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1、返回返回3 克莱姆法则克莱姆法则一、克莱姆法则一、克莱姆法则二、齐二、齐次次线性方程组有线性方程组有 非零解的充要条件非零解的充要条件1返回返回(14)定理二定理二 （克来姆法则）（克来姆法则）设线性方程组设线性方程组的的系数行列式系数行列式一、克莱姆法则一、克莱姆法则(15)2返回返回则非齐次则非齐次线性方程组线性方程组(14)有唯一解有唯一解:(16)其中其中(第第i行行)(第第j列列)3返回返回证明证明:先验证先验证(16)是是(14)的解的解,即验证即验证:D0?按第按第1列列展开展开按第按第2列展开列展开按第按第n列展开列展开因为因为(17)4返回返回由由定理一及引理定理一及引理再再
2、证证(14)只有一个解只有一个解.0005返回返回将将以上以上 n 个恒等式相加个恒等式相加,就有就有6返回返回根据定理一及其推论根据定理一及其推论,上式为上式为证证毕毕.7返回返回 用克莱姆法则解线性方程用克莱姆法则解线性方程 组时组时,必须具备两个必须具备两个条件条件:注意注意1.未知数个数未知数个数=方程个数方程个数;2.系数行列式系数行列式0.8返回返回齐次齐次线性方程组线性方程组:(18)定理三定理三.若齐次线性方程组若齐次线性方程组(18)有非零解有非零解,则则(18)的系数行列式的系数行列式D=0.证明证明:反证反证.若若 D0,由克莱姆法则知由克莱姆法则知(18)只有零解只有零
3、解.矛盾矛盾!证证毕毕.二、齐次线性方程组有非零解的充要条件二、齐次线性方程组有非零解的充要条件9返回返回 註註:由定理三可知由定理三可知,方程组方程组(18)的系数行列式的系数行列式 D=0是方程组是方程组(18)有非零解的必要条件有非零解的必要条件.在第四章将在第四章将会看到会看到,D=0也是齐次线性方程组也是齐次线性方程组(18)有非零解的充有非零解的充要条件要条件.齐次线性方程组齐次线性方程组(18)有非零解的有非零解的充要条件是系数充要条件是系数行列式行列式 D=0.说明说明:(1).D0(18)有唯一解有唯一解,即零解即零解.(3).(18)有非零解有非零解(有有无穷多组解无穷多组解).综合上述综合上述,得到得到:(2).(18)有零解有零解:10返回返回例例1.解线性方程组解线性方程组解解:11返回返回又又因为因为12返回返回13返回返回例例2.解解:其其系数行列式系数行列式14返回返回所以有唯一解所以有唯一解.又又因为因为15返回返回故所求故所求多项式为多项式为例例3.设设齐次齐次线性方程组线性方程组16返回返回解解:因为所给齐次线性方程组因为所给齐次线性方程组有非零解有非零解,所以其系数行列式所以其系数行列式17