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1、非线性科学基础与应用第二讲 赵小梅赵小梅86138613室室第二章 分形理论基础本章主要内容1分形的起源分形的起源1分形的定义分形的定义1维数与规则分形维数与规则分形1容量维数与信息维数容量维数与信息维数1自然界的分形与计算机产生分形的方法自然界的分形与计算机产生分形的方法1产生分形的物理模型产生分形的物理模型整数维（拓扑维或传统的维数整数维（拓扑维或传统的维数）点点 零维零维 线线 一维一维 面面 二维二维 体体 三维三维 整数维整数维规则分形规则分形 许多数学家从纯数学兴趣出发，构造出一批自相似的几何图形：1科赫曲线科赫曲线 采用分形理论分析，看出这些图形与正规几何图形之间存在直接联系。柯
2、赫曲线（柯赫曲线（1 1）1科赫曲线科赫曲线 科赫曲线是具有相似结构的弯曲线段。将长度为 1 的直线段三等分，保留两侧，将中间一段改成夹角60度的两个等长直线。再将上次操作的四段边长 1/3 的线段三等分，每段长度为 1/9，也将中间一段改成夹角60度的两直线。操作进行下去，得一条有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线三次科赫曲线。长度的测量长度的测量 Length(n=0)=1 Length(n=1)=4/3 Length(n=2)=16/9 Length=lim(Length(n)=lim(4/3)n =面积的测量面积的测量 Area(n1)=(1 3/6)/2=3/12 Area(n2)=
3、3/12 (4/9)Area(n3)=3/12 (4/9)2 Area(n)=lim(3/12 (4/9)n)=0 1K Kochoch曲线在一维欧氏空间中的曲线在一维欧氏空间中的度量为度量为1K Kochoch曲线曲线在二维欧氏空间中的在二维欧氏空间中的面积为面积为0 01KochKoch曲线在传统欧氏空间中曲线在传统欧氏空间中不可度量不可度量1人类生活的世界是一个极其复杂的世界人类生活的世界是一个极其复杂的世界:例如，喧例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、蜿蜒曲折的闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、蜿蜒曲折的海岸线等等，都表现了客观世界丰富的现象。海岸线等等，都表现了客观世界丰富的现
4、象。1基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。相比，拥有完全不同层次的复杂性。1分形几何分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法的秩序和结构的新方法分形的起源 “分形分形”是由美国曼德勃是由美国曼德勃 罗特（罗特（Mandelbrot)在在19751975年年首次提出，其原义是首次提
5、出，其原义是“不规则的、分数的、支离不规则的、分数的、支离 破碎的破碎的”物体。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里得几物体。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。“分形理论分形理论”初步形成的初步形成的标志标志是由是由Mandelbrot分别在分别在19771977年著年著“分形：形态、偶然性和维分形：形态、偶然性和维”及及19821982年著年著“自然自然界的分形几何学界的分形几何学”。分分形形理理论论的的创创始始人人曼曼德德布布罗罗特特(Mandelprot)曾曾说说过过：“浮浮云云不不呈呈
