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1、第一讲第一讲 速算与巧算速算与巧算(二二)定义：定义：在数学运算中，根据数的某些特点，利在数学运算中，根据数的某些特点，利用一些法则、定律进行合理、快速、巧妙的简用一些法则、定律进行合理、快速、巧妙的简捷算法，简称为速算与巧算。捷算法，简称为速算与巧算。n n在速算与巧算中常用的三大基本思想：在速算与巧算中常用的三大基本思想：在速算与巧算中常用的三大基本思想：在速算与巧算中常用的三大基本思想：1.1.凑整凑整凑整凑整 （目标：整十（目标：整十（目标：整十（目标：整十 整百整百整百整百 整千整千整千整千.）2.2.分拆（分拆后能够凑成分拆（分拆后能够凑成分拆（分拆后能够凑成分拆（分拆后能够凑成
2、整十整十整十整十 整百整百整百整百 整千整千整千整千.）3.3.组合组合组合组合(合理分组再组合合理分组再组合合理分组再组合合理分组再组合 )n n在速算与巧算中常用的解题思路（四大步骤）：在速算与巧算中常用的解题思路（四大步骤）：在速算与巧算中常用的解题思路（四大步骤）：在速算与巧算中常用的解题思路（四大步骤）：1.1.凑整法（目标：凑整法（目标：凑整法（目标：凑整法（目标：整十整十整十整十 整百整百整百整百 整千整千整千整千.）2.2.改变运算顺序（改变运算顺序（改变运算顺序（改变运算顺序（加法交换律加法交换律加法交换律加法交换律和和和和乘法交换律乘法交换律乘法交换律乘法交换律的运用的运用
3、的运用的运用 3.3.运用运算定律（主要是运用运用运算定律（主要是运用运用运算定律（主要是运用运用运算定律（主要是运用乘法分配律及逆运用乘法分配律及逆运用乘法分配律及逆运用乘法分配律及逆运用 4.4.综合运用：（即以上综合运用：（即以上综合运用：（即以上综合运用：（即以上三大思想三大思想三大思想三大思想和和和和一些公式一些公式一些公式一些公式的运用）的运用）的运用）的运用）常见运算定律及其方法：常见运算定律及其方法：n n1、加法交换律：、加法交换律：2 2 2 2、加法结合律：、加法结合律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不两个数相加，交换加数的位置，它们的和不两个数相加，交换加数的位置
4、，它们的和不两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即：变。即：变。即：变。即：a+ba+ba+ba+b=b+ab+ab+ab+a一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。即：其和不变。即：其和不变。即：其和不变。即：a+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+d=d+b+a+cd+b+a+cd+b+a+cd+b+a+c几个数相加，先把前两个数相加，再加上第几个数相加，先把前两个数相加，再加上第几个数相加，先把前两个数相加，再加上第几个数相加，先把前两个数
5、相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。即：数相加，它们的和不变。即：数相加，它们的和不变。即：数相加，它们的和不变。即：a+b+ca+b+ca+b+ca+b+c=(=(=(=(a+b)+ca+b)+ca+b)+ca+b)+c=a+(b+ca+(b+ca+(b+ca+(b+c)常见运算定律及其方法：常见运算定律及其方法：n n3 3、乘法交换律：、乘法交换律：、乘法交换律：、乘法交换律：4 4 4 4、乘法结合律：、乘法结合律：、乘
6、法结合律：、乘法结合律：两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。即：两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。即：两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。即：两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。即：a a a ab b b b=b b b ba a a a一般地，多个数相乘，任意改变相乘的次序，其积不变。一般地，多个数相乘，任意改变相乘的次序，其积不变。一般地，多个数相乘，任意改变相乘的次序，其积不变。一般地，多个数相乘，任意改变相乘的次序，其积不变。即：即：即：即：a a a ab b b bc c c cd d d d=d d d db b b ba a a ac c c c 几
7、个数相乘，先把前两个数相乘，再乘上第三个数；或者，几个数相乘，先把前两个数相乘，再乘上第三个数；或者，几个数相乘，先把前两个数相乘，再乘上第三个数；或者，几个数相乘，先把前两个数相乘，再乘上第三个数；或者，先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。即即即即:a a a ab b b bc c c c=(=(=(=(a a a ab)b)b)b)c c c c=a a a a(b(b(b(bc c c c)5 5 5 5、乘法分配律及其逆运
