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1、5.2 圆轴的扭转切应力圆轴的扭转切应力5.1 切应力与切应变切应力与切应变5.3 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形5.4 圆圆轴扭转轴扭转的的强度条件和刚度条件强度条件和刚度条件5.5 静不定问题静不定问题第五章第五章 扭转轴的强度设计与刚度设计扭转轴的强度设计与刚度设计1 1将任一截面上点将任一截面上点C C处的应力处的应力p p分解成垂直分解成垂直于截面的分量于截面的分量 和切于截面的分量和切于截面的分量 。D DATO t t05.1切应力与切应变切应力切应力切应力切应力 ：切向分量切向分量 称切应力称切应力。2 2 T Tdx T Tt tt tdxcAdyt t t tt t t tt
2、 t t t t t t t 研究两横截面相距研究两横截面相距研究两横截面相距研究两横截面相距d dx x的任一的任一的任一的任一A A处单位厚度微元，左处单位厚度微元，左处单位厚度微元，左处单位厚度微元，左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。AA A的平衡？的平衡？的平衡？的平衡？S S S SMMC C(F F)=)=t t t t d dx xd dy y-t t t td dy yd dx x=0=0 t t t t=t t t t 切应力互等定理：切应力
3、互等定理：物体内任一点处物体内任一点处二相互垂直的截面上，二相互垂直的截面上，切应力总是同时存在切应力总是同时存在的，它们大小相等，的，它们大小相等，方向是共同指向或背方向是共同指向或背离二截面的交线。离二截面的交线。3 3切切切切应变应变应变应变与与与与t t t t的作的作的作的作用相对应用相对应用相对应用相对应。切应变切应变：过过A点直角点直角形状的形状的改变改变。ACC yxDBBDAdydx在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G G是是是是t t t t-g g g g曲线的斜率，如图
4、，曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，称为切变模量。称为切变模量。称为切变模量。称为切变模量。-(2)剪切胡克定律（剪切胡克定律（材料的切应力与切应变之间有与材料的切应力与切应变之间有与材料的切应力与切应变之间有与材料的切应力与切应变之间有与拉压类似的关系）拉压类似的关系）拉压类似的关系）拉压类似的关系）纯剪应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态:微元各面只有切应力作用。微元各面只有切应力作用。微元各面只有切应力作用。微元各面只有切应力作用。1GOtg g1Gts4 4变形体静力学的基本研究思路：变形体静力学的基本研究思路：静力平衡条件静力平衡条件静力平衡条件静力平衡条
5、件变形几何条件变形几何条件变形几何条件变形几何条件材料物理关系材料物理关系材料物理关系材料物理关系+(1)变形几何条件变形几何条件刚性平面假设：刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线其半径仍然保持为直线且半径大小不变。且半径大小不变。变形前变形前变形前变形前变形后变形后变形后变形后1 1 圆轴扭转的应力公式圆轴扭转的应力公式圆轴扭转的应力公式圆轴扭转的应力公式5.2 5.2 圆轴的扭转切应力圆轴的扭转切应力5 5取长为取长为取长为取长为d dx x的微段研究，在扭矩作用下，右
6、端面刚性的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角转动角转动角转动角d df f f f，原来的矩形，原来的矩形，原来的矩形，原来的矩形ABCDABCD变成为菱形变成为菱形变成为菱形变成为菱形ABCABC D D 。(1)变形几何条件变形几何条件g g g g是微元的直角改变量，即是微元的直角改变量，即是微元的直角改变量，即是微元的直角改变量，即半径半径半径半径r r各处的切应变。因为各处的切应变。因为各处的切应变。因为各处的切应变。因为CCCC =g g g gd dx x=r rd df f f f ,故有：故有：故有