6、球球形形，山山峰峰不不呈呈锥锥体体，海海岸岸线线不不是是圆圆圈圈，树树干干不不是是光光溜溜溜溜的的，闪闪电电永永不不会会沿沿直直线线行行进进”，说说的的就就是是人人们们一般不应以简单的、理想的体系去对待实际体系。一般不应以简单的、理想的体系去对待实际体系。自相似性自相似性1大自然中存在的不规则的物体，可能存在不同大自然中存在的不规则的物体，可能存在不同尺度上的相似性，称为尺度上的相似性，称为自相似性自相似性,即即 -某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度看都是相似的看都是相似的 -指某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。指某系统或结构
7、的局域性质或局域结构与整体类似。自相似（自相似（1 1）1布朗微粒轨迹布朗微粒轨迹 皮兰（皮兰（Perrin）于于1908年用显微镜测量了布朗运动的轨迹，他每隔年用显微镜测量了布朗运动的轨迹，他每隔30秒记录一次某个微粒的位置，再将相继得到的两点位置连成直线，得秒记录一次某个微粒的位置，再将相继得到的两点位置连成直线，得到一幅由长短不等的直线段连接成的轨迹图。他又将测量时间间隔缩到一幅由长短不等的直线段连接成的轨迹图。他又将测量时间间隔缩短为每隔短为每隔3秒，画出的另外一幅微粒的轨迹图。将两图进行比较可以发秒，画出的另外一幅微粒的轨迹图。将两图进行比较可以发现，两幅图虽不尽相同，它们具有现，两
8、幅图虽不尽相同，它们具有同等的复杂程度同等的复杂程度。以不同尺度去测量都有相似结以不同尺度去测量都有相似结果说明，测量对象没有特征尺果说明，测量对象没有特征尺寸，它们具有尺度（标度）寸，它们具有尺度（标度）不不变性变性。自相似（自相似（2 2）1大自然中的自相似体大自然中的自相似体不管漫步在海岸边以厘米量级观察，还是从人造卫星上以数千米跨度观察，海岸线的弯曲的复杂程度也可能是相同的。大自然中的许多不规则物体，可能大自然中的许多不规则物体，可能存在不同尺度上的相似性，称为自相存在不同尺度上的相似性，称为自相似性似性。分形的定义分形的定义1Mandelbort 1982 -A fractal is
9、 by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceed the topological dimension.1Mandelbort 1986 -A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way -分分形形是是其其组组成成部部分分以以某某种种方方式式与与整整体体相相似似的的图图形形，或或者者说说：分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。分形
10、的研究领域分形的研究领域 分分形形的的研研究究现现已已大大大大地地超超出出了了数数学学、物物理理学学的的范范畴畴，它它不不仅仅广广泛泛用用于于处处理理自自然然科科学学中中相相关关问问题题，而而且且在在扩扩展展到到生生态态、生生命命、经经济济、人人文文的的许许多多领领域域。分分形形与与系系统统的的混混沌沌运运动动是是密密切切相相关关的的，是是非非线线性性科科学学的的一一个重要分支。个重要分支。1数学数学，这是分形的基础领域；，这是分形的基础领域；1物理学、化学等自然科学物理学、化学等自然科学，如雷电、相变、聚合物生长、如雷电、相变、聚合物生长、天文、地理地质、生态、生命等自然现象；天文、地理地质
