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1、第八章 导行电磁波（一）王 栋 刘 兴 制作第八章 导行电磁波8-1 导波场的一般分析方法8-2 矩形波导 8-3 圆柱型波导 8-4 谐振腔 8-1 导波场的一般分析方法一般概念：一般概念：导行电磁波导行电磁波：电磁波沿波导装置传输。导行装置导行装置：双线传输线、双轴线、金属波导管以及 介质波导等。直行的均匀导波装置直行的均匀导波装置：导波装置不弯折、无分支.均匀是指在任何垂直于电磁波传播方向的横截平面上，导波装置具有相同的截面形式、截面面积以及填充的介质。对由均匀填充介质的金属波导管建立如图所示的坐标系 设z轴与波导的轴线相重 合，横截面为xoy平面，同时做以下假设：（1）波导的横截面形状
2、和媒质特性沿轴线 z 不变 化。有轴向均匀性。（2）波导内填充均匀、线性、各向同性的理想介质。（3）波导内没有激励源存在即：和 。（4）电磁波沿z轴传播，且场随时间正弦变化。导波原理导波原理方程推导方程推导由麦克斯韦方程:其中,都是复矢量函数,原有场量与它的关系是:将(8-1)取旋度,得:利用矢量恒等式得:再将 代入得:再将(8-1)式代入得:同理得:用复矢量表示（8-10）（8-11）:令 得，这就是传输系统中场量应满足的齐次波动方程.在广义坐标系中：横向分量纵向横向纵向将上式代入场量的齐次波动方程得：二维拉氏算子 也分解成两部分：与横向坐标有关与纵向坐标有关其中 中的xy可为xoy平面（x
3、，y）也可为圆柱坐标（）得广义坐标：同理令 （截止波数）当 ,时，对于无耗损线：波不沿z方向传播，故截止。故波动方程化为：四个横向场分量式四个横向场分量式可先求纵向场分量的波动方程，得到再依基本方程组求得所有四个横向分量：所以，纵向场分量 和 满足标量波动方程：由上述求得 和 后，即可从电磁场基本方程组中的两个旋度方程得四个横向分量1，在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程,结合相应的边界条件即可求得纵向分量 和 ,而场的横向分量即可由纵向分量求得.2，既满足上述方程又满足边界条件的解有许多,每一个解对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输特性.3，是微分方程在特定边界条件下的
4、特征值,它是一个与导波系统横截面形状,尺寸及传输模式有关的参量.由于当相移常数 时,意味着波在导系统不再传播,亦称为截止,此时 ,故将 称为截止波数.所以，依所以，依 和和 分量存在情况，将导行分量存在情况，将导行电磁波分为电磁波分为TEMTEM、TETE、TMTM三种模式。三种模式。结论结论横电磁波（横电磁波（TEMTEM波）波）对TEM波，因在传播方向上不存在电场和磁场量，故由四个横向分量式可知：，存在的条件是：。即有：在无耗损媒质中，故 因此对TEM波，故相速、波长及波阻抗和无界空间均匀媒质中相同。而且由于截止波数 ，因此理论上任意频率均能在此类传输线上传输。此时不能用纵向场分析法，而可
5、用二维静态场分析法或后述传输线方程进行分析。对于对于TEM波（波（）这正是拉氏方程，表明：导波系统中TEM波在横截面上的场分量满足拉氏方程。因此其分布应该与静态场中相同边界条件下的场分布相同。由此断定：凡能维持二维静态场的导波系统，都能传输TEM波。例如二线传输线（如图）、同轴线等，也即为了传输TEM波必须要有二个以上的导体。由于TEM波在横截面上的电场具有与二维的静电场同样的性质，它必定起始于一个导体而终止于另一个导体。空心金属波导管内（如图），由于不能维持二维静态场，故不能传输TEM波。这是波导管中电磁波显著的特点之一。横电波（横电波（TE波）波）对于TE波，因在传播方向不存在电场分量，即
6、故：对于TE波，需要研究确定 的方法，满足波动方程：且在金属导体内壁的边界条件为：理想导体法理想导体法向磁场为零向磁场为零式中，S波导周界，n为边界法向单位矢量。这表明对于TE波来说，归结为在第二类齐次边界条件下求解二维齐次波动方程：对于该方程，只有在kc取某些特定的离散值时才有解，使解存在的kc值称为本征值。针对不同截面形状及尺寸的波导，这些本征值是不同的，后面讨论矩形波导时，将用分离变量法求出它的本征值kc 因在传播方向上不存在磁场分量,即：故由四个横向分量式得：横磁波（横磁波（TM波）波）对于TM波来说，需要研究确定 的方法，满足波动方程：且在金属导体(理想导体，切向电场为零)内壁的边界