8、用：、乘法分配律及其逆运用：、乘法分配律及其逆运用：、乘法分配律及其逆运用：两个数相加两个数相加两个数相加两个数相加(或相减或相减或相减或相减)再乘另一个数，等于把这个数分别同两个再乘另一个数，等于把这个数分别同两个再乘另一个数，等于把这个数分别同两个再乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数或减数相乘，再把两个积相加或相减，得数不变。加数或减数相乘，再把两个积相加或相减，得数不变。加数或减数相乘，再把两个积相加或相减，得数不变。加数或减数相乘，再把两个积相加或相减，得数不变。即即即即:a a a a(b+c(b+c(b+c(b+c)=)=)=)=a a a ab+bb+bb+bb+bc c c
9、 c,(,(,(,(a+b)a+b)a+b)a+b)c c c c=a a a ac+bc+bc+bc+bc c c c,a a a a(b-c(b-c(b-c(b-c)=)=)=)=a a a ab-bb-bb-bb-bc c c c,(a-,(a-,(a-,(a-b)b)b)b)c c c c=a a a ac-bc-bc-bc-bc c c c,1.利用乘法结合律进行凑整利用乘法结合律进行凑整n n利用乘法结合律，把两个因数相乘积是整十、整百、整千的先利用乘法结合律，把两个因数相乘积是整十、整百、整千的先利用乘法结合律，把两个因数相乘积是整十、整百、整千的先利用乘法结合律，把两个因数相乘
10、积是整十、整百、整千的先进行计算，使计算简便。为了计算迅速，可以把有些较常用的进行计算，使计算简便。为了计算迅速，可以把有些较常用的进行计算，使计算简便。为了计算迅速，可以把有些较常用的进行计算，使计算简便。为了计算迅速，可以把有些较常用的乘法算式记熟。乘法算式记熟。乘法算式记熟。乘法算式记熟。n n例如：例如：例如：例如：25=1025=10，254254100100，1258125810001000，62516=1000062516=10000n n即我们在进行乘法计算时，为了凑整看到即我们在进行乘法计算时，为了凑整看到即我们在进行乘法计算时，为了凑整看到即我们在进行乘法计算时，为了凑整看
11、到5 5找找找找2 2，看到，看到，看到，看到2525找找找找4 4，看到看到看到看到125125找找找找8 8，看到，看到，看到，看到625625找找找找1616，如果找不到，如果找不到，如果找不到，如果找不到2,4,8,16,2,4,8,16,则找它们则找它们则找它们则找它们的倍数（拆分原理）。的倍数（拆分原理）。的倍数（拆分原理）。的倍数（拆分原理）。n n例例例例1 1 计算计算计算计算236425236425n n 解：解：解：解：236425236425n n 236236（425425）n n 236100236100n n 2360023600n n例例例例2 12528255
12、42 125282554n n 解：原式（解：原式（解：原式（解：原式（12581258）（254254）（5252）n n 100010010100010010n n 100000010000001 1乘法结合律乘法结合律凑整法凑整法练习练习 n练习练习 计算：计算：n计算计算 2425n 56125n 1255325n解：解：式式=6（425）n=6100=600n式式=78125=7（8125）n=71000=7000n式式=1255485n=（1258）（554）n=1000100=1000002、利用乘法分配律进行凑整、利用乘法分配律进行凑整n（1）利用乘法分配律，把公因式提取后，对
13、括号内的）利用乘法分配律，把公因式提取后，对括号内的数进行凑整，如果没有公因式，利用拆分原理把公因式数进行凑整，如果没有公因式，利用拆分原理把公因式拆出来，再提取公因式。拆出来，再提取公因式。n 例例3 计算：计算：n（1）1753417566n（2）67126735675267n（3）873649873640873688n解：（解：（1）原式）原式175（3466）n 175100n 17500n （2）把）把67看作看作 671后，利用乘法分配律简算。后，利用乘法分配律简算。n 原式原式67（1235521）n 671006700n （3）原式）原式8736（494088）n 873618
14、7362、利用乘法分配律进行凑整、利用乘法分配律进行凑整n（2）间接利用乘法分配律进行巧算：把一些接近整十整百整千的数进行）间接利用乘法分配律进行巧算：把一些接近整十整百整千的数进行凑整，根据多加则减，少加再加；多减则加，少减再减原则进行，然后凑整，根据多加则减，少加再加；多减则加，少减再减原则进行，然后再利用乘法分配律进行运算。再利用乘法分配律进行运算。n例例4计算（计算（1）2699n （2）1236199n （3）713101n 解：（解：（1）由）由991001，n 原式原式26（1001）n 26100261n 260026n 2574n （2）由）由1992001，n 原式原式12