11、、生态、生命等自然现象；1非线性动力系统非线性动力系统中的分形研究；中的分形研究；1人文、经济人文、经济 如股票涨落分析等；如股票涨落分析等；1国民经济国民经济：如地震、气象的预报预测、石油的多次开采等：如地震、气象的预报预测、石油的多次开采等领域。领域。维数维数 1与人们熟悉的规整形体的整数维不同，分形体的维数不一与人们熟悉的规整形体的整数维不同，分形体的维数不一定是整数，它可取连续变化的各种数值，称为分形维数定是整数，它可取连续变化的各种数值，称为分形维数（简称分维）。（简称分维）。1根据分形体不同特征，分形维数的定义有多种，而且不同根据分形体不同特征，分形维数的定义有多种，而且不同维数定
12、义计算出的维数也有一些差别。维数定义计算出的维数也有一些差别。维数与规则分形维数与规则分形1维数维数1规则分形规则分形 -康托尔点集康托尔点集 -科赫曲线科赫曲线 -谢尔宾斯基图形谢尔宾斯基图形 -模拟分形物质模拟分形物质豪斯道夫维数（豪斯道夫维数（1 1）例例.取取长长度度为为 l 的的线线段段，放放大大 2 倍倍后后的的长长度度 2 l。边边长长为为 l 的的正正方方形形，每每边边长长放放大大 2 倍倍的的面面积积为为 4 l2。边边长长为为 l 的的立立方方体体，每每边边长长放放大大2倍倍的的体体积积为为 8 l3。结果整理如下：结果整理如下：一维图形（线段）一维图形（线段）21=2 二
13、维图形（正方体）二维图形（正方体）22=4 三维图形（立方体）三维图形（立方体）23=8 归结：归结：取对数取对数豪斯道豪斯道夫维数夫维数豪斯道夫维数（豪斯道夫维数（2 2）推论推论：对于正规几何图形，分子为分母整除，对于正规几何图形，分子为分母整除，Df 为整数，是为整数，是欧几欧几里德维数里德维数。对非规则图形，分子与分母不总可整除，。对非规则图形，分子与分母不总可整除，Df 一一般是分数，称为般是分数，称为分维分维。自相似维数（自相似维数（1 1）换一个视角换一个视角：把单位面积的正方形等分成九把单位面积的正方形等分成九个小正方形，每个小正方形边长缩短为原来个小正方形，每个小正方形边长缩
14、短为原来长度的长度的1/31/3，即有：，即有：9(1/3)9(1/3)2 21 1指数指数 2 2 显然为正方形维数。该式表示显然为正方形维数。该式表示局部与整局部与整体有相似关系体有相似关系。1定义定义：假定某个几何体由：假定某个几何体由N个局部组成，个局部组成，每个局部以相似比每个局部以相似比 beta 与整体相似，则与整体相似，则客体的客体的相似维数相似维数为：为：自相似维数（自相似维数（2 2）例例：边长为边长为 2l 的正方体，四等分得边长的正方体，四等分得边长 l 的四个小正方形。小的四个小正方形。小正方形边长与原正方形边长之比为正方形边长与原正方形边长之比为1/2，局部与整体的
15、相似比，局部与整体的相似比为：为：beta=l/2l=1/2，Ds 为为:规则分形规则分形 许多数学家从纯数学兴趣出发，构造出一批自相似的几何图形：1康托尔点集康托尔点集1科赫曲线科赫曲线1谢尔宾斯基地毯等谢尔宾斯基地毯等 采用分形理论分析，看出这些图形与正规几何图形之间存在直接联系。康托集（康托集（1 1）1康托点集康托点集 取取一一线线段段 0,1 将将其其三三等等分分，各各段段长长度度为为原原线线段段的的 1/3。取取走走中中间间一一段段，保保留留两两侧侧。将将留留下下的的两两段段再再三三等等分分并并再再取取走走中中间间一一段段，保保留留两两侧侧其其余余两两段段。继继续续分分割割、取取走
