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1、第八章第八章线性二次型最优控制线性二次型最优控制 为为已已给给的某的某类类函数。如函数。如果果对对于于这类这类函数中的每一个函数，有某数函数中的每一个函数，有某数8.1 8.1 变分法简介变分法简介 最优控制理论是变分法最优控制理论是变分法,也是泛函极也是泛函极值理论的一个分支。值理论的一个分支。定义定义8.1.18.1.1 设设称称为为泛函泛函记为记为与之与之对应对应，则则称称为这类为这类函数的泛函，函数的泛函，。函数。函数类类的定的定义义域。域。上的具有上的具有连连续导续导数的函数的全体，数的函数的全体，则则例例8.1.1 设设为为定定义义在在为为一个泛函。一个泛函。泛函的一些基本概念泛函
2、的一些基本概念1.泛函泛函 的的变变量量 的的变变分：分：泛函泛函 的的变变量量 的增量称的增量称为变为变分，分，记为记为：，指两个函数，指两个函数间间的差，即：的差，即：2.泛函泛函 的的连续连续性：性：对对于任意于任意给给定定的正数的正数 ，如果存在正，如果存在正数数 ，当，当 时有时有则称泛函则称泛函 为在为在 处具有处具有 阶阶接近度的连续泛函。接近度的连续泛函。3.线性泛函：设线性泛函：设 为一连续泛函。如为一连续泛函。如果对于任意常数果对于任意常数 之定义域中的任之定义域中的任何变量何变量 ，有，有则称则称 为线性泛函，常记为为线性泛函，常记为4.泛函泛函 的增量：的增量：由变量由
3、变量 的变分导致的泛函增的变分导致的泛函增 量，记为量，记为 ，即，即 5.泛函泛函 的的变分变分 泛函泛函 的变分的变分记为记为：，其定，其定 义为义为 相对于相对于 为线性泛函为线性泛函 为为 的线性主部，即的线性主部，即其中，其中，当当 时，时，8.1.2 8.1.2 泛函的极值泛函的极值 上达到其定义域上的一个上达到其定义域上的一个绝对极大值。如果上式中的不等号反向，绝对极大值。如果上式中的不等号反向，则称泛函则称泛函接近的接近的变变量量在在的极大值。如果上述关系对于泛函的极大值。如果上述关系对于泛函 ，都有，都有 则则称泛函称泛函在在上达到一个相上达到一个相对对的定的定义义域中所有的
4、域中所有的均成立，均成立，则则称泛函称泛函在在上达到极小上达到极小值值。定义定义8.1.28.1.2 给定泛函给定泛函及其定及其定义义域中域中。如果。如果对对于任何一个与于任何一个与一变量一变量定理定理8.1.18.1.1 如果具有变分的泛函如果具有变分的泛函在在上达到极上达到极值值，则则沿着沿着的的变变分分为为零。零。引理引理8.1.18.1.1 设设是是上的上的 维连续维连续向量函数。如果向量函数。如果对对于任意的、在于任意的、在上上连续连续，且，且满满足足 的的维维向量函数向量函数有有 则则在在上恒上恒为为零。零。处处取得极取得极值值的必要条件是下述的必要条件是下述Euler方程方程 和
5、和边边界条件界条件 定理定理8.1.28.1.2 泛函泛函在在 对对于于成立。成立。的无条件极的无条件极值问题值问题，即在，即在满满足足且极小化泛函且极小化泛函定理定理8.1.38.1.3 泛函泛函在在约约束条件束条件（其中（其中为为一个关于一个关于和和连续连续可微的可微的维维向量向量 函数）下的条件、极函数）下的条件、极值问题值问题等价等价于下述泛函于下述泛函 的的上泛函上泛函的的Euler方程成立。方程成立。问题问题OC 已知一个已知一个动态动态系系统统：其中，其中，为为状状态态向量，向量，为为控制向控制向量，量，为为一个关于所有一个关于所有变变量量连续连续可微的向量可微的向量函数；函数；
6、自由。目的是自由。目的是要要寻寻找系找系统统的一个控制的一个控制 ，使下述泛函，使下述泛函性能指性能指标标：达极小。达极小。8.1.3 8.1.3 最优控制问题最优控制问题 为为上上 述最述最优优控制的解，控制的解，定理定理8.1.48.1.4 （基本定理）（基本定理）设设为为系系统统在在驱动驱动下的运下的运动动，则则存在一个存在一个对应对应的的维维向量函数向量函数，它，它们满们满足下述正足下述正则则方程方程 和和边边界条件界条件其中其中 称称为为Hamilton函数。函数。状状态态方程方程 及横截条件及横截条件 8.2 8.2 有限时间状态调节器问题有限时间状态调节器问题8.2.1 8.2.
