒成立,能成立能成立,恰成立的求解恰成立的求解;【分析与解分析与解】I对函数()f x求导数，得22()(2)(22)2(1)2.xxxfxxax exa exa xa e令0)(xf，得22(1)2 0 xxa xa e，从而22(1)20 xa xa，解得2111xaa，2211xaa，其中12xx当x变化时，)(),(xfxf 的变化情况如下表：x1,x1x12(,)x x2x2,x)(xf 00)(xf增极大值减极小值增当)(xf在1xx处取到极大值，在2xx处取到极
4、小值。当0a 时，11x ，20 x，)(xf在12(,)x x上为减函数，在2,x 上为增函数，而当0 x 时，()(2)0 xf xx xa e；当0 x 时，()0.f x 所以当211xaa 时，)(xf取得最小值。II当0a 时，)(xf在 1,1上为单调函数的充要条件是21x，【例例 1】(2005 年高考全国卷 II理 22).)2()(,02xeaxxxfa函数当 x 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；设)(xf在1，1上是单调函数，求 a 的取值范围.2/7即2111aa，解得34a。综上，)(xf在 1,1上为单调函数的充要条件34a。即a的取值围是3,4。解法二
5、.由I知,当0a 时，11x ，20 x，)(xf在12(,)x x上为减函数,因此,要使)(xf在1，1上是单调函数，只能使)(xf在1，1上是单调减函数，即 0fx在1，1上恒成立，亦即2()2(1)2 0 xfxxa xa e在1，1上恒成立设 22(1)2g xxa xa.那么又等价于 22(1)20g xxa xa在1，1上恒成立,从而等价于 max0gx,为此解 1340,110.gag 解得34a.即a的取值围是3,4。2.函数函数，导数导数，方程方程,不等式综合在一起不等式综合在一起,解决极值解决极值，最值等问题最值等问题,这类问题涉与到求极值这类问题涉与到求极值和极值点和极值
6、点,求最值求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题有时需要借助于方程的理论解决问题;【分析与解分析与解】.0)12()2(0)(),12()2()2()1()(222axaxxfaxaxeaxeaaxxexfxxx得令1当.0)4(4)12(4)2(22aaaaaa:),)()(,0)12()2(,402121212从而有下表于是不妨设有两个不同的实根方程时或即xxxxexfxxxxaxaxaaxx),(1xx1),(21xx2x),(2x)(xf+00+)(xf增极大值减极小值增即此时)(xf有两个极值点.2当0)12()2(,4002axaxaa方程时或即有两个一样的实根21xx,于是21
7、)()(xxexfx)(,0)(,;0)(,21xfxfxxxfxx因此时当时故当无极值.3,0)12()2(,40,02axaxa时即当【例例 1】(2005 年，重庆卷，理 19)Ra，讨论函数)1()(2aaxxexfx的极值点的个数.3/7)(,0)12()2()(2xfaxaxexfx故为增函数，此时)(xf无极值.因此当)(,40,2)(,04xfaxfaa时当个极值点有时或无极值点.【分析与解分析与解】依题意，令.21,12),()(bxbxxgxf故得211()(),(1)4.221,0,12.bbfgbcbcbc 由于得.43)(.)(2)()()(22223cbbxxxFb
8、cxcbbxxxgxfxF:)(,0)(,0).3(4)(1216.043,0)(022222的变化如下且有一个实根则若则即令xFxxFcbcbbcbbxxxFx),(0 xx0),0 x)(xF+0+于是0 xx 不是函数)(xF的极值点.)()(,0)(,02121xFxxxxxF且有两个不相等的实根则若的变化如下：x),(1xx1),(21xx2x),2x)(xF+00+由此，)(,)(21xFxxxFxx是函数的极大值点是函数的极小值点.综上所述，当且仅当.),()(,0上有极值点在函数时xF).,347()347,0(.3473470.321321,21.330)3(42的取值范围是
9、故所求或解之得或或得由ccccccccbcbcbcb3.利用导数的几何意义利用导数的几何意义,求切线方程求切线方程,解决与切线方程有关的问题解决与切线方程有关的问题;【例例 1】(2005 年，湖南卷，文 19)设0t，点 Pt，0是函数)cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有一样的切线.用t表示a，b，c；假设函数)()(xgxfy在1，3上单调递减，求t的取值范围.【例例 2】(2004 年，湖北卷，文 22)0,1cb,函数 bxxf的图象与函数cbxxxg2)(的图象的相切.求 b 与 c 的关系式用c表示b；设函数),()()()(在xgxf