16、走，留留下下线线段段愈愈多多则则长长度度愈愈短短。随随着着线线段段分分为为无无穷穷多多段段，每每段段长长度度为为零零，总总长长度度也也为为零零，构构成成了了由由无无穷穷个个点点组组成成的的点点集。集。康托集（康托集（2 2）康托点集分维康托点集分维1豪斯道夫维数豪斯道夫维数 每次三等分后的一小段，将此放大三倍，把中间的每次三等分后的一小段，将此放大三倍，把中间的 1/3 段舍去得到两个段舍去得到两个1/3 段，在豪斯道夫维数公式中，段，在豪斯道夫维数公式中，L3，K2，因此有：因此有：1相似维数相似维数 初始元线段长度为初始元线段长度为1，生成元为两个，生成元为两个1/3，得局部与整体的相似比
17、，得局部与整体的相似比1/3，N2：康托集（康托集（3 3）1康托点的长度康托点的长度 生成元生成元 En 由长度为由长度为(1/3)n 共有共有 2n 区段，当区段，当n趋于无穷时，因此各点总趋于无穷时，因此各点总长度长度1多分集多分集 上面的组成中每次将线段一分为三，故称康托尔三分集。依此法则，上面的组成中每次将线段一分为三，故称康托尔三分集。依此法则，可以生成四分、五分可以生成四分、五分等多种康托尔点集。如四分康托尔点集，将一等多种康托尔点集。如四分康托尔点集，将一线段四等分，舍去中间两段，保留两侧的两段，如此进行同样操作下线段四等分，舍去中间两段，保留两侧的两段，如此进行同样操作下去。
18、去。康托集（康托集（4 4）多分集维数多分集维数1康托尔四分点集的维数 1康托尔n分点集的维数 （把一线段进行（把一线段进行 n 等分，舍去中间的等分，舍去中间的 n2 段，保留两侧两段）段，保留两侧两段）1结论：结论：当当 n时，时，Df 0 各次多分集的 Df 维数 柯赫曲线（柯赫曲线（1 1）1科赫曲线科赫曲线 科赫曲线是具有相似结构的弯曲线段。将长度为 1 的直线段三等分，保留两侧，将中间一段改成夹角60度的两个等长直线。再将上次操作的四段边长 1/3 的线段三等分，每段长度为1/9，也将中间一段改成夹角60度的两直线。操作进行下去，得一条有自相似结构的曲线，称为三三次科赫曲线次科赫曲
19、线。1维数维数 三次科赫曲线由四个与整体相似的局部组成，相似比 beta=1/3，因此相似维数柯赫曲线（柯赫曲线（2 2）1科赫雪花科赫雪花 以以三三角角形形为为源源多多边边形形，每每一一边边作作三三等等分分并并舍舍去去中中间间 1/3。类类似似科科赫赫曲曲线线生生成成规规则则。第第一一步步形形成成一一个个六六角角星星形形，第第二二步步将将六六角角星星形形的的12条条边边按按科科赫赫曲曲线线规规则则，得得 48 条条边边图图形形，以以后后依依此此进进行行同同样样得得操操作作，直直至至无无穷穷，称称为为科科赫赫雪雪花花。极限情况下，科赫雪花上的折线演变成为曲线极限情况下，科赫雪花上的折线演变成为
20、曲线。1科赫雪花周长科赫雪花周长 1科赫雪花面积科赫雪花面积 1 维数维数 与科赫曲线维数相等与科赫曲线维数相等谢尔宾斯基图形（谢尔宾斯基图形（1 1）1垫片垫片 取取一一个个等等边边三三角角形形，四四等等分分得得四四个个较较小小三三角角形形。舍舍去去中中间间小小三三角角形形，保保留留周周围围的的三三个个。此此后后将将这这三三个个较较小小三三角角形形按按上上述述分分割割与与舍舍去去法法则则操操作作下去，得到一种介于线段与面之间的几何图形。下去，得到一种介于线段与面之间的几何图形。1维数维数 设想从一个小三角形开始，将每边扩大设想从一个小三角形开始，将每边扩大 2 倍，倍，得与之相似的大三角形，
21、面积为小三角形得与之相似的大三角形，面积为小三角形4倍。倍。将中间一个小三角形舍去，将中间一个小三角形舍去，实际面积为小三角形实际面积为小三角形 3 倍。倍。维数计算维数计算 Df ，由由 L2，K3 谢尔宾斯基图形（谢尔宾斯基图形（2 2）1地毯地毯(1)取取正正方方形形将将其其 9 9 等等分分，得得 9 9 个个小小正正方方形形，舍舍去去中中央央的的小小正正方方形形，保保留留周周围围 8 8 个个小小正正方方形形。然然后后对对每每个个小小正正方方形形再再 9 9 等等分分，并并同同样样舍舍去去中中央央正正方方形形。按按此此规规则则不不断断细细分分与与舍舍去去，直直至至无无穷穷。谢谢尔尔宾