7、1 问题的描述问题的描述问题问题8.2.1 有限有限时间时间的的线线性二次型最性二次型最优优状状态态调节问题调节问题 在在满满足受控足受控对对象状象状态态方程：方程：的的约约束条件下，在容束条件下，在容许许控制的范控制的范围围内求取内求取最最优优控制控制，使得在，使得在该该控制律的作用下控制律的作用下上述系统的状态在限定时间上述系统的状态在限定时间 内由内由给给定的定的出出发转发转移到某个移到某个的性能指的性能指标标且同且同时时使得式使得式 取得极小取得极小值值。8.2.2 8.2.2 有限时间最优状态调节器有限时间最优状态调节器定理定理8.2.18.2.1 线性系统线性系统在性能指在性能指标
8、标下的二次型最下的二次型最优优状状态调节态调节器器为为 其中，其中，为为一一阶阶矩矩阵阵，且，且满满足足下述矩阵微分方程下述矩阵微分方程及及边边界条件界条件 且最且最优优性能性能值为值为 说明说明8.2.1 8.2.1 方程方程 称为称为RiccatiRiccati矩阵微分方程，可以证明矩阵微分方程，可以证明 其解其解 是一个对称阵。是一个对称阵。说明说明8.2.28.2.2 方程方程Riccati矩阵微分方程是矩阵微分方程是 非线性的，通常不能直接求得解析解，非线性的，通常不能直接求得解析解，可用数字计算机离线计算，并将其解可用数字计算机离线计算，并将其解 存储起来备用。存储起来备用。说明说
9、明8.2.3 8.2.3 最优控制最优控制 或或 作用下的最作用下的最 优轨线有系统优轨线有系统 决定。决定。说明说明8.2.4 8.2.4 在上述最优控制问题中，我们并在上述最优控制问题中，我们并 没有要求系统是可稳的。没有要求系统是可稳的。说明说明8.2.5 8.2.5 最优控制系统的结构如下图所最优控制系统的结构如下图所 示。示。由此可得由此可得式中式中闭环闭环系系统统的状的状态态方程方程为为它是一个一它是一个一阶时变阶时变系系统统，其解就是最，其解就是最优轨线优轨线例例8.2.2 给给定系定系统统及性能指及性能指标标求最求最优优控制控制解解 在本系在本系统统中，易知中，易知是是对对称称
10、阵阵，设为设为最最优优控制控制为为其中，其中，和和应应是下述是下述Riccati方程的解。方程的解。其其边边界条件界条件为为，即，即 将上述矩将上述矩阵阵微分方程写微分方程写为为分量形式，分量形式，得到三个一得到三个一阶阶非非线线性性时变时变微分方程及其微分方程及其终终端条件端条件只有从以上方程解出只有从以上方程解出和和时时，才能，才能获获得最得最优优控制。控制。对对于于这组这组方方程，可以采用程，可以采用说说明明8.2.2中的方法求解，中的方法求解，此此处处从略。从略。8.3 8.3 无限长时间状态调节器问题无限长时间状态调节器问题8.3.1 8.3.1 问题的描述与调节器形式问题的描述与调
11、节器形式问题问题8.3.18.3.1 无限长时间线性二次型最无限长时间线性二次型最优状态调节问题优状态调节问题 给定系统给定系统达到极小。达到极小。及二次型性能指及二次型性能指标标 其中其中，求取系，求取系统统的最的最优优控制控制，使由上式表出的性能指，使由上式表出的性能指标标引理引理8.3.18.3.1 设设均均为为常数矩常数矩阵阵，且，且能控，能控，能能观观，则则此此时时Riccati矩矩阵阵微分方程的微分方程的满满足足边边界条件界条件的解的解在在时时的极限存在，并且是唯一的常数矩的极限存在，并且是唯一的常数矩阵阵，即即 此外，此外，该该极限极限为为Riccati代数方程代数方程 的唯一对