7、：故有：d df f f f/d dx x ,称为单位扭转角。称为单位扭转角。称为单位扭转角。称为单位扭转角。对半径为对半径为对半径为对半径为r r r r的其它各处，可的其它各处，可的其它各处，可的其它各处，可作类似的分析。作类似的分析。作类似的分析。作类似的分析。dxOCDA AB Brr r r rC D dfdfg gT Tg g6 6(1)变形几何条件变形几何条件对半径为对半径为对半径为对半径为r r r r的其它各处，的其它各处，的其它各处，的其它各处，作类似的分析。作类似的分析。作类似的分析。作类似的分析。切应变切应变切应变切应变g g g g的大小与半径的大小与半径的大小与半径
8、的大小与半径r r r r成正比。与单位扭转成正比。与单位扭转成正比。与单位扭转成正比。与单位扭转角角角角d df f f f/d/dx x成正比。成正比。成正比。成正比。即得变形几何条件为：即得变形几何条件为：即得变形几何条件为：即得变形几何条件为：-(1)同样有：同样有：同样有：同样有：CC CC =g g g gd dx x=r r r rd df f f fdxOCDA AB Brr r r rC D dfT Tg g g gr r r rg g g gr r r r7 7(2)物理关系物理关系 材料的应力材料的应力-应变关系应变关系在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，
9、剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G G是是是是t t t t-g g g g曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，称为切变模量。称为切变模量。称为切变模量。称为切变模量。-(2)半径为半径为半径为半径为r r r r处的切应力则为：处的切应力则为：处的切应力则为：处的切应力则为：圆轴扭转时圆轴扭转时圆轴扭转时圆轴扭转时无正应力无正应力无正应力无正应力1GOtg g1Gtys材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的
10、剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。8 8讨论讨论：圆轴扭转时横截面上的切应力分布：圆轴扭转时横截面上的切应力分布圆轴截面给定，圆轴截面给定，圆轴截面给定，圆轴截面给定，d df f f f/d/dx x为常数；为常数；为常数；为常数；G G是材料常数。是材料常数。是材料常数。是材料常数。-(3)dxOCDA AB Brr r r rC D dfT Tg g g gr r r rg g g gr r r rt t t tr r r rT Tot t t tr r r rr r r rt tmaxmax最大切应力在圆轴最大切应力在圆轴表面处。表面处。截面上任一点的切应力与该点截面上任一点的切应
11、力与该点截面上任一点的切应力与该点截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离到轴心的距离到轴心的距离到轴心的距离r r r r成正比；成正比；成正比；成正比；切应变在切应变在切应变在切应变在ABCDABCD面内，故切应面内，故切应面内，故切应面内，故切应力与半径垂直，指向由截面扭力与半径垂直，指向由截面扭力与半径垂直，指向由截面扭力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。矩方向确定。矩方向确定。矩方向确定。9 9(3)力的平衡关系力的平衡关系应力是内力应力是内力应力是内力应力是内力(扭矩扭矩扭矩扭矩)在微截面上的分布集度。各微截在微截面上的分布集度。各微截在微截面上的分布集度。各微截在微截面上的分布集
12、度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：取微面积如图，有：取微面积如图，有：取微面积如图，有：-(3)利用利用利用利用(3)(3)式，得到：式，得到：式，得到：式，得到：t t t tr r r rT Tot t t tr r r rr r r rt tmaxmaxdA1010(3)力的平衡关系力的平衡关系 令：令：最后得到：最后得到：最后得到：最后得到：-(4)I Ir r r r 称为截面对圆心的极惯性称为截面对圆心的极惯性称为截面对圆心的极惯