22、宾斯斯基基地地毯毯的的极极限限图图形形面面积积趋趋于于零零，小小正正方方形形个个数数与与其其边边的的线线段段数数目目趋趋于于无无穷穷多多，它它是是一一个个线线集集，图图形形具具有有严严格格的的自自相似性。相似性。1 维数维数 从一个小正方形出发，将每边扩大三倍，由于舍去中间的正方形，在 计算中，L3，K8，谢尔宾斯基图形（谢尔宾斯基图形（3 3）1地毯地毯(2)地毯地毯 2 的构成方法是取边长为的构成方法是取边长为 1 的正方形按的正方形按 p:q:p 的方法划分每边，的方法划分每边，并去掉中间并去掉中间 q 部分，留下四角。然后对四角小正方形进形类似的操作以部分，留下四角。然后对四角小正方形
23、进形类似的操作以至无限。它具有自相似性。至无限。它具有自相似性。1 维数维数右图是右图是 p=0.45,q=0.1 的地毯图。的地毯图。按按 Ds 维数计算公式，局部与整体相维数计算公式，局部与整体相似比似比2/9，N4，得：得：谢尔宾斯基图形（谢尔宾斯基图形（4 4）1海绵海绵 一个立方体的每边三等分，得一个立方体的每边三等分，得2727个小立方体。将体心和面心上七个小个小立方体。将体心和面心上七个小立方体舍去保留其余立方体舍去保留其余 20 20 个小立方体。再对每个小立方体进行同样操作，个小立方体。再对每个小立方体进行同样操作，得到更小的得到更小的 2020 2020400400个立方体
24、，如此操作进行下去直至无穷。其局个立方体，如此操作进行下去直至无穷。其局部与其整体具有严格自相似性，极限情况下它的体积趋于零，而表面积部与其整体具有严格自相似性，极限情况下它的体积趋于零，而表面积趋于无穷大。趋于无穷大。1 维数维数用用 3 维尺度测量时体积为零，用维尺度测量时体积为零，用 2 维尺维尺度测量时面积为无穷大，分维值介于度测量时面积为无穷大，分维值介于 2、3 之间。从一个小立方出发，每边扩之间。从一个小立方出发，每边扩大大 3 倍体积放大倍体积放大27倍，但舍去了倍，但舍去了7个体心个体心和面心立方体。和面心立方体。模拟分形物质模拟分形物质1模拟分形物质模拟分形物质 这是由物理
25、或化学家们构造出来的。构成方法：将一个半径为这是由物理或化学家们构造出来的。构成方法：将一个半径为 1 1 的原的原子放在原点作为种子，在球的四个方向上结合四个原子，五个原子组成子放在原点作为种子，在球的四个方向上结合四个原子，五个原子组成一个晶胞。再以这个晶胞为中心，在其四个原子的方向上结合四个晶胞，一个晶胞。再以这个晶胞为中心，在其四个原子的方向上结合四个晶胞，再在四个晶胞的方向上结合上由五个晶胞结合成的集团。这种模拟物质再在四个晶胞的方向上结合上由五个晶胞结合成的集团。这种模拟物质具有自相似性。具有自相似性。1 维数维数由图可见当线径放大由图可见当线径放大 L=3倍数时，其面积放大倍数时
26、，其面积放大 K=5 倍数倍数。分形的几何特征1自相似性自相似性 便是局部与整体的相似。便是局部与整体的相似。1自仿射性自仿射性 自仿射性是自相似性的一种拓展。如果，将自相似性自仿射性是自相似性的一种拓展。如果，将自相似性看成是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果的看成是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果的话，那么，自仿射性就是局部到整体在不同方向上的不话，那么，自仿射性就是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果。前者称为自相似变换，后者称为自等比例变换的结果。前者称为自相似变换，后者称为自仿射变换。仿射变换。1精细结构精细结构 任意小局部总是包含细致的结构。任意小局部总是包含细
