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1、基本不等式:1学(第一课时)教学设计一、教学内容解析相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中是非常 基础且重要的内容，具有承前启后的作用。基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关，从“数”与“形”的角度都 可以进行证明和解释，而且证明方法很多，基本不等式的代数结构也是数学模型 思想的一个范例。在理解和应用基本不等式的过程中可以开展和培养学生的逻辑 推理、直观想象、数学运算和数学建模素养。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：基本不等式的定义、证明方法、几何解释和简单应用二、教学目标设置(1)发现和理解基本
2、不等式疝 4 巴电开展数学抽象、逻辑推理和直观想象素养。(2)用基本不等式解决简单的求最值问题，开展数学运算和数学建模素养。三、学生学情分析本节课的授课对象是高二年级的学生，他们已经具备了平面几何的基本知 识，具有一定的图形分析能力和抽象概括能力，他们也已经学习了函数的最值问 题以及不等式的性质和解法，但对于基本不等式的多种代数几何背景的理解及用 基本不等式解决一些最值问题还有些困难。四、教学策略分析本节课采用情境导入、问题驱动课堂教学模式：即以“基本不等式的发现与 证明”为基本研究内容，设置环环相扣的“问题链。在教师适当引导下，学生 通过观察、操作、探究等学习活动，发现并证明基本不等式，在此
3、过程中逐步提 高推理论证能力及数形结合能力。五、教学过程设计教学过程分六个环节：即设置情境，导入新课一抽象概括，发现基本不 等式逻辑推理，证明基本不等式数形结合，几何解释基本不等式 A 基本不等式的简单应用归纳小结，布置作业。环节一：设置情境，导入新课向学生展示第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵 爽的弦图(图 2)设计的，弦图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明,表达了形与数的统一。教师提出，根据弦图，是否能够得到一些不等关系呢？-1-设计意图：通过介绍国际数学大会会标以及赵爽弦图的相关背景，表达数学的文 化价值，渗透爱国主义教育，增强学生的文化认同和自信，同时
4、也为接下来学生 通过图形发现不等关系做好铺垫。环节二：抽象概括，发现基本不等式问题问题 1：将图 1 中的会标抽象成图 3,在正方体 ABCD 中有 4 个全等的直角 三角形，设直角三角形的直角边的长为。,伏。勿，能否从正方形、三角形的面 积角度来思考，寻找相等关系和不等关系？在学生给出初步结果的同时追问：对于上面的不等式，左右两边可以相等 吗？何时相等？设计意图：设计意图：引导学生利用图形中的面积之间存在的数量关系，抽象出重要不 等式，从图形上对式子等号成立的条件进行几何解释，增强学生用图“形”表现“数”、用数”解释图形”的意识。问题问题 2：对于上面的不等式/+/72 2 2a 儿 你能给
5、出代数证明吗？设计意图：设计意图：几何观察具有一定的片面性，采用代数推证，培养学生思维的严 谨性，也能将变量的适用范围推广到一切实数。完成以上两个问题之后，教师进行总结：我们将上面得到的不等式+b2 2 2ab 叫做重要不等式，教师板书：重要不等式：假设 R,b R,那么a +b 2ab当且仅当 4=b 时，等号成立。继续向学生提出问题 3：问题问题 3：当0 力力0 时，如果用分别代替重要不等式/+22中 的力,那么不等式有何变化呢?设计意图：设计意图：让学生体会一般到特殊的数学思想，同时能够认识基本不等式重-2-22要不等式之间的区别与联系。学生不难发现不等式结构上的变化，在此教师给出基本
6、不等式及相关的定 义。环节三：演绎推理，证明基本不等式问题问题 4：前面我们通过重要不等式/+)2 2 2M 的特殊情形得到了基本不等式。那么，我们能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？设计意图：设计意图：学生利用已经获得的知识和方法可能会选择用作差比拟法进行证明，在此给予肯定，同时引导学生进行分析法证明基本不等式。进一步追问：追问(1):能否归纳以下上述证明方法的思路吗？追问(2)：结合教材 98 页，说说分析法证明的格式是怎样的？设计意图：设计意图：引导学生认识分析法的证明思路和一般格式，为学生后续学习中 的推理和证明提供更加丰富的策略。.环节四:数形结合，几何解释基本不等式本环节通
7、过学生活动和教师引导，给出基本不等式的两种几何解释。首先 组织学生活动：活动：活动：学生拿出两张大小不同的正方形的纸，并把它们分别沿对角线对折成 两个等腰直角三角形。假设两个正方形的面积分别是。力，那么如何对这两个等腰直角三角形进行拼接和裁剪可以构成一个长和宽分别右,痣的矩形？.问题问题 5：比照该矩形的面积与两个等腰直角三角形的面积和，你有什么发 现？设计意图：设计意图：通过剪拼纸片的手工活动，让学生认识到其中所蕴含的基本不等式，体会数学来源于生活，又是现实世界的抽象，同时也为基本不等式提供一种 几何解释。问题问题 6：如图，A5 是圆的直径，点。是 A8 上一点=6 过点 C 作-3-垂直
8、于 A5 的弦。石，连接 AR5D 利用该图形，你能得到基本不等式的解释吗?设计意图：设计意图：让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里a+b给出了几何图形，引导学生将 9 和 2 与图中的几何元素建立起联系，再观 察这些几何元素在变化中表现的大小关系的规律，获得基本不等式的另一种几何 解释。环节五：基本不等式的简单应用例 1 1.x0,求 x+的最小值.X设计意图：设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是能取到的值，为学生求解代数式的最值提 供示范。例 2.(1)把 36 写成两个正数的积，当这两正数取什么值时，它们
9、的和最小？(2)把 18 写成两个正数的和，当这两正数取什么值时，它们的积最大？设计意图：设计意图：通过典型且简单的能够用基本不等式求解的问题，帮助学生总结用基本不等式求最值的两种模型，开展学生的模型思想。环节六：归纳小结，布置作业教师引导学生回顾本节课学习内容，回答以下问题：(1)什么是重要不等式？什么基本不等式？各自的适用范围是什么？二者有什么区别和联系？(2)如何代数证明基本不等式？如何从图形上解释基本不等式？(3)如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？(4)本节课有哪些数学思想方法？设计意图：设计意图：通过引导学生回顾本节课主要内容，帮助学生巩固知识技能，提高认知水平，培养学生的归纳总结能力。-4-课后作业：课后作业：教科书 100 页习题第 234 题设计意图：设计意图：帮助学生及时巩固对不等式的理解，检查学生对本节课的掌握情 况。六、板书设计 基本不等式：Jab0,那么函数 y=2x+，有最小值为,此时L(2)求%(1-幻的最大值及相应的值.设计意图：设计意图：检测学生利用基本不等式解决简单的最值问题的能力。1.(1)面积为 50 的直角三角形，两直角边各为多少时，两直角边的和最小，最 小值是多少？(2)用 20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎么折？设计意图：设计意图：检测学生利用基本不等式的模型解决简单实际问题的能力。-5-