13、性称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。t t t tr r r rT Tot t t tr r r rr r r rt t t tmamax xt t t tmaxmax在圆轴表面处，且在圆轴表面处，且在圆轴表面处，且在圆轴表面处，且 W W =I I /r r，称为称为称为称为扭转截面系数。扭转截面系数。扭转截面系数。扭转截面系数。p p p p r r r r求求I Ir r，Wp?1111 2 圆截面的极惯性矩和扭转截面系数圆截面的极惯性矩和扭转截面系数扭转截面系数扭转截面系数扭转截面系数扭转截面系数 W W =I
14、 I /r r r r r rd dD Do o讨论内径讨论内径讨论内径讨论内径d d，外径，外径，外径，外径D D的空心圆的空心圆的空心圆的空心圆截面，取微面积截面，取微面积截面，取微面积截面，取微面积 d dA A=2=2 r r r rd dr r r r,则有：则有：则有：则有：极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩:=AdAI2rr rr r r rd dr r r rd dA A极惯极惯极惯极惯性矩性矩性矩性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpr r-=-=DdDdIDda a=d d/D D抗扭截面模量：抗扭截面模量：抗扭截面模量：抗扭截面模量：1616/)1 1()2
15、 2/(/(4 43 3 p p p pr r r r-=D DD DI IWWp p1212圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量d dD Do o空空空空心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴实实实实心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴D Do o极惯极惯极惯极惯性矩性矩性矩性矩r r=)1(3244ap-DI抗扭截抗扭截抗扭截抗扭截面模量面模量面模量面模量 )1(1643 p p-=DWTa=d/D=0324DIp pr r=16163 3D DWWT Tp p p p=1313 功率常常用千瓦功率常常用千瓦(kW)或马力表示，注意到：或马力表示，注意到：1kW=1000Nm/s,1马力马力
16、=736Nm/s,则则功率、转速与传递的扭矩之关系为：功率、转速与传递的扭矩之关系为：M(kN.m)=9.55Np(千瓦千瓦)/n(转转/分分)M(kN.m)=7.02Np(马力马力)/n(转转/分分)设轴的转速为每分钟设轴的转速为每分钟设轴的转速为每分钟设轴的转速为每分钟n n转，则每秒转过的角度为转，则每秒转过的角度为转，则每秒转过的角度为转，则每秒转过的角度为2 2 n n/60,/60,即有：即有：即有：即有：N NP P=M /t t=M22 n n/60 /60 或或或或 M=60=60N NP P/2/2 n n力矩的功力矩的功A可表示为力矩可表示为力矩M与其转过的角度与其转过的
17、角度 之积，之积，功率功率NP是单位时间所做的功，故有：是单位时间所做的功，故有：NP=A/t=M/t/t是每秒转过的角度（弧度）。是每秒转过的角度（弧度）。功率、转速与传递的扭矩之关系功率、转速与传递的扭矩之关系：1414单位扭转角为：单位扭转角为：相对扭转角相对扭转角相对扭转角相对扭转角 ：B B截面相对于截面相对于截面相对于截面相对于A A截面的扭转角。若截面的扭转角。若截面的扭转角。若截面的扭转角。若AB=AB=L L，则，则，则，则ABAB GI GI 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。称为抗扭刚度，反映轴抵抗
18、变形的能力。r r r r若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。dxOCDA AB BrC D ddg g T Tg g T T T T ABABLBAg gdxGI TdL LABAB =0 0r r r r 若若若若ABAB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则 T T/GIGIr r r r=const.,=const.,故有：故有：故有：故有：r
