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1、.目录1引言 12二阶常系数常微分方程的几种解法 12.1特征方程法 1222.2 常数变异法42.3 拉普拉斯变化法53常微分方程的简单应用 63.1特征方程法 73.2 常数变异法93.3 拉普拉斯变化法104总结与意义 11参考文献12.二阶常微分方程的解法与其应用摘要摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进展介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以与拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问
2、题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的开展，使这门学科的理论更加完善。关键词：关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换.METHODSMETHODS FORFOR TWOTWO ORDERORDER ORDINARYORDINARY DIFFERENTIALDIFFERENTIAL EQUATIONEQUATION ANDAND ITSITSAPPLICATIONAPPLICATIONAbstract:Abstract:This paper introduces the solution of the
3、 characteristicequation method,the method of variation of parameters,the Laplassetransform method the three kind of two order ordinary differentialequationswithconstantcoefficients,especiallythecharacteristicequation method which is characteristic of the root is the two of two realroots and characte
4、ristics of root root,branch and dont use eigenvaluemethod,method of variation of constants and Laplasse transform method toobtain the dynamic equation,the current studies on solution of ordinarydifferential equations of order two has made many achievements,especiallyin the aspect of solving the prob
5、lem of two order linear differentialequation with constant coefficients very fruitful.Application of thetheory of ordinary differential equations has made great achievements,however,the existing theory it is still far from meeting the need,needsfurther development,to make the discipline theory more
6、perfect.Keywords:Keywords:second order ordinary differential equation;Characteristicanalysis;constant variation method;Laplasse transform.1 1 引言引言数学开展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大局部思想和理论的根源。人所共知，常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步开展的活力，主要
7、原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反响过程稳定性的研究等。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术与力学和物理学中都有十分广泛的应用。关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解方法却各有不同，因此.二阶常系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。而本文正是在这一背景下对于二阶常系数常微分方程的解法和应用做出研究。2 2 二阶常系数常微分方程的几种解法二阶常系数常微分方程的几种解法通常来说，纵观二阶常系数常微分方程的解法来看，其中比拟
8、有代表性的是特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种解法，因为篇幅和个人能力有限，本文那么选取这三种具备代表性的解法进展分析。2.1 特征方程法所谓特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程，积分方程特征方程等等。求微分方程的通解.解特征方程的根,(1)假设这是两个不等实根,那么该方程有两个实值解,故通解为为任意常数.(2)假设这两个根相等,那么该方程有二重根,因此方程的通解具有形状为任意常数.(3)假设这两个根为共轭复根,那么该方程的通解具有形状为任意常数.数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出
