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1、1.导数的概念导数的概念2.导数的运算导数的运算3.隐函数及参数方程的函数的求导法则隐函数及参数方程的函数的求导法则4.高阶导数高阶导数5.微分微分第二章第二章 导数与微分导数与微分1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度 设有一质点作变速直线运动设有一质点作变速直线运动,其运动方程为其运动方程为 1 导数的概念导数的概念一一.引例引例 求求:质点在质点在时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度时时 刻瞬时速度刻瞬时速度变化不大变化不大,所以质点在所以质点在在在t 时间内速度时间内速度2.若质点作变速直线运动若质点作变速直线运动 1.若质点作匀速直线运动若质点作匀速直线运动s0由于速度是连续变化的
2、由于速度是连续变化的,分析：分析：可以近似地用平均速度可以近似地用平均速度 代替代替瞬时速度瞬时速度于是当于是当时时,的极限即为的极限即为越小越小,近似的程度越好近似的程度越好称为曲线称为曲线 L 上点上点 P 处的切线处的切线2:曲线的切线斜率曲线的切线斜率切线的一般定义切线的一般定义:设设 P 是曲线是曲线 L 上的一个定点上的一个定点,Q 是曲线是曲线 L 上的另一个点上的另一个点,过点过点 P 与点与点 Q 作一条直线作一条直线 PQ,称称 PQ 为曲线为曲线 L 的的 割线割线,当点当点 Q 沿着曲线沿着曲线 L 趋向定点趋向定点 P 时时,割线割线 PQ 的极限位置的极限位置 PT
3、LPQT设曲线设曲线 L 的方程为的方程为 y=f(x),越接近于越接近于 k,x 越小越小,Q 越接近于越接近于 P,PQ 越接近于越接近于 PT,切线的倾角为切线的倾角为 ,则有则有:分析分析:如图如图,割线的倾角为割线的倾角为,求此曲线上点求此曲线上点 P 处的切线斜率处的切线斜率 k.LPQT曲线在曲线在 P 处的切线斜率为处的切线斜率为:当自变量的增量趋于当自变量的增量趋于 0 时的极限时的极限.即即:函数的增量与自变量增量之比函数的增量与自变量增量之比,二二.导数的定义导数的定义1.导数定义导数定义:存在存在,若极限若极限设函数设函数在在 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,则称
4、函数则称函数在在处可导处可导,并称此极限值并称此极限值为函数为函数 在点在点 处的导数处的导数记作记作:或或即即同时也称同时也称 为为I内的可导函数内的可导函数.)(.xf的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值)(xdfdy.),(,dxdxxfy或或记作记作 )(,xfIx的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 三三.用导数定义求导数用导数定义求导数(1)求增量求增量:;根据定义求成根据定义求成 的导数的导数,可分为以下三个步骤可分为以下三个步骤:(2)算比值算比值:;(3)取极限取极限:.例例1 求常数函数求常数函数y=C(C为常数为常数)的
5、导数的导数解解(1)求增量求增量:(2)算比值算比值(3)取极限取极限:即即例例2 2解解例例3 求函数求函数f(x)=sin x的导数的导数.解解即即同理可得，余弦函数的导数同理可得，余弦函数的导数例例4 求函数求函数f(x)=ax(a0,a1)的导数的导数.解解即即四四.左导数和右导数左导数和右导数定理定理:左导数：左导数：右导数：右导数：五五.函数的可导性与连续的关系函数的可导性与连续的关系1.若函数若函数y=f(x)在点在点 处可导，则处可导，则f(x)在点在点 处连续处连续.x0 x02.尽管函数尽管函数y=f(x)在点在点 处连续，但处连续，但f(x)在点在点 处处 不一定可导不一
6、定可导.x0 x03.若函数若函数y=f(x)在点在点 处不连续，则处不连续，则f(x)在点在点 处不处不可导可导.x0 x0解解解解 x=0是分段函数的分段点，讨论其连续性与是分段函数的分段点，讨论其连续性与可导性，均要对其左右两侧情况加以讨论可导性，均要对其左右两侧情况加以讨论.六六.导数的实际意义导数的实际意义1.导数的几何意义导数的几何意义在点在点处的导数处的导数在几何上表示曲线在几何上表示曲线xyM在点在点 处的切线的斜率处的切线的斜率,即即如果函数如果函数在点在点处可导处可导,则曲线则曲线在点在点 的切线方程为的切线方程为如果如果 为无穷大为无穷大,切线方程为切线方程为曲线曲线在点在点 的法线方程为的法线方程为例例7.求曲线求曲线 在点（在点（1,1）处的切线和法线方程）处的切线和法线方程.解解:因为因为故所求的切线方程为故所求的切线方程为法线方程为法线方程为2.导数的物理意义导数的物理意义对于不同的物理量有不同的物理意义对于不同的物理量有不同的物理意义变速直线运动位移函数变速直线运动位移函数s=s(t)的导数就是速度，即的导数就是速度，即