12、称正定解。的唯一对称正定解。定理定理8.3.18.3.1 设设能控，能控，能能观观，则则系系统统 在指在指标标下的无限下的无限长时间线长时间线性二次型最性二次型最优优状状态调节态调节器器为为它所它所对应对应的最的最优轨优轨迹是下式的解迹是下式的解即即 式中，式中，为为Riccati代数矩代数矩阵阵方程的唯一方程的唯一对对称称正定解。正定解。性能指性能指标标的最小的最小值为值为矩矩阵阵8.3.2 8.3.2 闭环稳定性闭环稳定性定理定理8.3.28.3.2 设定理设定理8.3.1的条件成立，则上述的条件成立，则上述无限时间二次型最优状态调节器控制系统无限时间二次型最优状态调节器控制系统的闭环系统
13、的闭环系统是是渐渐近近稳稳定的，即定的，即闭环闭环系系统统矩矩阵阵具有具有负实负实部的特征部的特征值值。说明说明8.3.1 8.3.1 无限时间调节器控制系统的闭无限时间调节器控制系统的闭 环系统环系统 的渐近稳的渐近稳定性具有明确的物理意义。其稳定性是极小定性具有明确的物理意义。其稳定性是极小化性能指标化性能指标 的必然的必然结果。结果。例例8.3.1 给给定受控定受控对对象象为为性能指性能指标为标为求使取极小的最求使取极小的最优优控制控制 。解解 从指从指标标的表达式可知的表达式可知 为为下述下述Riccati方程的正定解中方程的正定解中 的元的元为为使使正定，假定正定，假定首先容易首先容
14、易验证验证受控受控对对象是能控的，象是能控的，是正定的。因而最是正定的。因而最优优控制控制为为式中式中和上式上式给给出下列三个方程出下列三个方程解得解得由上式，由上式，读读者可以自己推算，在保者可以自己推算，在保证证为为正定的条件下，最后可解得正定的条件下，最后可解得 从而最从而最优优控制控制为为该该控制律作用下的控制律作用下的闭环闭环系系统统的状的状态态方程方程为为在以在以为输为输出，即取出，即取时时，系，系统统的的传递传递函数矩函数矩阵为阵为故系故系统统的极点的极点为为8.4 8.4 输出调节器问题输出调节器问题8.4.1 8.4.1 线性时变系统的情形线性时变系统的情形问题问题8.4.1
15、8.4.1 有限时间线性二次型最优输出有限时间线性二次型最优输出调节问题调节问题 已知线性时变系统已知线性时变系统和性能指和性能指标标 正正半定矩半定矩阵阵。要。要寻寻求系求系统统的定的定义义在有限在有限时时间间上的控制上的控制，使得在，使得在该该控制的控制的作用下，系统的输出使指标作用下，系统的输出使指标 达到极小。达到极小。其中，其中，为为正定正定对对称矩称矩阵阵；和和在性能指在性能指标标下的下的线线性二次型最性二次型最优输优输出出调节调节器器为为及其初始条件及其初始条件 定理定理8.4.18.4.1 上述线性时变系统上述线性时变系统其中其中满满足下述足下述Riccati方程方程8.4.2
16、 8.4.2 线性定常系统的情形线性定常系统的情形问题问题8.4.28.4.2 无限长时间线性二次型最优输无限长时间线性二次型最优输出调节问题出调节问题 给定完全能控和完全能观系统给定完全能控和完全能观系统 是正定（或是正定（或 半正定）对称矩阵。半正定）对称矩阵。及性能指及性能指标标 为为正定正定对对称矩称矩阵阵；其中，其中，要寻求该系统的定义在要寻求该系统的定义在无限长时间无限长时间 上的一个最上的一个最优优控制控制 使得在使得在该该控制的控制的作用下，系作用下，系统统的的输输出极小化上述性能指出极小化上述性能指标标 。在指在指标标 下的上述无限下的上述无限长时间线长时间线性二次型最性二次