9、上面前两个解答的理论依据.设是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解,我们指出这两个解在上线性无关,从而它们能够组成方程的根本解组.事实上,这时,而最后一个行列式是著名的 X 德蒙德Vandermonde行列式,它等于.由于假设,故此行列式不等于零,从而,于是 线性无关,这就是所要证明的.而此方程的通解可表示为其中为任意数.如果特征方程有复根,那么因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现.设是一特征根,那么也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程有两个复值解,.根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根,我们可求的方程的两个实值解
10、.设特征方程有重根那么众所周知,先设,即特征方程有因子,于是,也就是特征方程的形状为,而对应的方程变为.易见它有个解1,而且它们是线性无关的.这样一来,特征方程的重零根就对应方程的个线性无关的解1,.如果这个重根,我们作变量变换,注意到.11()()()(1)2(2)111(1)()2!ttmmmmmmm mxyeeymyyy，可得 1111111()nntttnnnd ydyL yebb y eLy edtdt,于是对应方程化为,其中仍为常数,而相应的特征方程为,直接计算易得1111()()()11()()tttttFeL eLeeGe ,因此,从而，,这样,问题就化为前面讨论过的情形了.2
11、.2 常数变易法常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方程的求解。数变易法中，将常数 C 换成XU就可以得到非齐次线性方程的通解。它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。它是连接非齐次线性微分方程与相应的齐次线性微分方程的桥梁。对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其一个特解,再运用特征方程法求得方程的通解.求常微分方程 的通解.解方程对应齐次方程为,其特征方程为.由于方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其一个特解.假设为上面方程的实根,
12、那么是方程的解.由常数变易法设的一个解为,代入原方程并化简得,这是关于 的一阶线性微分方程,其一个特解为,从而得上面方程的一个特解为.假设为上面方程的复根,我们可以设且，那么是方程的解，根据常数变易法可设其一个特解为，与情形 1 的解法类似得方程的一个特解为由于是特解,那么积分常量可以都取零.2.3 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是工程数学中常用的一种积分变换法，又名拉氏转换法。拉氏变换法是一个线性变换法，可将一个有引数实数)0(tt的函数转换为一个因数为复数 s 的函数。有些情形下一个实变量函数在实数域中进展一些运算并不容易，但假设将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结
13、果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的根底上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以与提供控制系统调整的可能性。常系数线性微分方程可以应用拉普拉斯变换法进展求解，这往往比拟简单。由积分.所定义确实定于复平面上的复变数的函数,称为函数的拉普拉斯变换,我们称为原函
14、数,而称为像函数.拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复平面的代数方程.通过一些代数运算,一般地再利用拉普拉斯变换表,即可求出微分方程的解.方法十分简单方便,为工程技术工作者所普遍采用.当然,方法本身有一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数.求解方程.解先使，将问题化为,再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到,因此,查拉普拉斯变换表可得,从而,这就是所要求的解.当然,求解二阶或者更高阶的常微分方程的方法还有很多,这里我们不能一一列出.然而我们利用上面的一些结论就可以解决下面的几个物理问题了。3 3 常微分方程的简单应用常微分方程的简单应用为直观的了解
15、常微分方程的简单应用，本文特选取在求动力学方程对于常微分方程的简单应用进展分析。通常来说，对于物理问题进展求解主要应该分为以下三个步骤内容：第一步是对问题进展分析从而做到对方程的建立并且对定解条件进展明确；第二步是对解的性质进展讨论或者求出方程以便满足初始条件的特解；第三步是定性分析对解，对原来问题反着进展解释，其中最为关键的因素就是要将方程列出，而列出方程的方法主要有：微元分析法和瞬时变化法。而在对阻尼振动进展研究的过程当中，对运动方程所进展的求解这一问题显得比拟复杂，.以下就分别使用特征值法、常数变异法以与拉普拉斯变换法来求动力学方程。3.1 特征方程法例如在弹簧振子系统当中，测试出物体的
