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1、莫愁前路无知己，天下谁人不识君。均值不等式的一个“完美”补充均值不等式的一个“完美”补充利用均值不等式abab（a，b均大于0）求最值（值域）时，必须具备“一正、2二定、三相等”的条件如果“相等”条件不具备就可能造成错解为了解决这个问题，我们引进一个函数f(x)x不等式“完美”的补充命题命题：函数f(x)xa(x 0)，利用它的单调性来完善上述解法不足，作为使均值xa，a，a上为增函数，在区间(a 0)在区间，x a，0，0，a上为减函数 11 1(x1 x2)(x1x2a)，证明：证明：设x1 x2，则f(x1)f(x2)x1 x2ax xxx1212a或a，当x1，x2在区间，上时，有x1
2、x2 a 0，且x1 x2 0，故f(x1)f(x2)，所以f(x)在上述区间上为增函数；0或 0，a上时，当x1，x2在区间 a，有0 x1x2 a，且x1 x2 0，故f(x1)f(x2)，即f(x)在上述区间上为减函数 函数f(x)xa的大致图象如右图x11，求函数f(x)x的最小值4x11在01上单调递减，则在0，上也单调递减，故，x4下面举例谈谈命题的运用例例 1 1设0 x解解：根据上述命题知f(x)x当x 1117时，f(x)x取最小值，即f(x)min4x41点评点评：此题直接用均值不等式来做易出错，因为x2，当且仅当x 1时，等式x111，所以等号取不到通过判断知，f(x)x
3、在0，上是单调递4x4成立，而0 x减的，因而像这类题可以利用函数单调性求得最值例例 2 2求函数y sin x22)的值域，x(0，)U(，sin x解解：令t sin x，当x(0，)时，t01，；莫愁前路无知己，天下谁人不识君。当x(，2)时，t10，因为y t 减函数2在 2，上分别为减函数，故在10上也分别为0和0，2，和01，t 2时，y sin x有最小值3，即y3，；2sin x32若x(，时，y sin x有最大值3，即y，2)，则当x 3，2sin x若x(0，)，则当x 故所求函数的值域为，3U3，练习练习：已知x2，则函数y 2log3x答案答案：2，31 的值域为_x2