19、 r GILTAB/=5.3 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形1515dxOCDA AB Brr r r rC D dfT Tg g g gr r r rg g g gr r r r实实实实心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴D Do o T Tt t t tr r r rt t t tmaxmaxd dD Do o空空空空心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴t t t tr r r rt t t tmaxmax T T1616研究思路：研究思路：变形几何条件变形几何条件变形几何条件变形几何条件dx -(1)d/r rg g=+材料物理关系材料物理关系材料物理关系材料物理关系dxdGG r rg gt tr rr r=-
20、(2)静力平衡关系静力平衡关系静力平衡关系静力平衡关系+ATdAdxdG=2r r-(3)圆轴扭转切应力公式：圆轴扭转切应力公式：圆轴扭转切应力公式：圆轴扭转切应力公式：r r r rr r r rr r r rt t t tI IT T =相对扭转角公式相对扭转角公式相对扭转角公式相对扭转角公式：1717结论：结论：1 1 1 1）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转截面
21、上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。向确定。向确定。向确定。2 2）截面任一处截面任一处截面任一处截面任一处 截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）t tr r=T r r/Ir r t tmax=T/WT d dD Do o空空空空心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴实实实实心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴D Do o T Tt t t tr r r rt t t tmaxmax T Tt t t tr r r rt t t tmaxmax1818讨论：讨论：2 2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的
22、剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?1 1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否?若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？各段应力是否相同？各段应力是否相同？各段应力是否相同？变形是否相同？变形是否相
23、同？变形是否相同？变形是否相同？相同相同相同相同不同不同o o T To o T To o T To o T T1919例例:圆轴的直径圆轴的直径d=100mm,长度为长度为2l,l=500mm.B.C 两处承两处承受外力偶分别受外力偶分别 为为Me1=7000Nm,Me2=5000Nm.若材料的若材料的剪切弹性模量剪切弹性模量G=82GPa。求（求（1）试做轴的扭矩图；）试做轴的扭矩图；（2）求轴的最大切应力，并指出所在位置；）求轴的最大切应力，并指出所在位置；（3）求）求C截面对截面对A截面的相对扭转角。截面的相对扭转角。解解解解:(1)(1)画扭矩图画扭矩图画扭矩图画扭矩图（2 2）确定
24、最大切应力）确定最大切应力）确定最大切应力）确定最大切应力BCBC段各截面的边缘上段各截面的边缘上段各截面的边缘上段各截面的边缘上（3 3）计算相对扭转角）计算相对扭转角）计算相对扭转角）计算相对扭转角2020例例:空心圆轴如图，已知空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m，MC=100N.m，材料，材料G=80Gpa，试求（试求（1）轴内的最大切应力；）轴内的最大切应力；（2）C截面相对截面相对A截面的扭转角。截面的扭转角。解解解解:1):1)画扭矩图。画扭矩图。画扭矩图。画扭矩图。2)2)计算各段应力计算各段应力计算各段应力计算各段应力:ABAB段：段：段：段：N-mm-Mp
