概论第二章课件ppt.ppt

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1、第二章 随机变量及其分布n n 离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量n n随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数n n连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量n n随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布 一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念量来表示，由此就产生了随机变量的概念.2.1 2.1 随机变量的概念随机变量的概念 1、有些试验结果本身与数值有关（本身、有些试验结果本身

2、与数值有关（本身就是一个数）就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；七月份郑州的最高温度；七月份郑州的最高温度；每天从北京站下火车的人数；每天从北京站下火车的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化.正如裁判员在运动正如裁判员在运动场上不叫运动员的场上不叫运动员的名字而叫号码一样，名字而叫号码一样，二者建立了一种对二者建立了一种对应关系应关系.这种对

3、应关系在数学上理解为定义了一种这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数实值函数.e.X(e)R（1）它随试验结果的不同而取不同的值，）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率定范围内的值也有一定的概率.称这种定称这种定义在样本空间上的实值函数为义在样本空间上的实值函数为 随随量量机机变变简记为简记为 r.v

4、.而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示 例如例如 从某一学校随机选一从某一学校随机选一学生，测量他的身高学生，测量他的身高.我们可以把可能的我们可以把可能的身高看作随机变量身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于然后我们可以提出关于X的各种问题的各种问题.如如 P(X1.7)=？P(X1.5)=?P(1.5X1.7)=?这时这时,要么要么x1.7米，要么米，要么x 1.7米，米，再去求再去求P(x 1.7米米)就没有什么意义了就没有什么意义了.一

5、旦我们实际选定了一个一旦我们实际选定了一个 学生并量了他的身高之后，学生并量了他的身高之后，我们就得到我们就得到X的一个具体的的一个具体的值，记作值，记作x.有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来就可以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用叫次数用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X=0 可见，随机事件这个概念实际上是包容可见

6、，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内在随机变量这个更广的概念内.也可以说，也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学就象数学分析中常量与变量的区别那样分析中常量与变量的区别那样.随机变量概念的产生是概率论发展随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件史上的重大事件.引入随机变量后，对引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究其取值规律的

7、研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律三、随机变量的分类三、随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类：如如“取到次品的个数取到次品的个数”，“收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实，实际中常遇到的际中常遇到的“测量误差测量误差”等等.全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一一列举，而是充满一个区间一个区间.这两种类型的随机变量因为都是随机变这两种类型的随

8、机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点值方式不同，又有其各自的特点.随随机机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法学习时请注意它们各自的特点和描述方法.解：分析解：分析例例 一一报报童童卖卖报报，每每份份0.15元元，其其成成本本为为0.10元元.报报馆馆每每天天给给报报童童1000份份报报，并并规规定定他他不不得得把把卖卖不不出出的的报报纸纸退退回回.设设X为为报报童童每每天天卖卖出出的的报报纸纸份份数数，试试将将报报童童赔赔钱钱这这一一事事件件

9、用用随机变量的表达式表示随机变量的表达式表示.当当 0.15 X1000 0.1时，报童赔钱时，报童赔钱 故故报童赔钱报童赔钱 X 666报童赔钱报童赔钱 卖出的报纸钱不够成本卖出的报纸钱不够成本2.2 2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律一、定义一、定义 若随机变量若随机变量X X取值取值x x1 1,x,x2 2,x,xn n,且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p p1 1,p,p2 2,p,pn n,则则称称X X为离散型随机变量，而称为离散型随机变量，而称 PX=xPX=xk k=p=pk k,(k=1,2,(k=1,2,)为为X X的的分布律分布律或概率

10、分布。可表为或概率分布。可表为 X X PX=xPX=xk k=p=pk k,(k=1,2,(k=1,2,)，或或 X Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp1p2pk(1)pk 0,k1,2,;(2)三、例题三、例题例例 设袋中有设袋中有5 5只球，其中有只球，其中有2 2只白只白3 3只黑。现从中任只黑。现从中任取取3 3只球只球(不放回不放回)，求抽得的白球数，求抽得的白球数X X为为k k的概率。的概率。解解 k k可取值可取值0 0，1 1，2 2二、二、分布律的性质分布律的性质例例 某篮球运动员投中篮筐概率是某篮球运动员投中篮筐概率是0.9，求，求他两次独立投篮投中

11、次数他两次独立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解：解：X可取可取0、1、2为值为值 P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18 P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1常常表示为：常常表示为：这就是这就是X的概率分布的概率分布.例例.某某射射手手连连续续向向一一目目标标射射击击，直直到到命命中中为为止止，已已知知他他每每发发命命中中的的概概率率是是p，求求所所需需射射击击发发数数X 的概率函数的概率函数.解解:显然，显然，X 可能取的值是可能取的值是1,2,，P(X=1)=P(A1)=