15、36（2001）n 123620012361n 247200120036n 24600036n 245964n （3）原式）原式713（1001）n 7131007131n 71300713n 720133、几种常见的特殊因数乘积的巧算、几种常见的特殊因数乘积的巧算n（1）任何一个自然数乘以）任何一个自然数乘以0，其积都等于，其积都等于0。n 例例5 计算计算13264279420315n 解：原式解：原式13260315n 1011n（2）在乘法算式中，任何一个数乘以）在乘法算式中，任何一个数乘以1，还得原来的数。，还得原来的数。n 例例6 计算计算873649873640873688n 解
16、：原式解：原式8736（494088）n 87361n 8736n（3）求一个数乘以）求一个数乘以5的积，实际上就是乘以的积，实际上就是乘以10的一半，因此的一半，因此可以把被乘数末尾添上一个可以把被乘数末尾添上一个0（扩大（扩大10倍），再把所得的数倍），再把所得的数除以除以2（减半）即可。（减半）即可。n 例例7 计算计算128647325n 解：原式解：原式1286473202n 643236603、几种常见的特殊因数乘积的巧算、几种常见的特殊因数乘积的巧算n（4）一个数乘以一个数乘以11的简便算法：头做头，尾做尾，的简便算法：头做头，尾做尾，头尾相加做中间数，如果满头尾相加做中间数，如
17、果满10、满、满100等要进等要进1。相加时的头尾数：头即为去掉尾数之后的数，尾即相加时的头尾数：头即为去掉尾数之后的数，尾即为去掉头数之后的数。为去掉头数之后的数。n例例8计算（计算（1）1311n （2）7611 n （3）12811n （4）19811n 解：解：1311143n 7611836n 12811=1408n 19811=2178n这种乘以这种乘以11的速算总结成一句话：的速算总结成一句话：“两边一拉，中两边一拉，中间相加间相加”。3、几种常见的特殊因数乘积的巧算、几种常见的特殊因数乘积的巧算n（5）个位数字是个位数字是1的两个两位数的乘法：在的两个两位数的乘法：在两个十位数
18、字的积的后面，两个十位数字的积的后面，添上添上它们的和，它们的和，如果满如果满10、满、满100等要进等要进1，再，再添上添上1）n例例9计算计算（1）2171 n （2）3171n （3）4181n （4）5191n 解：（解：（1）2171=1491n （2）3171=2201n （3）4181=3321n （4）5191=46413、几种常见的特殊因数乘积的巧算、几种常见的特殊因数乘积的巧算n（6）十位数字是）十位数字是1的两个两位数的乘法：用的两个两位数的乘法：用一个数加上另一个数的个位数字，乘以一个数加上另一个数的个位数字，乘以10，再再加上加上两数的个位数字的积，其和就是所求两数的
19、个位数字的积，其和就是所求的积。的积。n例例9计算计算（1）1213n （2）1917n （3）1318n （4）1516n 解：解：（1）1213=156n （2）1917=323n （3）1318=234n （4）1516=2403、几种常见的特殊因数乘积的巧算、几种常见的特殊因数乘积的巧算n（7）头同尾合十的两个两位数的乘法：先用头同尾合十的两个两位数的乘法：先用两个因数的个位数字相乘，并把积直接写在两个因数的个位数字相乘，并把积直接写在末尾，如果积不满末尾，如果积不满10，十位上补，十位上补0，然后再将，然后再将两个因数的十位数字乘以它本身加两个因数的十位数字乘以它本身加1的和，积的和
20、，积写在两个数字相乘的积的前面。写在两个数字相乘的积的前面。n例例10计算（计算（1）5456n （2）9595n （3）6268n （4）7179 n解：解：（1）5456=3024n （2）9595=9025n （3）6268=4216n （4）7179=56093、几种常见的特殊因数乘积的巧算、几种常见的特殊因数乘积的巧算n（8）尾同头合十的两个两位数的乘法：先用尾同头合十的两个两位数的乘法：先用两个因数的个位数字相乘，并把积直接写在两个因数的个位数字相乘，并把积直接写在末尾，如果积不满末尾，如果积不满10，十位上补，十位上补0，然后再将，然后再将两个因数的十位数字相乘的积加上个位数字两个因数的十位数字相乘的积加上个位数字的和，写在两个数字相乘的积的前面。的和，写在两个数字相乘的积的前面。n例例11计算（计算（1）4565n （2）5959n （3）2686n （4）8121n解：解：（1）4565=2925n （2）5959=3481n （3）2686=2236n （4）8121=1701小结：乘法凑整法乘法凑整法中使计算简便的一般方法：中使计算简便的一般方法：1.运用乘法分配律、结合律凑整；运用乘法分配律、结合律凑整；2.几种常见的特殊因数乘积的巧算几种常见的特殊因数乘积的巧算（将来我们还会学到更多）。（将来我们还会学到更多）。