7、条件为：式中S波导周界 这表明对于TM波来说，归结为在第一类齐次边界条件下求解二维齐次波动方程的本征值kc的解。以上是根据在波导传输的电磁波是否有电场或磁场的纵向分量而将其划分为三类波型，其中，TE和TM波还可细分为很多种不同的波型（理论上讲有无穷多个）它们都是一定边界条件下波动方程的解。除上述三类波型外，在有的波导系统中，也有 和 都不零的波型，一般称之为混合波型（混合模）。传播特性传播特性（相位常数 ，截止波数 ，相速 ，波导波长 波阻抗 ，传输功率等。）(1)相移常数 和截止波数 波数 与电磁波的频率成正比。三者的关系为：(2)相速 与波导波长电磁波在波导中传播，其等相位面移动速率称为相
8、速。导行波的波长称为波导波长(3)波阻抗 定义某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗，即：(4)传输功率 由玻印亭定理，波导中某个波型的传输功率为：式中，Z为该波型的波阻抗。1，TEM波传输特性 (仅与媒质参数有关，与导波装置几何形状无关)波阻抗 是电磁波在无界介质()中的波阻抗(媒质的本征阻抗)所以，TEM波的波阻抗与媒质的本征阻抗相同。=工作波长2，对TE波、对TM波而 ，因此：由 可知，当kkc时，波沿z方向传播，这种模式叫传播模式。当kfc（或工作波长c时）电磁波才可以在波导内传播，为传播模式。2，当fc时）为非传播模式。这和传播TEM波的波导系统不同，TEM波传播模式是没有截止频率
9、和截止波长的，因此，在双导线传输线中即可传播高频电磁波，也可传播低频电磁波以至稳恒电流。（1）当ffc（或kkc时 相位常数 这是一个相位常数为 的传播模式，且有：波长 式中 是频率为f的平面电磁波在无限大理想介质中的波长。上式表明波长 大于无限大媒质中的波长。相速度 式中 为无限大媒质中波的相速度。可见，波导内波的相速度 亦大于无限大媒质中波的相速度，也说明了波在波导中的真实传播方向并不是z轴方向，而是曲折前进，这一点不同于TEM波。上式还表明 是频率的函数，TE、TM波是色散波，此色散不同于前面的因导电媒质引起的色散，它是由波导的边界条件引起的，因此，称它为几何色散。（2）当ffc（或kb
10、）：TE10模和TM11模分别是TE波和TM波中具有最长截止波长的模式，称为最低模式。而TE10模的c比TM11模的c还长，它具有最长的截止波长。因此，TE10模亦称为主模，其它模式为高次模。由 式可知：当m=1、n=0时，得TE10的本征值四，主模TE10波由上式可见，TE10模只有三个非零的场分量即：，它们的电磁场分布图如下。所以，TE10场分量为：下面三个图画出了TE10模电磁波在t=0时的电场、磁场分布，首先看TE10波的电场分布：（a）BB/横截面（b）AA/纵截面（c）CC/纵截面TE10波的磁场分布：（a）EE/横截面（b）DD/纵截面TE10波的立体电磁场分布：由此可见：（1）
11、TE10模只有三个非零的场分量，即：（2）由理想导体表面的边界条件可知，在波导壁上的电流线密度 ，它与磁场强度有关，且有：壁面的外法线方向单位矢量。壁上的磁场强度。（3）各场分量均与y无关，即在y方向为均匀分布，在z方向为正弦行波；在x方向上为驻波。（4）多模区与单模区 由于TE10模的截止波长c（=2a）是矩形波导中能出现最长的截止波长，因此：a，当工作波长=2a时，电磁波就不能在波导中传播，所以=2a的区域称为截止区。b，当a，则至少会出现两种以上的波型，这个区叫多模区。c，当aa的范围内只可能传输TE10 c，当b/a1/2时，则可能传输的单模范围变窄。d，当b/aa的范围内只可能传输
12、TE10 模。但由于导体损耗所引起的衰减随b越大而 变得越小，所以：b/a=1/2的尺寸比较好，市场上 的矩形波导管。采用这种尺寸比，一般取 a=0.7，b=(0.40.5)a=(0.30.35)采用主模TE10传输，具有截止频率低、损耗小、波型稳定和波导尺寸小等优点。总之，各种空心柱行长直波导的基本特性是相同的，只要理解了矩形波导的特性也就是为理解其它类型波导的特性提供了基础。例1，空心填充的矩形波导的截面尺寸为a=7cm，b=3cm，（1）计算TE10、TE20、TE01等若干个模的截止波长，并指出简并波型；（2）如果电磁波的工作波长为 ，这时波导中存在哪些模式的波；（3）若要求波导中只传播TE10波，波导的尺寸应如何改变？解：（1）依截止波长的计算公式：计算可得：模 14 7 6 5.51 4.67 4.56 3.68 3.5简并波型为：（TE11，TM11）（TE21，TM21）（TE31，TM31）（2）波长 从表中可以看出它小于 及 五个模式的截止波长。即这5个模式的波可以在波导中传播。（3）若只允许存在TE10型波，应使小于TE10的c而 大于TE20、TE01的c 由于所以：可以选a=3.5cm，b=1.5cm，还可以有其它的选择。