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1、函数关系的建立绝对值和函数模型的建立与运用函数关系的建立绝对值和函数模型的建立与运用教学目标教学目标1理解绝对值和函数的几何意义，归纳概括绝对值和函数最值的数学模型2利用绝对值和函数最值的数学模型，运用化归的思想方法，解决相关问题3通过创设情境，初步形成自主研究数学问题的能力，养成层层递进地思考数学问题的习惯，体验突破困难取得成功的喜悦教学重点教学重点：绝对值和函数性质的探究与其最值数学模型的建模过程教学难点教学难点：运用绝对值和函数最值的数学模型解决相关问题教学过程：教学过程：一、引入课题一、引入课题我们在作业中遇到过这样一道高考题：引例（1）(2014 安徽)若函数y|x1|2xa|的最小
2、值为3，则a的值_（解法一）分类讨论、零点分段xa1ax1，a2当 a2 时，f(x)=当 a2 时，f(x)1x，xa12a3xa1x2.3xa1（x1），ax，3xa12（解法二）几何意义：距离之和ay|x 1|2x a|x 1|2|x|根据绝对值的几何意义，此函数可看做是数轴上一点x2到1的距离与到aaa距离的两倍之和，显然，当x介于1与之间时，|x1|x|为定值，222只需使剩下的|xaaa|取到最小值 0 时，函数值最小因此f()|1|3a 的值为4 或 8.222解法一是绝对值和函数问题的常规解法，不过解法二更加高效简洁，形象生动将上述例题看作是 3 个绝对值相加的问题，那么如果改
3、变题中绝对值的个数，如 4 个、5 个绝对值相加，问题的情形会发生哪些变化，它们的一般情况是什么样的呢？今天我们就这个问题做一个深入的探究二、模型建立二、模型建立我们把形如f(x)|xa1|xa2|xa3|xan|,其中a1 a2 a3 an,xR的函数称作绝对值和函数 根据绝对值的几何意义，f(x)在其定义域上没有最大值，而有最小值，并且最小值处的自变量取值与函数中绝对值的零点ai,1 i n有关问题分析：问题分析：类似于例题的情况，当奇数个绝对值相加时，函数的几何意义为数轴上的一点x到n个零点的距离之和（1）显然：要函数值较小，x应该取在最外侧两零点a1,an之间，并且当xa1,an时，x
4、到这最外侧两零点的距离之和为定值，即：|xa1|xan|a1an|（2）那么，我们再考虑x在a2,an1之间的情况，同样可以得到相应的结果以此类推，重复上述过程，（3）最终只剩下居中的零点an1，此时，只需要x到an1的距离最小时，即：x0 an1时，f(x0)222取最小值类似地，当偶数个绝对值相加时，重复上述过程（1）（2），最终将剩下居中的两个零点an,an，221此时，当任意x0an,an，x到这两零点的距离之和为定值，函数都可取到最小值221建模建模：对于上述绝对值和函数f(x)，存在x0，使得对任意xR都有f(x0)f(x)且（1）当n为奇数时，x0 an1；2（2）当n为偶数时，
5、x0an,an221模型检验：模型检验：x0的选取与零点的个数 n 有关，与每个点之间的距离无关，特别的，当两点间的距离为 0 时，上述模型仍适用三、模型应用三、模型应用问题（1）运用最值模型解答下列问题（i）函数f(x)|2x1|3x2|x3|的最小值121 2解：f(x)2|x|3|x|x3|，当x0,时，fmin(x)f(x0)4232 3讲解：模型的基本运用，本题是六个绝对值相加的情形（ii）不等式|x2|m|xa|1，对任意x R恒成立，其中m 1，求实数a的取值范围解：令f(x)|x2|m|xa|，则fmin(x)1m 1 f(x)|x2|m|xa|x2|xa|(m1)|xa|2a
6、|(m1)|xa|2a|当x0 a时，等号成立|2a|1a 1或a 3讲解：模型的转化运用，当n不是整数时，也可以化归到整数的问题来解变式：思考若0 m 1，是否还能使用最值模型求解？f(x)|x2|m|xa|(1m)|x2|m(|x2|xa|)m|2a|当x0 2时，等号成立|2a|四、模型图像四、模型图像利用几何画板，分别绘制n为奇数和偶数时，绝对值和函数的大致图像111a 2a 2或mmm0通过展示、观察、讨论，我们可以将图像可简单分为尖锥型和平底型两种，都由若干条线段以及最外侧两条射线组成，各段线段交点的横坐标为一个绝对值的零点若这些零点关于某个点对称分布，则整个函数图像具有对称性五、
