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1、第四节基本不等式知识能否忆起ab一、基本不等式 ab21基本不等式成立的条件：a0，b0.2等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号二、几个重要的不等式baa2b22ab(a，bR R)；2(a，b 同号)abab2ab2a bab(a，bR R)；222(a，bR R)三、算术平均数与几何平均数ab设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的2算术平均数不小于它们的几何平均数四、利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小)p2(2)如果和 x
2、y 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是.(简记：和定积最大)4小题能否全取11(教材习题改编)函数 yx(x0)的值域为()xA(，22，)C2，)B(0，)D(2，)221解析：选 Cx0，yx 2，当且仅当 x1 时取等号x2已知 m0，n0，且 mn81，则 mn 的最小值为()A18C81B36D243解析：选 Am0，n0，mn2 mn18.当且仅当 mn9 时，等号成立3(教材习题改编)已知 0 x1，则 x的最小值为_x144解析：xx11415.x1x14当且仅当 x1，即 x3 时等号成立x1答案：5255已知 x0，y0，lg xlg y1，则 z 的最小
3、值为_xy解析：由已知条件 lg xlg y1，可得 xy10.25则 2xy成立答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2对于公式 ab2 ab，ab了 ab 和 ab 的转化关系3运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab 逆用就是a2b2abab2ab；ab(a，b0)逆用就是 ab222(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等典题导入4例 1(1)已知 x0，则 f(x)2 x 的最大值为_x(2)(2012浙江高考)
4、若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是()2428A.B.55利用基本不等式求最值ab22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现25102，故xymin2，当且仅当2y5x 时取等号又xy10，即x2，y5 时等号xyC5D6自主解答(1)x0，x0，44f(x)2 x2xx.x44(x)2 44，当且仅当x，即 x2 时等号成立xx4f(x)2xx242，f(x)的最大值为2.1 131.(2)x0，y0，由 x3y5xy 得5yx11313x4912y1313x12y13123x4y(3x4y)x55yx55yx5y5x2y 时取等号)，3x4y 的最
5、小值为 5.答案(1)2(2)C本例(2)条件不变，求 xy 的最小值解：x0，y0，则 5xyx3y2 x3y，12xy，当且仅当 x3y 时取等号2512xy 的最小值为.25由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件以题试法1(1)当 x0 时，则 f(x)2x的最大值为_x 123x 12y5(当且仅当yx(2)(2011天津高考)已知 log
6、2alog2b1，则 3a9b的最小值为_(3)已知 x0，y0，xyx2y，若 xym2 恒成立，则实数 m 的最大值是_2x22解析：(1)x0，f(x)2 1，12x 1xx1当且仅当 x，即 x1 时取等号x(2)由 log2alog2b1 得 log2(ab)1，a2b即 ab2，3a9b3a32b23(当且仅当 3a32b，即 a2b 时取等号)2又a2b2 2ab4(当且仅当 a2b 时取等号)，3a9b23218.即当 a2b 时，3a9b有最小值 18.(3)由 x0，y0，xyx2y2 2xy，得 xy8，于是由 m2xy 恒成立，得 m28，即 m10.故 m 的最大值为
7、 10.答案：(1)1(2)18(3)10典题导入例 2(2012江苏高考)如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点已知1的轨迹在方程 ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中 k 与发20关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由1自主解答(1)令 y0，得 kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，2020k2020故 x10，当且仅当 k1 时取等号2121kkk所以炮的最
8、大射程为 10 千米1(2)因为 a0，所以炮弹可击中目标存在 k0，使 3.2ka(1k2)a2成立20关于 k 的方程 a2k220aka2640 有正根判别式 (20a)24a2(a264)0a6.所以当 a 不超过 6 千米时，可击中目标由题悟法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，在地平面上，炮弹发射后射 方 向 有基本不等式的实际应用此时
9、可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法2(2012福州质检)某种商品原来每件售价为25 元，年销售 8 万件(1)据市场调查，若价格每提高1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改11革，并提高定价到 x 元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入65x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解