25、a单位制单位制 f f22 f f18 f f2410001000ABCMMB BMMC CMMA AA AB BC C150100T T/N.m/N.m21212)2)计算各段应力计算各段应力计算各段应力计算各段应力:BCBC段：段：段：段：故故故故 t t t tmaxmax=86.7Mpa=86.7Mpa f f22 f f18 f f2410001000ABCMMB BMMC CMMA AA AB BC C150100T T/N.m/N.m3)3)计算扭转角计算扭转角计算扭转角计算扭转角 ACACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0=+=r rr r N-mm-
26、MpaN-mm-Mpa单位制单位制单位制单位制2222例：钻杆横截面直径为例：钻杆横截面直径为20mm，在旋转时，在旋转时BC段受段受均匀分布的扭矩的作用。已知使其转动的外力偶均匀分布的扭矩的作用。已知使其转动的外力偶矩矩Me=120N.m,材料的切变模量材料的切变模量G=80GPa,试求钻试求钻杆两端的相对扭转角。杆两端的相对扭转角。解解:1)地层对钻杆的阻力沿杆地层对钻杆的阻力沿杆长方向均匀分布，列平衡方程，长方向均匀分布，列平衡方程，求求me23232)求相对扭转角求相对扭转角AB段任一截面上的扭矩段任一截面上的扭矩 T=-Me BC段任一截面的扭矩段任一截面的扭矩则则得得2424拉压拉
27、压 s/n(塑塑塑塑)=b/n (脆脆脆脆)max t ts/n (塑塑塑塑)t t t t=t tb/n (脆脆脆脆)扭转强度条件扭转强度条件max t t t t=0.50.6=0.50.6 (钢材，塑性钢材，塑性钢材，塑性钢材，塑性)t t t t 与与与与 之关系：之关系：之关系：之关系：t t t t=0.81.0=0.81.0 (铸铁，脆性铸铁，脆性铸铁，脆性铸铁，脆性)1.1.强度条件强度条件/maxss=AFN/maxt tt t=TWT5.4 5.4 圆圆轴扭转轴扭转的的强度条件和刚度条件强度条件和刚度条件返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录2525轴轴AB间的相对扭转角
28、为：间的相对扭转角为：AB=TL/GIr r扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。即还须满足刚度条件。即还须满足刚度条件。即还须满足刚度条件。单位长度的扭转角为：单位长度的扭转角为：q q=AB/L=T/GIr r扭转刚度条件则为：扭转刚度条件则为：扭转刚度条件则为：扭转刚
29、度条件则为：q q q qmamax x q q q q -许用扭转角许用扭转角许用扭转角许用扭转角机械设计手册建议：机械设计手册建议：机械设计手册建议：机械设计手册建议：q q q q=0.250.5=0.250.5 /m;/m;精度高的轴；精度高的轴；精度高的轴；精度高的轴；q q q q=0.51.0=0.51.0 /m;/m;一般传动轴。一般传动轴。一般传动轴。一般传动轴。2.刚度条件刚度条件单位统一为单位统一为单位统一为单位统一为 /m/m，则有：则有：则有：则有：（弧度转换为角度）（弧度转换为角度）（弧度转换为角度）（弧度转换为角度）180maxq qp pq qr r =ooGI
30、T26263.扭转圆扭转圆轴轴的的设计设计二者二者均须均须满足满足扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；确定许用载荷（扭矩）；确定许用载荷（扭矩）；确定许用载荷（扭矩）；确定许用载荷（扭矩）；设计轴的几何尺寸。设计轴的几何尺寸。设计轴的几何尺寸。设计轴的几何尺寸。强度条件：强度条件：/maxt tt t=TW T刚度条件：刚度条件：180maxq qp pq qr r =ooGIT极惯极惯极惯极惯性矩性矩性矩性矩324DIp pr r=抗扭截抗扭截抗扭截抗扭截面模量面模量面模量面模量 16
31、3DWTp p=2727例：卡车的传动轴例：卡车的传动轴AB由无缝钢管制成，如图。由无缝钢管制成，如图。钢管外径钢管外径D,壁厚壁厚，材料为，材料为45钢，许用切应力钢，许用切应力=60MPa。若传动轴最大的工作扭矩。若传动轴最大的工作扭矩T=1.8KN.m,试校核轴试校核轴AB的扭转强度。的扭转强度。解：解：1）计算截面几何量。）计算截面几何量。传动轴内外径之比为传动轴内外径之比为扭转截面系数为扭转截面系数为2）校核强度。）校核强度。转动轴最大切应力为转动轴最大切应力为满足强度条件。满足强度条件。2828例：将上例中传动轴设计成实心轴，其强度与空例：将上例中传动轴设计成实心轴，其强度与空心轴