27、致的结构。容量维数与信息维数容量维数与信息维数1容量维数容量维数1信息维数信息维数盒子计数法盒子计数法(box counting)计计算算相相似似比比复复杂杂图图形形时时，采采用用小小方方块块(或或圆圆片片)去去覆覆盖盖(或或填填充充)被被测测对对象象，统计覆盖所需的方块数来计算其维数。如此方法计算的维数称为统计覆盖所需的方块数来计算其维数。如此方法计算的维数称为容量维数容量维数。现用长度为 r 尺子去测长度为 L 的线段，L 与 r 之比为N。N 值的大小与 r 长短有关，r 越小N 越大：对于平面对于平面：对于立方体对于立方体：对于对于 Dc 维物体维物体：取对数得容量维数容量维数容量维数
28、容量维数 大自然中存在大量的在统计意义下的自相似体，一般并不知道自相似比。大自然中存在大量的在统计意义下的自相似体，一般并不知道自相似比。为了解决这类物体的分维计算，发展了计算容量维数方法。为了解决这类物体的分维计算，发展了计算容量维数方法。例子例子 应用于物质模型。设晶胞重复结合了P 次，物质的线径为 L=3p，包含原子数有:N=5p 个用线径为 r=1/3p-s 的小球覆盖：埃侬吸引子埃侬吸引子 用边长 1:1/2:1/4 三种方块覆盖。边长 1 方块覆盖 35 块，边长 1/2 方块覆盖 95 块，边长 1/4 方块覆盖 220 块,可以用更短边长覆盖。实际计算得：信息维数信息维数 通通
29、常常，测测量量对对象象具具有有不不均均匀匀性性，导导致致不不同同计计数数盒盒子子有有不不同同填填充充程程度度，但但盒子计数法不能反映客体的不均匀分布。改进方法：盒子计数法不能反映客体的不均匀分布。改进方法：(1)对每个覆盖盒子按填充程度（所含点多少）进行编号;(2)统计出分形结构落入第 i 只盒子的几率Pi(r)：得信息维数信息维数 当各个盒子有同样填充程度：Pi(r)=1/N(r)信息维数等于容量维数：Di=Dc，一般情况下:自然界分形自然界分形 大大自自然然中中普普遍遍存存在在着着分分形形体体。山山脉脉，树树林林，闪闪电电，海海岸岸线线 ，都都会会包含各种形式自相似体。包含各种形式自相似体
30、。海海岸岸线线 为什么是分形体？首先具有自相似性。如果以不同比例尺去测量，所得到的长度是不同的。我国海岸线全长一万八千余公里，是以1公里标尺测量的。1公里为单位：N=1.763x104 段，1厘米为单位：N=3.812x104 段，长度为381.2万公里，是地理书212倍。自然界的分形自然界的分形海岸线维数海岸线维数1用不同用不同 r 方格去覆盖，统计方格去覆盖，统计出覆盖海岸线的格子数；出覆盖海岸线的格子数；1在地图上以不同在地图上以不同 r 的标尺去的标尺去测量海岸线，得一组与标尺测量海岸线，得一组与标尺对应的段数。对应的段数。两两种种方方法法都都用用容容量量维维数数将将测测量量结结果果作
31、作 loglogN Nloglogr r 双双对对数数图图，如如得得负斜率直线，其绝对值就是维数。负斜率直线，其绝对值就是维数。我国海岸线维数我国海岸线维数 用不同尺寸 r 测量，得不同的段数 N，作 logNlogr 斜线。得斜线其方程为：系数1.267 直线斜率，即海岸线分维值为计算机产生分形计算机产生分形1分形树分形树1JuliaJulia集合集合1MandebrotMandebrot集合集合树树1设图形设图形T0为一条单位长直线段，为一条单位长直线段，1在在T0第一个三等分点上各向两边第一个三等分点上各向两边450角的方向延伸出两条长角的方向延伸出两条长1/2L0的线段，的线段，1在中
