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1、2019 届高三数学备考冲刺 140 分问题 26 利用基本不等式处理最值(含解析)问题 26利用基本不等式处理最值一、考情分析不等式问题始终是高考数学的热点题型之一笔者以近几年高考试题及模拟题为例类解析,供参考二、经验分享,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一下面,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件类型二未知定值【例 2】已知x,y为正实数,则B4 xx 3 y 103 yx的最小值
2、为（）A53C32D 33【答案】D【解析】,当且仅当时取等号,故选 D.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题【小试牛刀】【山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试】已知函数在 R 上是单调递增函数 ,则c的最小值是2b3aA.1B.2C.3D.4【答案】A1/92019 届高三数学备考冲刺 140 分问题 26 利用基本不等式处理最值(含解析)技巧一：凑项【例 3】设ab0,则2C3的最小值是（）A1BD 4【分析】拼凑成和为定值的形式【解 析】a
3、和24(当且仅当1ab,即b2时取等号),故选 D.2,如果不符合条件则：非正化正、非,还应加强非定构定、不等作图这方面的训ab【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象.练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错【例 7】已知x0,y 0,且19y1,1,求xy的最小值x19【错解】x0,y0,且xy,故【错因】解法中两次连用基本不等式,在等号成立条件是 xy,在1 9xy29xy等号成立条件2/92019 届高三数学备考冲刺 140
4、 分问题 26 利用基本不等式处理最值(含解析)是1x9y,即y9x,取等号的条件的不一致,产生错误因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法【正解】,当且仅当yx9 xy时,上式等号成立 ,又1x9y1,可得时,【小试牛刀】已知正实数a,b满足a 3b 7,则的最小值为 _【答案】13 4 314技巧六：取平方【例 8】已知x,y为正实数,3x 2y 10,求函数W3x2y的最值【分析一】可以利用算术平均与平方平均之间的不等关系【解法一】3x2y2（3x）2（2y）223x2y 25,再向“和为【分析二】条件与结论均为和的形式,设法直
5、接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式定值”条件靠拢222【解法二】W0,W 3x2y 2 3x 2y 10 2 3x20,W 202 5【小试牛刀】求函数2y10(3x)(2y)10 (3x 2y)的最大值【解析】注意到2x1与 52x的和为定值,又y0,当且仅当 2x 1=52x,即x32时取等号,故ymax2 2【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件3/92019 届高三数学备考冲刺 140 分问题 26 利用基本不等式处理最值(含解析)技巧七：构造要求一个目标函数f(x,y)的最值,我们利用基本不等式构造一个以f(x,y)为主元的不等式（一般为
6、二次不等式）,解之即可得f(x,y)的最值【例 9】设x,y为实数,若,则2x y的最大值是22【分析】利用基本不等式将已知定值式中4 xy,xy的均转化成含2xy的不等式,再求 2xy的最大值【答案】2105【解析】,可解得2xy的最大值为2105【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中的乘积,方法就是利用基本不等式 ,这里它的作用 ,一个是消元 ,还有就是把条件的等式变为了不等式【小试牛刀】若正实数x,y,满足,则 xy 的最大值为（）A 2B 3C.4D 5【分析】构成关于xy的不等式,通过解不等式求最值【解析】由,得.即,.计算得出
7、:.x y的最大值是4.所以 C 选项是正确的.技巧八：添加参数【例 10】若已知a,b,c 0,则的最小值为【小试牛刀】设 x,y,z,w是不全为 零的实数,求的最大值【解析】显然我们只需考虑的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可以找到相应的正参数,满足：4/92019 届高三数学备考冲刺 140 分问题 26 利用基本不等式处理最值(含解析)故依据取等号的条件得,参数t就是我们要求的最大值消去,我们得到一个方程,此方程的最大根为我们所求的最大值,得到t2 12【点评】从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是
8、为了取得最值4【湖北省武汉市 2019 届高中毕业生二月调研】已知则A的最小值为（B）C8D为抛物线上两点，为坐标原点，且，【答案】C5【江西省南昌市第二中学项，使得B2019 届高三第六次考试】已知数列的最小值为（）的前项和为，若存在两，则CDA【答案】B【解析】因为，所以，可得，.两式相减化简可得公比由5/92019 届高三数学备考冲刺 140 分问题 26 利用基本不等式处理最值(含解析)则，解得，当且仅当时取等号，此时，解得，取整数，均值不等式等号条件取不到，则时，取最小值为，故选B.验证可得，当6【河北省邢台市2019年高三期末】在，则的最大值为（中，点）满足，为上一点，且ABCD【
9、答案】A【解析】因为，所以，（当且仅当，则，即为圆，因为时，等号成立），故上的一个动点,点,三点共线，所以.故选 A为两个定点,则7【山西省 2018 届高三第一次模拟】若点的最大值为（A.B.C.）D.【答案】B8【云南省保山市2018届 普 通 高中毕业生第二次市级统测】在,则ABC中,若的最小值为（）A.5B.25C.6D.62【答案】B6/92019 届高三数学备考冲刺 140 分问题 26 利用基本不等式处理最值(含解析)【解析】设ABC的内角 A,B,C 所对应的三条边分别为a，b，c,则有,由正弦定理得：展开可得,所以=,则5当且仅当tanB时,等号成立,故选 B59【辽宁省朝阳
10、市普通高中2018 届高三第一次模拟】在,D.,则中,为）的重心,过点的直线分别交,A.于,B.两点,且C.的最小值（【答案】A10【湖北省天门、仙桃、潜江则A.11B.10C.6D.42018 届高三上学期期末】已知三点的最小值为共线,【答案】A【解析】由共线得,当且仅当时取等号,所以选 A.2018 届高三联考】已知20【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校a1,b2,则的最小值为 _ 7/92019 届高三数学备考冲刺 140 分问题 26 利用基本不等式处理最值(含解析)【答案】621【江苏省常州 2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列的最小值为 _.【答案】3an中,若,则a3【解 析】因 为 an是各项均为正数的等比数列,且,即,即,所 以,即a3的最小值为,则3.,如：点睛：本题考查等比中项和基本不等式的应用；在处理等比数列中在等比数列,往往考查等比数列的性质的应用.an中,若,则2018 届高三上学期期末】已知22【福建省闽侯第四中学是 _【答案】,x 0,y 0则x y的最小值223x4 x 3【解析】y,0 x348/92019 届高三数学备考冲刺 140 分问题 26 利用基本不等式处理最值(含解析)9/9