10、：(1)设每件定价为 t 元，t25依题意，有80.2t258，1整理得 t265t1 0000，解得 25t40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元(2)依题意，x25 时，11不等式 ax25850(x2600)x 有解，6515011等价于 x25 时，a x 有解x651501 x2x6150 1 x10(当且仅当 x30 时，等号成立)，a10.2.x 6因此当该商品明年的销售量a 至少应达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30 元典例(2011重庆高考)已知 a0，b0，a14b2，则 y 的最小值是(
11、)ab7A.B429C.2尝试解题ab2，1414ab abab252ab 2b2a5 222a bb 2aab1.2D52ab9当且仅当，即b2a时，等号成立.b2a2149故 y 的最小值为.ab2答案C易错提醒1.解答本题易两次利用基本不等式，如：(a ab b)2 2a0，b0，ab2，ab1.4 4又 yf(1,a)f(4,b)24 41 14，abababab又 ab1，y41 14.1 1但它们成立的条件不同，一个是ab，另一个是 b4a.这显然是不能同时成立的，故不正确.2.使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这
12、三个条件缺一不可.3.在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.针对训练1(2012福建高考)下列不等式一定成立的是()1x2lg x(x0)Alg41Bsin x2(xk，kZ Z)sin xCx212|x|(xR R)1D.21(xR R)x 1113x2lg x，故排除 A；取 x，则 sin x1，故排除 B；取 x0，解析：选 C取 x，则 lg422则11，故排除 D.x 1212(2012郑州质检)若 ab0，则代数式 a2的最小值为()babA2C4B3D54a224，a114解析：选 C依题意得 ab0，所以代数式
13、 a2a2a222ababbab22bab0，21当且仅当2即 a 2，b时取等号，因此 a2的最小值是 4.42baba 2a，11已知 f(x)x 2(x0)，则 f(x)有()xA最大值为 0C最大值为4B最小值为 0D最小值为411解析：选 Cx0，f(x)xx2224，当且仅当x，即x1 时x取等号ab2a b2(2013太原模拟)设 a、bR R，已知命题 p：a b 2ab；命题 q：22，则 p 是 q 成立2222的()A必要不充分条件C充分必要条件B充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B命题 p：(ab)20ab；命题 q：(ab)20.显然，由 p 可得 q 成
14、立，但由 q 不能推出 p 成立，故 p 是 q 的充分不必要条件x223函数 y(x1)的最小值是()x1A2 32C2 3B2 32D2解析：选 Ax1，x10.x22x22x2x2x22x12x13yx1x1x1x122x133x12x1x123x122 32.x13当且仅当 x1，即 x1 3时，取等号x14(2012陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b(ab)，其全程的平均时速为 v，则()Aav abBv ababDv2abC.abv2ss解析：选 A设甲、乙两地的距离为 s，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，ab又因为 ab，所以全程的平均速度为v
15、2ab2aba，即 av0，b0，且不等式 0 恒成立，则实数 k 的最小值等于()ababA0C4B4D2ab2ab2baab211k解析：选 C由 0 得 k，而 24(ab 时取等号)，所以ababababababab24，因此要使 k恒成立，应有 k4，即实数 k 的最小值等于4.ab7已知 x，y 为正实数，且满足 4x3y12，则 xy 的最大值为_x，4x3y，解析：124x3y2 4x3y，xy3.当且仅当即24x3y12，3y2时 xy 取得最大值 3.答案：3p8已知函数 f(x)x(p 为常数，且 p0)若 f(x)在(1，)上的最小值为 4，则实数 p 的值为x1_解析
16、：由题意得 x10，f(x)x1p12 p1，当且仅当 x p1 时取等号，因为f(x)在x19(1，)上的最小值为 4，所以 2 p14，解得 p.49答案：49(2012朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 yx218x25(xN*)则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元25yyx，而 x0，故 182 258，当且仅当 x解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为 18xxx5 时，年平均利润最大，最大值为8 万元答案：5810已知 x0，a 为大于 2x 的常数，(1)求
17、函数 yx(a2x)的最大值；1(2)求 yx 的最小值a2x解：(1)x0，a2x，1yx(a2x)2x(a2x)212xa2x2a2aa2 228，当且仅当 x4时取等号，故函数的最大值为8.a2xa1(2)y 222a2x1aa 2.222a 2当且仅当 x时取等号21a故 yx 的最小值为 2.2a2x1911正数 x，y 满足 1.xy(1)求 xy 的最小值；(2)求 x2y 的最小值19解：(1)由 1 2xy1 919 得 xy36，当且仅当 ，即 y9x18 时取等号，故 xy 的最小值为 36.x yxy2y 9x2y9x196 2，当且仅当，即x yxy192y9x191
