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1、末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页第第5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性5.3 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制5.4 奈奎斯特奈奎斯特稳定判据稳定判据5.5 稳定裕度稳定裕度主要内容主要内容末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入频率特性又称频率响
2、应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。信号的响应特性。输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化变化而变化。0.511.522.53-2-1.5-1-0.500.51.521-5-4-3-2-101234500.511.522.53线线 性性系系 统统末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页0123456-8-6-4-202460123456-2-1.5-1-0.500.511.52红色红色输入信号输入信号蓝色蓝色动态响应动态响应黑色黑色稳态响应稳态响应
3、u(tu(t)y(ty(t)y yssss(t(t)红色红色输入信号输入信号蓝色蓝色动态响应动态响应黑色黑色稳态响应稳态响应u(tu(t)y(ty(t)y yssss(t(t)末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页频率特性是类似于传递函数的另一种系统模型表示方式。它定义频率特性是类似于传递函数的另一种系统模型表示方式。它定义为：系统输出量为：系统输出量y(t)的傅立叶变换与输入量的傅立叶变换与输入量u(t)的傅立叶变换之比。的傅立叶变换之比。即：即：u(t)U(j)G(j)y(t)U(j)从上图可见，其定义与传递函数非常类似。下面研究两者的关系。从
4、上图可见，其定义与传递函数非常类似。下面研究两者的关系。设设f(t)为单边函数，即当为单边函数，即当t1；时系统闭环稳定；时系统闭环稳定；当当 K=1时，系统闭环临界稳定；若时，系统闭环临界稳定；若N=N0=1，当，当K0,A(L()1的范围内，当的范围内，当增加时，相频特增加时，相频特性曲线从下向上穿过性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。反之称为负穿越。正正穿越穿越负穿越负穿越相角方向为正相角方向为正增加时，相角增大增加时，相角增大正正穿越穿越负穿越负穿越频率特性曲线对频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可
5、用频率特性的正负穿越情况来表点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。当示。当增加时，频率特性从上半增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴的平面穿过负实轴的(-,-1)段到下半段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的平面，称为频率特性对负实轴的(-,-1)段的正穿越段的正穿越(这时随着这时随着的增加，的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为点。反之称为负穿越。正穿越一次对应负穿越。正穿越一次对应G(j)曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-1,j0)点一点一周，反之顺周，反之顺时针时针包围包围(-1,j0)点一周。点
6、一周。末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页对照图如下：对照图如下：正正穿越穿越负穿越负穿越对数坐标图上奈氏稳定判据如下：对数坐标图上奈氏稳定判据如下：正正穿越穿越负穿越负穿越增加时增加时,相角增大相角增大设开环频率特性设开环频率特性G(j)H(j)在在s右半平面的极点数为右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定则闭环系统稳定的充要条件是：的充要条件是：对数坐标图上幅频特性对数坐标图上幅频特性对数坐标图上幅频特性对数坐标图上幅频特性L(L()0)0的所有频段内，当频率的所有频段内，当频率的所有频段内，当频率的所有频段内，当频率 增加时，对数相频特性增加
7、时，对数相频特性增加时，对数相频特性增加时，对数相频特性()对对对对-180-180线的正负穿越次数差为线的正负穿越次数差为线的正负穿越次数差为线的正负穿越次数差为P/2P/2。闭环系闭环系闭环系闭环系统在右半统在右半统在右半统在右半s s极点数为极点数为极点数为极点数为Z=P-2NZ=P-2N，式中，式中，式中，式中N N为正负穿越次数之差。若为正负穿越次数之差。若为正负穿越次数之差。若为正负穿越次数之差。若Z=0Z=0，闭闭闭闭环系统稳定；若环系统稳定；若环系统稳定；若环系统稳定；若Z 0Z 0，闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。末末末末 页页页页前一页前一页