32、相同，试计算实轴直径，并比较空心轴与实心轴相同，试计算实轴直径，并比较空心轴与实心轴的重量。心轴的重量。解：解：解：解：若两轴强度相同，则若两轴强度相同，则T1=T21 1）求许可扭矩）求许可扭矩）求许可扭矩）求许可扭矩29292 2）计算实轴直径）计算实轴直径）计算实轴直径）计算实轴直径在载荷相同的情况下，空心轴的重量只有实心轴在载荷相同的情况下，空心轴的重量只有实心轴的三分之一，可以大大节约材料，减轻重量的三分之一，可以大大节约材料，减轻重量。3 3）求重量之比）求重量之比）求重量之比）求重量之比重量之比重量之比=横截面面积之比横截面面积之比3030解解解解:1):1)画扭矩图。画扭矩图。
33、画扭矩图。画扭矩图。例例:实心圆轴如图，已知实心圆轴如图，已知MB=MC=1.64kN.m，MD=2.18kN.m 材料材料G=80GPa，t t=40MPa，q q=1/m，试设计轴的直径。，试设计轴的直径。最大扭矩在最大扭矩在最大扭矩在最大扭矩在ACAC段，且段，且段，且段，且B BMMB BMMC CC CMMA AMMD DA AD D3.282.18ACBDT/kN.m1.642)2)按强度设计，有：按强度设计，有：按强度设计，有：按强度设计，有：1616/3 3mamax xt t t tp p p pt t t t =D DT TWW T TT TN-m-paN-m-pa单位制单
34、位制单位制单位制31312)按刚度设计，有：按刚度设计，有：同时满足强度与刚度要求，则应取取大者同时满足强度与刚度要求，则应取取大者18032/1804maxq qp pp pp pq qr r =ooooDGTGIT则有：则有：42max18032q qp pG MD 42911080180328032=p p N-m-paN-m-pa单位制单位制单位制单位制)(109.693m-=mm70=3232讨论：若取讨论：若取=0.5，试设计空心圆轴尺寸。，试设计空心圆轴尺寸。故：故：故：故：=76.4mm34 max)1(16t t p p-TD3641040)5.01(328016-=p p按
35、刚度设按刚度设计，有：计，有：18032/)1(44maxq qp p p pq q -=ooDGT则有：则有：取取取取 D D=77=77mmmm=71mm44291)1(1080180328032-p pD扭矩图不变，按强度设计，有：扭矩图不变，按强度设计，有：扭矩图不变，按强度设计，有：扭矩图不变，按强度设计，有：maxmaxt tt t=T T16/)1(43max p p-DWT)5.0(=1/)1()2/()2/()2/(2222 p p p pp p-=-=DDD实心轴实心轴空心轴空心轴重量比：重量减轻重量比：重量减轻重量比：重量减轻重量比：重量减轻25%25%，尺寸略大一点。，
36、尺寸略大一点。，尺寸略大一点。，尺寸略大一点。3333 功率常常用千瓦功率常常用千瓦(kW)或马力表示，注意到：或马力表示，注意到：1kW=1000Nm/s,1马力马力=736Nm/s,则则功率、转速与传递的扭矩之关系为：功率、转速与传递的扭矩之关系为：M(kN.m)=9.549Np(千瓦千瓦)/n(转转/分分)M(kN.m)=7.02Np(马力马力)/n(转转/分分)设轴的转速为每分钟设轴的转速为每分钟设轴的转速为每分钟设轴的转速为每分钟n n转，则每秒转过的角度为转，则每秒转过的角度为转，则每秒转过的角度为转，则每秒转过的角度为2 2 n n/60,/60,即有：即有：即有：即有：N NP
37、 P=M /t t=M22 n n/60 /60 或或或或 M=60=60N NP P/2/2 n n力矩的功力矩的功A可表示为力矩可表示为力矩M与其转过的角度与其转过的角度 之积，之积，功率功率NP是单位时间所做的功，故有：是单位时间所做的功，故有：NP=A/t=M/t/t是每秒转过的角度（弧度）。是每秒转过的角度（弧度）。功率、转速与传递的扭矩之关系功率、转速与传递的扭矩之关系：3434 例：传转轴的转速例：传转轴的转速n=300r/min,已知主动轮已知主动轮A的的输入功率为输入功率为50kW，从动轮，从动轮B、C、D的输出功率的输出功率分别为分别为10kW 20kW 20kW。轴材料的
38、。轴材料的=40MPa,=0.5(o)/m ,G=80GPa.求（求（1）合理的布置各轮的位置；）合理的布置各轮的位置；（2）设计轴的直径。）设计轴的直径。解解:1)求外力偶矩求外力偶矩35353)设计轴的直径设计轴的直径由强度条件由强度条件由刚度条件由刚度条件同时满足强度和同时满足强度和刚度的要求，应刚度的要求，应取取D=61mm2）布置各轮的位置并作扭矩图）布置各轮的位置并作扭矩图若将主动轮放置于轴的左端（或右端），则最大扭矩若将主动轮放置于轴的左端（或右端），则最大扭矩为为1592N.m；若将主动轮放置于轮；若将主动轮放置于轮B和和C之间，最大扭之间，最大扭矩为矩为1273N.m；而将主