32、点处向左在中点处向左300以以1/3L0延伸出长的线段，延伸出长的线段，1再在第二个三等分点处向右再在第二个三等分点处向右300方以方以1/3L0延伸出的线段。得延伸出的线段。得到图形到图形T1,1将将Tn的每的每5个分支做同样的变换，得到个分支做同样的变换，得到Tn+1。JuliaJulia集集1在复平面上任意取一个点，其值是复数在复平面上任意取一个点，其值是复数Z Z。将其代入下面方将其代入下面方程中进行反复迭代运算：程中进行反复迭代运算：Z Zn+1n+1=Z=Zn n2 2+C+C。就是说，用旧的就是说，用旧的Z Z自乘再加上自乘再加上C C后的结果作为新的后的结果作为新的Z Z。再把
33、新的再把新的Z Z作为旧的作为旧的Z Z，重复运算。重复运算。不停地做，最后得到的不停地做，最后得到的Z Z值有值有3 3种可能性：种可能性：1 1 1 1、Z Z Z Z值没有界限增加（趋向无穷）值没有界限增加（趋向无穷）值没有界限增加（趋向无穷）值没有界限增加（趋向无穷）2 2 2 2、Z Z Z Z值衰减（趋向于零）值衰减（趋向于零）值衰减（趋向于零）值衰减（趋向于零）3 3 3 3、Z Z Z Z值是变化的，即非值是变化的，即非值是变化的，即非值是变化的，即非1 1 1 1或非或非或非或非2 2 2 2 趋向无穷和趋向于零的点叫趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子定常吸引子，很多点在定常
34、吸，很多点在定常吸引子处结束，被定常吸引子所吸引。引子处结束，被定常吸引子所吸引。非趋向无穷和趋向于零的点是非趋向无穷和趋向于零的点是“JuliaJulia集合集合”部分，也叫部分，也叫混混沌吸引子沌吸引子。JuliaJulia集集1迭迭代代公公式式 中中，给给定定复复数数C C，如如果果n n趋趋向向于无穷时于无穷时Zn有界，则有界，则Z0属于属于JuliaJulia集集。MandelbrotMandelbrot集集1JuliaJulia集和集和MandelbrotMandelbrot集可以说是一对孪生兄弟。集可以说是一对孪生兄弟。1给给定定Z0为为一一个个初初始始的的复复数数，C为为一一个
35、个复复常常数数。对对Z进进行这样的迭代：行这样的迭代：如果如果n趋向于无穷时趋向于无穷时Zn有界，则有界，则C属于属于Mandelbrot集集 产生分形的物理模型产生分形的物理模型1扩散置限聚集扩散置限聚集(diffusion-limited aggregation-DLA)模型模型1元胞自动机元胞自动机 (1)(1)扩散置限聚集模型扩散置限聚集模型 DLA是针对生长过程出现无规分形提出的。该模型在计算机上模拟完成。生成过程这样：在一个二维点阵中心放上一棵种子，在点阵边缘引进一棵粒子让它在点阵上随机游荡。当粒子游动到点阵中心附近时，与位于中心点种子相结合(A粒子)后附着不动；当游动到点阵边缘就
36、会消失(B粒子)。点阵上一旦失去游动粒 子，从点阵边缘引进新的游动粒子。19811981年，年，Witten Witten 和和 Sander Sander 提出扩散置限聚集提出扩散置限聚集(diffusion-limited diffusion-limited aggregation-DLA)aggregation-DLA)模型，模型，19831983年研究了模型与扩散方程关系，完善了这个年研究了模型与扩散方程关系，完善了这个模型。模型。DLA模型可以说明许多物质生长现象。例如：铁丝表面镀锌，绝缘气体 (SF6)中在玻璃板面上放电图象等。铁丝表面镀锌铁丝表面镀锌SF6气体中玻璃气体中玻璃板上