8、前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页对于开环稳定的系统对于开环稳定的系统(P=0)，当频率特性曲线穿过当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于点时，系统处于临界稳定状态。这时临界稳定状态。这时A(g)=1,(c)=-180o,c=g 对于稳定的系统，频对于稳定的系统，频率特性曲线离率特性曲线离(-1,j0)点越远系统越稳定，反之在干扰作用下，系统容易变点越远系统越稳定，反之在干扰作用下，系统容易变成临界稳定甚至变成不稳定。可以用成临界稳定甚至变成不稳定。可以用 A(g)和和(c)来表示频率特性曲线来表示频率特性曲线接近接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度
9、越大，稳定性越好。点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。也可以说稳定裕度用来衡量稳定的系统距离不稳定的程度。通常用于表也可以说稳定裕度用来衡量稳定的系统距离不稳定的程度。通常用于表征系统稳定程度的指标是：相角裕度征系统稳定程度的指标是：相角裕度，增益裕度增益裕度 Kg。5.5 5.5 稳定裕度稳定裕度稳定裕度稳定裕度末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页5.5.1 5.5.1 相位裕度相位裕度相位裕度相位裕度 相位稳定裕度的物理意义相位稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率：稳定系统在幅值穿越频率c处将相处将相角减小角减小度，则系
10、统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。G(j)曲线上模值等于曲线上模值等于1的矢量与负实轴的夹角。在对数曲线上的矢量与负实轴的夹角。在对数曲线上,相相当于当于20lgA()=0处的相频处的相频()与与-线的角差。线的角差。末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页5.5.2 5.5.2 幅值裕度幅值裕度幅值裕度幅值裕度KgKg即即G(j)曲线与负实轴相交点模值曲线与负实轴相交点模值A(jg)的倒数，称为幅值裕度。在的倒数，称为幅值裕度。在对数频率特性图上，相当于对数频率特性图上，相当于(g)为为-时幅频
11、时幅频 的负值。的负值。幅值稳定裕度物理意义幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加kg倍倍（奈氏图）或增加（奈氏图）或增加Lg 分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于倍数大于 kg倍（或倍（或 Lg分贝），则系统变为不稳定。分贝），则系统变为不稳定。末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页例例5-7 设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为试分别计算试分别计算K=2,K=20时，时，系统的相角裕度和幅值裕度。系统的相角裕
12、度和幅值裕度。解：解：当当K=2时：时：末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页当当K=20时：时：一般要求系统具有一般要求系统具有4570的相角裕度。对于最小相位系统，当相角裕度的相角裕度。对于最小相位系统，当相角裕度在在3070之间时，则要求幅频曲线在截止频率处的斜率大于之间时，则要求幅频曲线在截止频率处的斜率大于-40dB/dec,通常采用通常采用-20 dB/dec。末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页例例5-8设控制系统如下图所示设控制系统如下图所示k=10和和k=100时，试求系统的时，试求
13、系统的相位稳定裕度和幅值裕度。相位稳定裕度和幅值裕度。-解解：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。当当k=10时，开环系统时，开环系统波德图如右所示。这波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是度和幅值裕度大约是8dB和和21度。因此系度。因此系统在不稳定之前，增统在不稳定之前，增益可以增加益可以增加8dB.末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页相位裕度和幅值裕度的计算：相位裕度和幅值裕度的计算：相位裕度：相位裕度：先求穿越频率先求穿越频率在在穿越频率处
14、，穿越频率处，所以，所以 ,解此方程较困难，解此方程较困难，可采用近似解法。由于可采用近似解法。由于 较小（小于较小（小于2）穿越频率处的相角为：穿越频率处的相角为：相角裕度为：相角裕度为：所以：所以：末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页 幅值裕度：幅值裕度：先求相角穿越频率先求相角穿越频率相角穿越频率处相角穿越频率处 的相角为：的相角为：由三角函数关系得：由三角函数关系得：所以，幅值裕度为：所以，幅值裕度为：末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页当增益从当增益从k=10增大到增大到k=100时，幅值特性曲线上移时，幅值特性曲线上移20dB，相位特相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和和-30度。因此系统在度。因此系统在k=10时是稳定的，在时是稳定的，在k=100时是不稳定的。时是不稳定的。末末末末 页页页页前一页前一页前一页前一页后一页后一页后一页后一页首首首首 页页页页作业：作业：1、课本、课本173页，习题页，习题2、习题、习题6、习题、习题7。2、课本、课本174页，习题页，习题12。谢谢！结束