12、p,为计算为计算 P(X=k)，k=1,2,，Ak=第第k发命中发命中，k=1,2,，设设于是于是可见可见这就是求这就是求所需射击发数所需射击发数X的概率函数的概率函数.P(X=1)=P(A1)=p,Ak=第第k发命中发命中，k=1,2,，设设于是于是 若若随随机机变变量量X的的概概率率函函数数如如上上式式，则则称称X具有具有几何分布几何分布.不难验证不难验证:例例.一一汽汽车车沿沿一一街街道道行行驶驶，需需要要通通过过三三个个均均设设有有红红绿绿信信号号灯灯的的路路口口，每每个个信信号号灯灯为为红红或或绿绿与与其其它它信信号号灯灯为为红红或或绿绿相相互互独独立立，且且红红绿绿两两种种信信号号

13、灯灯显显示示的的时时间间相相等等.以以X表表示示该该汽汽车车首首次次遇遇到到红灯前已通过的路口的个数红灯前已通过的路口的个数，求，求X的概率分布的概率分布.解解:依题意依题意,X可取值可取值0,1,2,3.P(X=0)=P(A1)=1/2,Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设路口路口3路口路口2路口路口1P(X=1)=P()=1/4 P(X=2)=P()=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设=1/8P(X

14、=3)=P()路口路口1路口路口2路口路口3即即不难看到不难看到X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设例例 某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1,A2,A5,相互独立且 P(Ai)=p,i=1,2,5.SX=0,1,2,3,4,5,(1-p)5 四、几个常用的离散型分布四、几个常用的离散型分布四、几个常用的离散型分布四、几个常用的离散型分布1.(0-1)分布分布 若随机变量X只可

15、能取0或1，它的分布律是 PXkpk(1p)1k,(0p5年还是X5年零1分钟2.3 随机变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念.定义定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件X x的概率PX x称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P X x.易知，对任意实数a,b(ab),P aX bPX bPX a F(b)F(a).二、分布函数的性质二、分布函数的性质 1、单调不减性：单调不减性：若若x x1 1xx2 2,则则F(xF(x1 1)F(xF(x2 2););3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数

16、。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。2、归一归一 性：性：对任意实数对任意实数x，0 F(x)1，且且一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为 例 设随机变量X具分布律如右表解解X X0 01 12 2P P0.10.10.60.60.30.3试求出X的分布函数。例例 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=PXx 当x1时,F(x)=1当0 x1时,特别,F(1)=P0 x1=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观a ab b2.4 连续型随机变量连续型随机变量一、一、

17、概率密度 1.定义定义 对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X f(x),(-x+)密度函数的几何意义为2.密度函数的性质(1)非负性非负性 f(x)0，(-x)；(2)归一性归一性性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；例 设随机变量X的概率密度为求常数a.答:(3)若x是f(x)的连续点，则例例 设随机变量X的分布函数为求求f(x)。（4 4）对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则PX=b0。于是例例 已知随机变量已知随机变量X X的概率密度为的概率密度为 1)1)求求

18、X X的分布函数的分布函数F(x),2)F(x),2)求求PXPX(0.5,1.5)(0.5,1.5)二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1.均匀分布均匀分布 若Xf(x)则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作 XU(a,b)对任意实数c,d(acd0)的指数分布。其分布函数为例.电子元件的寿命X(年)服从参数为1/3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使 用两年的概率为多少？解其中 为实数，0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(N(,2 2)，可表为XN(,2).若随机变量3.3.正态分布正态分布正态分布正态分布(

19、1)单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称；f()maxf(x).正态分布有两个特性：(2)的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻。正态分布也称为高斯(Gauss)分布3.标准正态分布 参数 0，1的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0,1)。分布函数表示为其密度函数表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P439附表2)如，若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则 例例 设随机变量XN(-1,2

20、2),P-2.45X2.45=?例例 设 X X N(N(,2 2),),求 PP-3-3 XX3的值.如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.例例 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故则 Y B(3,p)其中一、离散型随机变量函数的分布律一、离散型随机变量函数的分布律 2.5 一维随机变量函数的分布设X一个随机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,若yg

21、(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.例例 已知-1 0 1XPk求：Y=X2的分布律YPk1 0 或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）。）一般地XPkY=g(X)二、连续型随机变量函数的密度函数 1 1、一般方法 若X X f(x),-f(x),-x +x +,Y=g(X),Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数 FY(y)PY yP g(X)y 然后再求Y的密度函数此法也叫“分布函数法”例例 设X X U(-1,1),U(-1,1),求求Y=XY=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率

22、密度。当y0时当0y1时当y1时例例 设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函数为FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y)=1-FX(g-1(y)Y Y的概率密度为 fY(y)=F(g-1(y)=fX(g-1(y)g-1(y)2、公式法：一般地 若XfX(x),y=g(x)是单调可导函数，则 注注：1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2、注意定义域的选择其中h(y)为yg(x)的反函数.例 已知XN(,2),求 解：的概率密度关于x严单,反函数为故例例 设X X U(0,1),U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a0)解:Y=ax+b关于x严单,反函数为故而故小结小结