18、92(2)由题意可得 x2y(x2y)xyxy9x22y2时取等号，故 x2y 的最小值为 196 2.12 为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会 首批计划用 100 万元购得一块土地，该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20 元已知建筑第 5 层楼房时，每平方米建筑费用为800 元(1)若建筑第 x 层楼时，该楼房综合费用为 y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出 yf(x)的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多
19、少元？解：(1)由题意知建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为720 元，建筑第 1 层楼房建筑费用为 7201 000720 000(元)72(万元)，楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高201 00020 000(元)2(万元)，建筑第 x 层楼房的建筑费用为 72(x1)22x70(万元)，建筑第 x 层楼时，该楼房综合费用为xx1yf(x)72x2100 x271x100，2综上可知 yf(x)x271x100(x1，xZ)fx10 00010fx10 x271x100(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为 g(x)，则 g(x)10 x1 000 xxx1 0007102x1 00010
20、 x710910.x1 000当且仅当 10 x，即 x10 时等号成立x综上可知应把楼层建成 10 层，此时平均综合费用最低，为每平方米910 元1(2012浙江联考)已知正数 x，y 满足 x2 2xy(xy)恒成立，则实数 的最小值为()A1C3B2D4x2 2xy2(当且仅当 x2y 时取等号)，xy解析：选 B依题意得 x2 2xyx(x2y)2(xy)，即即x2 2xyx2 2xy的最大值是 2；又，因此有 2，即 的最小值是 2.xyxyy22设 x，y，z 为正实数，满足 x2y3z0，则的最小值是_xzx3z解析：由已知条件可得 y，222y2x 9z 6xz所以xz4xz1
21、 x9z64zx124x9z6 3，zxy2当且仅当 xy3z 时，取得最小值 3.xz答案：33某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 吨，每吨面粉的价格为1 800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3 元，购买面粉每次需支付运费900 元(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 吨时，其价格可享受9 折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由解：(1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)，设平均每天
22、所支付的总费用为y1元，9xx1900则 y11 8006x9009x10 809x9009x10 80910 989，x2900当且仅当 9x，即 x10 时取等号x即该厂应每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)因为不少于 210 吨，每天用面粉 6 吨，所以至少每隔 35 天购买一次面粉设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，1则 y2 9x(x1)90061 8000.90 x9009x9 729(x35)x100令 f(x)x(x35)，x2x135，x100100 x2x1100 x1x2x1x2则 f(x1)
23、f(x2).x2x135，x1x2x1x2x2x10，x1x20,100 x1x20，故 f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，100即 f(x)x，当 x35 时为增函数x则当 x35 时，f(x)有最小值，此时 y210 989.因此该厂应接受此优惠条件111 函数 ya1 x(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10(mn0)上，则 的mn最小值为_解析：因 yax恒过点(0,1)，则 A(1,1)，又 A 在直线上，所以 mn1(mn0)11mn11故 4，mnmnmnmn221当且仅当 mn 时取等号2答案：42已知直线 x2y2 分别与 x 轴、y
24、 轴相交于 A、B 两点，若动点P(a，b)在线段 AB 上，则 ab 的最大值是_解析：A(2,0)，B(0,1)，0b1，由 a2b2，得 a22b，1bb21.ab(22b)b2(1b)b2221当且仅当 1bb，即 b 时等号成立，此时 a1，211因此当 b，a1 时，(ab)max.221答案：23若 x，y(0，)，x2yxy30.(1)求 xy 的取值范围；(2)求 xy 的取值范围解：由 x2yxy30，(2x)y30 x，30 x则 2x0，y0,0 x30.2xx230 x(1)xyx2x22x32x6464x264x32x264x2x23418，当且仅当 x6 时取等号，因此 xy 的取值范围是(0,1830 x32(2)xyxx12xx2x4 22，3232x238 23，当且仅当时等号成立，又xyx2330，因x2x2y4 21此 xy 的取值范围是8 23,30)