7、运用模型，体会感悟五、运用模型，体会感悟问题（2）借助绝对值和函数的图像，并研究下列问题（i）（2012 静安一模 14）函数f(x)|x1|x1|xa|关于某条直线x k对称，求a的值解：a 0，3，3讲解：简单高效，解决难题（ii）已知函数f(x)x1 x2 x2015 x1 x2 x2015(xR R)且f(a23a2)f(a1)，则满足条件的所有互异的整数a的和是解：（1）f(x)为偶函数，a23a2 a1，解得a 1或a 31 a23a21（2）根据绝对值和函数性质，当也满足题意，解得a 21 a11由（1）（2）得，所有互异的整数a的和是 4.讲解：解答本题时，往往容易遗漏情况（2
8、），此时需要我们对绝对值和函数的图像有直观的认识以及灵活的运用.问题（3）：（2009 年上海市高考数学第 14 题）如图：某地区的街道呈现网格状，相邻街距都为 1，两街道相交点称为格点若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使6 个零售点沿街道到发行站之间路程之和最短解：为设发行站选址P(x,y)，P到各零售点的距离之和可表示为：f(x,y)|x2|x3|x3|x2|x4|x6|y1|y2|y3|y4|y5|y6|根据绝对值和函数最值模型，当x 3，y3,4时
9、，f(x,y)取最小值，考虑到问题的实际情况，我们将发行站设置在点（3，3）讲解：这道高考题，看似与我们今天的课题关系不大，但其实，通过化归，它实际上是将我们的模型推广到了二维的情况，在分别对x,y进行最优化处理，问题得到了完美的解决六、课堂小结六、课堂小结平面几何里有一个基本公理：平面上两点之间的连线，线段最短这里的最短，就是一种几何优化思想今天我们通过绝对值和函数的几何意义，运用关于距离的基本公理，建立模型，并运用化归的思想，将许多复杂的问题加以转化，并最终用我们的模型轻松解决今天的结论固然非常实用有效，我们探究问题的过程也一样精彩七、课后作业七、课后作业（1）最后那道高考题，为我们打开了
10、思路，使我们豁然开朗，在日常生活学习中，还有什么样的问题可以用今天的绝对值和函数模型来求解呢？请收集一些此类问题，或者进一步完善和拓展今天的绝对值和函数模型（2）根据本校教学大楼的紧急逃生路线图，根据所学的知识，建立数学模型给出你认为最佳的逃生路线方案（改编自 2007 年美国中学生数学建模竞赛 Problem A）教学设计说明：教学设计说明：一、一、本节课的特点本节课的特点本节课是高一函数模型复习课，也是专题类的拓展与探究课从绝对值的几何意义这个最简单的知识点开始，延伸开去，由点到线：将分奇偶数的整数个绝对值和函数最小值问题；非整数个绝对值和问题；绝对值和函数对称性问题以及二维环境下的绝对值
11、和函数最优化问题这一系列问题加以串联对近些年高考中能见到此类问题进行了一次全面的复习同时，由线及面：将数学建模、化归、数形结合、分类讨论、概括归纳等重要数学融入到课堂教学的过程当中二、二、教学目标的设计教学目标的设计本节课课题的选取可谓非一日之功，而是源于我在近几年教学的点滴积累特别是最近连续两年的高三教学经历，使我接触到大量的函数最值问题，在其中我对 2009 年上海高考的理科 13题，（本课问题 3）引发了我对绝对值和函数最值问题的思考这看似简单的问题，其实有许多转化和应用，首先是系数为整数的绝对值和问题，再到系数为mR的问题，再到图像中的对称问题，我意识到，探究这个问题的过程可以浓缩到一
12、节课中，让学生也完整地经历一遍，一切就这样水到渠成了三、三、教学过程的设计教学过程的设计针对学生认知水平和实际情况，我设计了已解决问题为主线的教学过程从作业中遇到的高考真题引入，突出绝对值几何意义解题的优点，激发学生深入探究的积极性建立模型，结论明确，便于记忆，并层层递进，逐个击破各类高考中出现过的问题强调简单模型的广泛应用在整个教学过程中，遵循学生的思维过程，引导学生发现问题、解决问题，并在此过程体会化归的思想，主动参与问题的解决，在积累知识的同时，能力得到提高，提升思维品质四、四、反思与新认识反思与新认识在教学实施过程中，基本达到了预设的教学目标，学生认知能力较强，使我们毫不费力就得到绝对值和函数的最值模型，并顺利的进入到模型运用于探究的环节 使得本节课整体比较紧凑，保证了教学目标的完成，课后，在与听课的专家老师交流和反思中发现，作为本节课的重点，模型建立的过程，还是有可以细细打磨的地方，比如建模实验过程，可以给学生更多参与的空间；再比如模型的严谨证明，也是研究数学问题的关键步骤以后有机会，或者在较低年级开设拓展课程是，可以进一步完善