39、动轮放置于轮；而将主动轮放置于轮C和和D之间，最大之间，最大扭矩为扭矩为955N.m。3636例例:传动机构中传动机构中AB轴的转速轴的转速n1=120r/min,从从B轮上输入轮上输入功率功率P=14kw.此功率的一半通过锥形齿轮传递给垂直轴此功率的一半通过锥形齿轮传递给垂直轴C，另一半传给水平轴，另一半传给水平轴H。若锥形齿轮。若锥形齿轮A 和和D的齿数分的齿数分别为别为36和和12;各轴的直径分别为各轴的直径分别为d1=70mm,d2=35mm,d3=50mm；轴的许用切应力；轴的许用切应力=30MPa。试对试对各各轴进轴进行行强强度校核。度校核。解解解解:略略略略由各轴所传递的功率由各
40、轴所传递的功率由各轴所传递的功率由各轴所传递的功率 ,各轴的转速各轴的转速各轴的转速各轴的转速得到各轴承受的扭矩得到各轴承受的扭矩得到各轴承受的扭矩得到各轴承受的扭矩 ，从而校核各轴的强度，从而校核各轴的强度，从而校核各轴的强度，从而校核各轴的强度3737求解变形体静力学问题的基本方程求解变形体静力学问题的基本方程求解变形体静力学问题的基本方程求解变形体静力学问题的基本方程:力的平衡方程力的平衡方程力的平衡方程力的平衡方程、材料的、材料的、材料的、材料的物理方程物理方程物理方程物理方程和变形和变形和变形和变形几何方程几何方程几何方程几何方程。变形变形体静体静力学力学问题问题研究对象研究对象受力
41、图受力图平衡方程平衡方程求反力？求反力？静不定静不定物理物理方程方程几何几何方程方程静定静定求求内力内力应力应力求求变变形形物物理理求求位位移移几几何何联立求解联立求解反力、内反力、内力、应力力、应力 变形、位变形、位移等移等5.5 5.5 静不定问题静不定问题3838例：两端固定的阶梯圆轴例：两端固定的阶梯圆轴AB，在截面，在截面C处受外处受外力偶矩力偶矩Mc作用，已知作用，已知d1,d2,l1,l2。材料的切变模。材料的切变模量量G，许用切应力，许用切应力=，单位长度许用扭转角，单位长度许用扭转角 ,试求圆轴两端的约束力偶矩，并进行强度和刚度试求圆轴两端的约束力偶矩，并进行强度和刚度校核。
42、校核。解解解解:1 1）静力平衡方程）静力平衡方程）静力平衡方程）静力平衡方程 :MMC C=MMA A+MMB B -(1)-(1)3 3）物理方程）物理方程）物理方程）物理方程(力力力力变形关系变形关系变形关系变形关系)ACAC=MMA Al1/GIGIr1r1r1r1;CBCB=MMB B l2/GIGIr2r2r2r2 -(3)(3)(3)(3)2 2）几何方程）几何方程）几何方程）几何方程:ABAB=ACAC+CBCB=0 -=0 -(2)(2)3939 4)4)校核强度校核强度校核强度校核强度AC段最大切应力段最大切应力CB段最大切应力段最大切应力满足强度要求。满足强度要求。(3)
43、(3)代入代入代入代入(2)(2)，再与，再与，再与，再与(1)(1)联立求解，得联立求解，得联立求解，得联立求解，得:40405 5）校核刚度校核刚度AC段最大单位长度扭转角段最大单位长度扭转角CB段最大单位长度扭转角段最大单位长度扭转角不满足刚度要求不满足刚度要求4141小结小结小结小结圆轴扭转圆轴扭转切应力切应力切应力切应力 t t t t 在横截在横截在横截在横截面上线性分布。面上线性分布。面上线性分布。面上线性分布。小结小结杆的拉压杆的拉压扭矩扭矩扭矩扭矩 T T (右手法右手法右手法右手法)内力内力内力内力轴力轴力轴力轴力F FN N(拉为正拉为正拉为正拉为正)应力应力应力应力正应
44、力正应力正应力正应力 在横截在横截在横截在横截面上均匀分布。面上均匀分布。面上均匀分布。面上均匀分布。最大切最大切最大切最大切应力在应力在应力在应力在表面处表面处表面处表面处o o Tt tmaxF FN N 变形变形变形变形EALFLN N/=D Dr r r rq qGI T/=抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗拉刚度抗拉刚度抗拉刚度抗拉刚度4242圆轴扭转圆轴扭转小结小结杆的拉压杆的拉压强度强度强度强度设计设计设计设计刚度刚度刚度刚度设计设计设计设计极惯性矩：极惯性矩：极惯性矩：极惯性矩：实心轴实心轴实心轴实心轴空心轴空心轴空心轴空心轴扭转截面扭转截面扭转截面扭转截面系数：系数：系数：系数：实心轴实心轴实心轴实心轴空心轴空心轴空心轴空心轴4343