16、阻尼系数，物体质量,该弹簧所具备的劲度系数,在此背景下，假设整个质点从静止状态开场逐步运动，求解弹簧振子的位移方程。解：按照牛顿的第二运动定律的结果得以得到,1或,2相对来说振动系统这是之前给定的，其中的常量为，如果可以确定,那么以上的方程式可以转变为：,3那么把所得到的数据代入公式3就可以得到.4通过对以上公式的细致观察和研究那么可以得到对其进展求解能够使用特征值法，那么在这里的特征方程可以表述为：,并且在这一特征方程当中包含有两个分别根,这样相对应的那么(4)的两个根分别为5那么按照公式5进展计算可以得到振动子固有角频率数值为，在这时候阻尼系数数值为,也就是说,那么方程(5)的解可以表述为
17、初始条件觉得数值.6在公式6当中，所保持的属于一个非振动状态，在如此背景之下，所存在的质点也只是在原先的不平衡位置逐步恢复到平衡状态当中，质点并不具备周期振动的特征。而我国的关注点是在基于此种情况下,质点呈现出逐渐衰减的振动。可是正是由于受到阻尼作用的影响，不能够长久的维持这种自由振动系统的振动，通常都会经历着从振动的逐渐衰减延续至振动停止，那保持震荡持续不停的状态，就必须不断的从外界当中获得必要的能量，学术界将这种因为受到外部持续作用而产生的振动归纳成为强迫振动。又例如案例：参加在以上的振动系统当中受到某个外力的作用，在公式当中表示为驱动力所具备的幅度值，那么表示为驱动力所拥有的圆频率，也就
18、是驱动.力所保持的频率。解：在质点振动系统当中受到驱动力的作用，那么就可以得到关于系统振动的方程为：,(7)或者还可以将上述公式改成.(8)在以上的公式当中表示为在单位质量上面所受到的外力幅值。7与8这两个方程式都属于质点强迫振动方程。从本质上来看，这种强迫振动方程属于二阶的非齐次常微分方程，这个方程所得到的一般解也就是这个方程所得到的某一个特解和相对应的齐次方程一般解两者之和。由于在之前的篇幅当中已经得到相对应的自由振动方程的一般解，这就导致其在的关键问题就是对于8当中的一个特解进展寻找，把所得到的数据代入到8当中就可以得到：,9在这里可以通过假设9有着这样的特解，将这个特别往9当中进展替代
19、并且将其进展简化之后得到(3324)sin30(2433)cos304cos30ABtABtt,按照比拟同类项系数可以得到,这样就可以进一步得到,根据以上所得到的结果没那么原方程所存的通解就可以表述为.在以上的公式当中，初始条件决定的数值，而其中的瞬态解是之前的两项，瞬态项能够对于整个系统的自由衰减振动进展有效描述，而所能够起作用的只是在震动的开场阶段，而当经历比拟长的时间之后，瞬态解所起到的影响那么会逐渐的减弱并且在最后阶段消失。稳态解那么是之后的两项，稳态解那么是对于系统受到驱动力的作用之下进展强制振动的状态进展描述，这主要是由于立足于恒定的幅值条件下，从而将这种状态称之为稳定振动。从以上
20、的公式可以得到，如果质点振动系统受到外力作用之后，整个系统有着比拟复杂的振动状态，这属于稳态振动和自由衰减振动两者的有机合成体，在这样的振动状态之下对于强迫振动当中逐步建立稳态振动的过程进展有效描述。如果经历一定时间之后，就会消失瞬态振动，使得整个系统保持着稳态振动的状态。3.2 常数变易法.从之前的分析当中可以了解到这属于特征方程的实根，那么就可以得到这个属于方程9当中的一个根，然后通过常数变异法设置，那么在这一过程当中也可以得到方程的一个解为，把数值代入到9当中并且进展简化之后可以得到.以上属于的一阶线性微分方程,并且在方程当中一个特解为,从而得出9的一个特解为取*5551284()(si
21、n30cos30)33tttx teetet dtc,从而可得9的通解.由之前可知.10将数据代入数据得到.11按照自己所做的观察可以发现，在进展求解的过程当中使用常数变异法，首要就是必须求出公式11，而在之前的研究当中可以得到公式11齐次线性微分方程的特征方程为。这样就可以进一步的假设特征方程的根为，那么这就是公式 11的一个解。由常数变易法可设为.与情形 1 中的解法类似，将代入12并化简得.由于是特解,那么积分常量可以都取零。3.3 拉普拉斯变换法依然使用之前的例子，由牛顿第二运动定律可以得到以下的公式,将这一公式代入数据之后可以得到,(12).由于质点通过开设的静止状态逐步运动，那么就
22、可以得到以下的公式,对方程(12)进展拉普拉斯变换,得到,即,把上式右端分解为局部分式2222101 310 3991011881239604(10)(10 3)(10)(10 3)sss,由拉普拉斯变换表可得1010101 399sin(10 3)cos(10 3)11881239604ttetet。4 4 总结与意义总结与意义总而言之，现在常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反响过程稳定性的研究等。现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。而幂级
23、数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的一种方法，其过程还是比拟繁琐的，计算量偏大，且需要考虑函数是否解析，幂级数在某个区间是否收敛等。另外，对于二阶常系数非齐次线性微分方程，目前还尚有通用的求解方法，只有一些特殊类型是可以求解的。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的开展，使这门学科的理论更加完善。.参考文献参考文献1(瑞典)L.戈丁(Lars.Garding)著,胡作玄译.数学概观M.科学,2001：121-1472 赵慈庚,朱鼎勋主编.大学数学自学指南M.中国青年,1984:74-913 王高雄等编.常微分方程M.高等教
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