10、xF内有极值点，求c的取值范围.4/7【分析与解分析与解】I因为函数)(xf，)(xg的图象都过点t，0，所以0)(tf，即03 att.因为,0t所以2ta.,0,0)(2abccbttg所以即又因为)(xf，)(xg在点t，0处有一样的切线，所以).()(tgtf而.23,2)(,3)(22btatbxxgaxxf所以将2ta代入上式得.tb 因此.3tabc故2ta，tb，.3tcII)(3(23,)()(223223txtxttxxyttxxtxxgxfy因为函数)()(xgxfy在1，3上单调递减，且)(3(txtxy是1，3上的抛物线，所以.0|,0|31xxyy即.0)3)(9(
11、.0)1)(3(tttt解得.39tt或所以t的取值围为(,93,).【分析与解分析与解】因为,)()(xxeexf所以切线l的斜率为,xe故切线l的方程为).(txeeytt即0)1(teyxett.令 y=0 得 x=t+1,又令 x=0 得)1(teyt所以 St=)1()1(21tett=tet2)1(21从而).1)(1(21)(ttetSt当t0，1时，)(tS0,当t1,+时,)(tS0,所以 S(t)的最大值为 S(1)=e24.通过构造函数通过构造函数,以导数为工具以导数为工具,证明不等式证明不等式【例例 2】(2004 年，浙江卷，理 20)设曲线xeyx(0在点Mt,e-
12、t处的切线l与 x 轴 y 轴所围成的三角形面积为St.求切线l的方程；求St的最大值.5/7【分析与解分析与解】函数)(xf的定义域为),1(.111)(xxf令.0,0)(xxf解得当,0)(,01xfx时当.0)(,0 xfx时又,0)0(f故当且仅当 x=0 时，)(xf取得最大值，最大值为 0.1ln)(,ln)(xxgxxxg设),2(2)()()(xagxgagxF.xa那么.2lnln)2(2)()(xaxxagxgxF当),()(,0)(,axFxFax在因此时上为增函数.因为()0,()0,F abaF bF a所以即).2(2)()(0bagbgag设,2ln)()()(
13、axxFxG那么).ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG当.0)(,0 xGx时因此),0()(在xG上为减函数.因为()0,()0,G abaG bG a所以即.2ln)()2(2)()(abbagbgag5.导数与其他方面的知识的综合导数与其他方面的知识的综合【分析与解分析与解】.sin2)cossin()sin(cos)(xexxexxexfxxx由,0)(xf得.0sin2xex解出nnx,为整数，从而【例例 1】(2004 年，全国卷，理 22)函数0)(),sin(cos)(xfxxexfx将满足的所有正数x从小到大排成数列.nx证明数列nxf为等比数列；记nS是数列nn
14、xfx的前n项和，求.lim21nSSSnn【例例 1】2004 年，全国卷，理.22)函数 ,ln,1lnxxxgxxxf求函数 xf的最大值;设ba 0,证明 2ln220abbagbgag.6/7,3,2,1,nnxn.)1()(nnnexf.)()(1exfxfnn所以数列)(nxf是公比eq的等比数列，且首项.)(1qxf)()()(2211nnnxfxxfxxfxS),21(1nnqqq),11()21(),2(122nnnnnnnnnqqqqnqqqqqSSnqqqqqS从而).11(1nnnnqqqqqSnSSSn21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()
15、21()1()1()1()1(2232222222121222qqqqnqqqnqqqqnqqqqnqqqnqqqnqqqqnqqqnnnnnnn因为0lim.1|nnqeq，所以,.)1()1(lim2221eeqqnSSSnn【分析与解分析与解】I解：函数f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且mxxfmxxf1,0)(,11)(得令当x(-m,1m)时,fxf(1m)当x(1m,+)时,fx0,f(x)为增函数,f(x)f(1m)根据函数极值判别方法，f(1m)=1m为极小值，而且对x(-m,+)都有f(x)f(1m)=1m故当整数m1 时，f(x)1m0【例例 2】2004
16、 年，广东卷，21)设函数f(x)=xln(x+m)，其中常数m为整数.I当m为何值时,0 xf；(II)定理:假设函数 g(x)在a,b上连续,且 g(a)与 g(b)异号,那么至少存在一点x0(a,b),使 g(x0)=0.试用上述定理证明:当整数m1 时,方程f(x)=0,在mememm2,内有两个实根.7/7(II)由I知，当整数m1 时，f(1m)=1m1 时，),1121(032)12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学mmmmmmmmemefmmm类似地，当整数 m1 时，函数f(x)=x-ln(x+m),在,1 memm上为连续增函数且f(1m)与)(2mefm异号，由所给定理知，存在唯一的0)(,1 22xfmemxm使故当 m1 时，方程f(x)=0 在,2mememm有两个实根。