17、型最优输优输出出调节问题调节问题的解的解为为 定理定理8.4.28.4.2 设设能控，能控，能能观观，能能观观，则则系系统统 是下述是下述Riccati代数矩代数矩阵阵方程方程的唯一的唯一对对称正定解。另外称正定解。另外该该最最优优控制作控制作用下的用下的闭环闭环系系统统是是渐渐近近稳稳定的。定的。其中，其中，达到极小。达到极小。解解：显显然所然所给给系系统统既是能控的，也是能既是能控的，也是能观观的，的，且且例例8.4.1 已知系已知系统统其中，其中，性能指性能指标为标为求取系求取系统统的最的最优优控制控制使指使指标标故故其中，应满应满足足Riccati方程方程，使指，使指标标 ）从而从而其
18、解其解为为（为为保保证证，舍去，舍去例例8.4.2 设设受控系受控系统为统为性能指性能指标为标为求取系求取系统统的最的最优优控制控制达到极小。达到极小。解解:首先容易首先容易验证验证此系此系统统是能是能观观的和能控的；的和能控的；而而 求解求解该问题该问题的的Riccati方程可得下述三个方程可得下述三个代数方程代数方程为为保保证证正定，必正定，必须须有有取取的正定解的正定解为为从而所求最从而所求最优优控制控制为为 的增加，系的增加，系统统的极点的极点趋趋向于向于实轴实轴，使振，使振荡荡减小，响减小，响应变应变慢，慢，对对图图8.3.1是是该该系系统统的以的以为为参量的根参量的根轨轨迹。当迹。
19、当时时，系，系统统极点极点为为这这相当于性能指相当于性能指标对标对未提出要求。随着未提出要求。随着（输输出出 的的导导数）数）权权越大，系越大，系统统的振的振荡荡就越小。就越小。从本例可以看到，原受控从本例可以看到，原受控对对象是不象是不稳稳定的，定的，但求得的但求得的闭环闭环最最优优系系统统却是却是渐渐近近稳稳定的。定的。实实际际上，上，为为保保证闭环证闭环系系统统的的稳稳定性，定性，是正半定是正半定的即可。的即可。8.5 8.5 输出跟踪问题输出跟踪问题8.5.1 8.5.1 线性时变系统的情形线性时变系统的情形问题问题8.5.18.5.1 有限时间线性二次型最优输出调有限时间线性二次型最
20、优输出调节问题节问题给定能观的线性时变系统给定能观的线性时变系统及性能指标及性能指标 定理定理8.5.18.5.1 系统系统下的下的线线性二次型最性二次型最优输优输出跟踪出跟踪问题问题的解由式的解由式。及性能指及性能指标标 给给出，其中出，其中及其及其边边界条件界条件由微分方程由微分方程决定。决定。8.5.2 8.5.2 线性定常系统的情形线性定常系统的情形 对于线性定常系统，当要求输出参考对于线性定常系统，当要求输出参考信号信号 Z（t）=Z为常向量，终端时间极大为常向量，终端时间极大但不等于无穷大时，可以导出一个很有但不等于无穷大时，可以导出一个很有实用意义的近似最优控制规律。虽然这实用意
21、义的近似最优控制规律。虽然这个近似控制规律对于终端时间等于无穷个近似控制规律对于终端时间等于无穷大的情况在理论上并不成立，但对一般大的情况在理论上并不成立，但对一般工程控制系统是足够精确的。工程控制系统是足够精确的。能控和能能控和能观线观线性定常系性定常系统统：要求系统的输出跟踪一常数向量要求系统的输出跟踪一常数向量 。考虑。考虑 足够大，此时足够大，此时 趋于常数正定矩阵趋于常数正定矩阵 ，它是下列它是下列Riccati矩阵代数方程的正定解矩阵代数方程的正定解而此时：而此时：例例 8.5.1 给给定受控定受控对对象象为为性能指性能指标为标为求使性能指求使性能指标标达到极小的次最达到极小的次最优优控制律控制律 。解解 在本例中，我在本例中，我们们有有故最故最优优控制控制为为 由式由式故有故有解之得解之得根据式根据式 有有所以所求次最所以所求次最优优控制控制为为