37、放电板上放电中心种子生长中心种子生长的细菌群落的细菌群落用用DLADLA模型模拟植物的生长模型模拟植物的生长 如果初始不是一个原点，而是一条直线，且随机粒子从上面如果初始不是一个原点，而是一条直线，且随机粒子从上面落到平面上，它将会产生一个什么样的图形呢？落到平面上，它将会产生一个什么样的图形呢？不同初始条件的不同初始条件的DLADLA形态形态（2 2）元胞自动机）元胞自动机1逻辑运算逻辑运算逻辑异或逻辑异或 本本 行：行：0 0 0 1 1 0 1 10 0 0 1 1 0 1 1下一行：下一行：0 1 1 0 0 1 1 0 一维元胞自动机一维元胞自动机1元胞按等间隔方式分布在一条向两侧无
38、限延伸的直线中，称为一维元元胞按等间隔方式分布在一条向两侧无限延伸的直线中，称为一维元胞自动机。胞自动机。本本 行：行：001 100 001 100 其他其他下一行：下一行：1 1 0 1 1 0二维元胞自动机二维元胞自动机在在一个二维网格中，如果抛下一粒一个二维网格中，如果抛下一粒种子（元胞着色），然后考察一下种子（元胞着色），然后考察一下种子身边的格子中的元胞状态会发种子身边的格子中的元胞状态会发生什么事情。给一个规则，即每一生什么事情。给一个规则，即每一个格子的状态，由其周围的八个格个格子的状态，由其周围的八个格子的状态（子的状态（0 0或或1 1）来决定，如果它）来决定，如果它周围八
39、个格子中的状态值相加为周围八个格子中的状态值相加为奇奇数数时，则此格子下一个状态为时，则此格子下一个状态为1 1；如；如果它周围八个格子中的状态值相加果它周围八个格子中的状态值相加为为偶数偶数时，则此格子下一个状态为时，则此格子下一个状态为0 0。就这样一步一步演化下去，会看到就这样一步一步演化下去，会看到图案。图案。分形是一种方法论分形是一种方法论 沃尔夫奖（沃尔夫奖（Wolf PrizeWolf Prize）在颁发给分形理论创始人曼德勃罗时的评在颁发给分形理论创始人曼德勃罗时的评语所说的，语所说的，“分形几何改变了我们对世界的看法分形几何改变了我们对世界的看法”。分形理论至少会在三个方面改
40、变我们对世界的认识。分形理论至少会在三个方面改变我们对世界的认识。1首先，自然界中许多不规则的形态其背后都有规则，首先，自然界中许多不规则的形态其背后都有规则，都可以用分形的方都可以用分形的方法建立模型并在计算机上构造出以假乱真的景象来，显然利用这套方法法建立模型并在计算机上构造出以假乱真的景象来，显然利用这套方法我们可以把世界压缩到几个分形规则中，便于携带和传播。我们可以把世界压缩到几个分形规则中，便于携带和传播。1其次，许多以前被认为是随机的现象，从分形理论的角度看并不是随机其次，许多以前被认为是随机的现象，从分形理论的角度看并不是随机的，的，比如布朗运动、股票价格的波动、传染病的流行传播
41、等，这为我们比如布朗运动、股票价格的波动、传染病的流行传播等，这为我们控制这些貌似随机的现象奠定了理论基础。控制这些貌似随机的现象奠定了理论基础。1最后，分形理论中的分数维概念，为我们认识世界中的复杂形态提供了最后，分形理论中的分数维概念，为我们认识世界中的复杂形态提供了一个新的尺度。一个新的尺度。复杂性科学是现代科学的前沿，在这门科学的研究过程复杂性科学是现代科学的前沿，在这门科学的研究过程中，发现了许多符合分形规则的复杂形态，而分数维是测量这些形态复中，发现了许多符合分形规则的复杂形态，而分数维是测量这些形态复杂程度的一种度量。也就是说，我们找到了对复杂性做定量分析的工具。杂程度的一种度量。也就是说，我们找到了对复杂性做定量分析的工具。谢谢！谢谢！