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1、 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.第二章 非线性方程非线性方程(组组)求根方法求根方法 若 n=1,称为非线性方程求根非线性方程求根问题；n1，称为非线性方程组求解问题。理论问题：理论问题：（1）解的存在性存在性。即有解还是无解，有多少解。（2）解的性态性态。即孤立解的区域，解的重数，光滑性。关于解的存在性及其性态，不是数值分析所讨论的问题。我们总认为：我们的任务是用数值方法求满足一定精度要求的近似解！通常求其精确解是困难的12/31/20221 Numerical Analysis J.
2、G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.二分法内容内容:一般迭代法 牛顿迭代法 迭代法的加速 非线性方程组的牛顿迭代法*12/31/20222 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.1、二分法二分法设 在区间 上连续且有 ，则 在区间 内有解，不妨设解唯一不妨设解唯一！算法构造原理算法构造原理:有根区间12/31/20223 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North Chin
3、a Elec.P.U.x1aabx2b什么时候停止？或或x*算法停止的条件算法停止的条件x12/31/20224 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.综合上述，得到如下算法，综合上述，得到如下算法，(1)(2)(3)否则否则(4)否则否则，转(2)；例例1可得共计算21次！注：注：其中 为精度控制参数!12/31/20225 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.二分法只能求有根区间中的奇数重的
4、实根;关于二分法的讨论关于二分法的讨论(1)二分法线性收敛;(2)二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点!(3)故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值迭代初值!返回主目录12/31/20226 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.2、一般迭代法、一般迭代法(1)(2)(3)(一一)构造方法构造方法(1)12/31/20227 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.例例212/31/20228
5、Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.1.50001.5000-0.8750 -0.8750 6.7324 6.7324-69.7200-69.72001.0275e+81.0275e+8不收敛不收敛 1.50001.5000 1.2870 1.2870 1.4025 1.4025 1.3455 1.3455 1.3752 1.3752 1.3601 1.3601 1.3678 1.3678 1.3639 1.3639 1.3659 1.3659 1.3649 1.3649 1.3654 1.3
6、654 1.3651 1.3651 1.3653 1.3653 1.3652 1.3652 1.36521.3652 1.5000 1.5000 0.8165 0.8165 2.9969 2.9969 0-2.9412i 0-2.9412i不收敛不收敛 1.5000 1.34841.3484 1.3674 1.3674 1.3650 1.3650 1.3653 1.3653 1.36521.3652 1.3652 1.3652方法1方法2方法3方法4*收敛与否，以及收敛快慢，取决于迭代函数迭代函数15次6次*精度控制的表达式？12/31/20229 Numerical Analysis J.G
7、.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.(二二)大范围收敛定理大范围收敛定理(1)(2)则(1)(2)(3)下面看证明过程，即 是自映射；12/31/202210 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.(1)由条件(1)可得解的存在性；由条件(2)可证解的唯一性！(2)由条件(1)可知(3)得证；进而可证!12/31/202211 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North Ch
8、ina Elec.P.U.(三三)局部收敛定理局部收敛定理设在包含x*某个开区间内连续，若由迭代(1)产生的序列 ,使得则证明证明:略略!注：注：当定理条件成立时，只要x0充分充分接近x*，就能保证迭代序列xn收敛于x*！且有与前一定理完全相同的不等式成立！12/31/202212 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.分析例分析例2 2四种迭代格式的收敛性，四种迭代格式的收敛性，一般迭代法只有理论上的意义，因为构造保证收敛保证收敛的迭代函数比较困难。注注:方法1的收敛性分析方法2的收敛性分析方
9、法3的收敛性分析方法4的收敛性分析四种迭代格式的计算结果见本课件P9!取定初值x0=1.5，=1e-4,12/31/202213 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.（四）四）收敛阶（速度）的讨论收敛阶（速度）的讨论定义定义:p=1 线性收敛；p=2 平方收敛；2p1 超线性收敛；注：注：1、p=1时，c0时，收敛于 ；2）当x00时，收敛于 ；（*）1)得证!2）事实上事实上，对（*）式进行配方可得下面证明1），12/31/202226 Numerical Analysis J.G.Liu
10、School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.（2）对于给定的正数C，应用牛顿法求解方程 。可得可以证明上述迭代算法对任意初值 都收敛于 ！事实上事实上，从而#12/31/202227 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.牛顿迭代法的几点说明牛顿迭代法的几点说明牛顿迭代法算法简单，且局部收敛，但初值x0的选择困难！(1)(2)牛顿迭代每步都要计算导数 ，增加了计算量！(3)定理表明牛顿迭代求单根有效且平方收敛（能求重根吗？）。(一)一般来说采用试探法，可以
11、结合二分法二分法或通过做出函数图形函数图形来帮助选择初值！关于初值(二)导数的计算(1)利用牛顿迭代法先计算几步，比如计算到了第k步，得到近似值xk，接下来用 来代替导数，该算法通常是线性收敛线性收敛的！12/31/202228 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.(2)一个实用的方法是用差分代替微分，即此迭代法称为割线法割线法！它是超线性收敛超线性收敛的！(三)关于重根的问题12/31/202229 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phy
12、s.North China Elec.P.U.可见，当x*为重根时，牛顿迭代线性收敛，且随着m的增加，收敛性变差！计算重根的改进算法计算重根的改进算法(1)至少平方收敛。(证明略!)设重数m已知，应用牛顿迭代法得12/31/202230 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.返回主目录(2)重数不知道时，一个实用的方法是，令则直接对 应用牛顿迭代法求解:至少平方收敛！12/31/202231 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.Nort
13、h China Elec.P.U.解非线性方程组的牛顿迭代法解非线性方程组的牛顿迭代法12/31/202232 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.Jacobi矩阵12/31/202233 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.注意事项：注意事项：为了解决上述问题，提出拟牛顿法。12/31/202234 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phy
14、s.North China Elec.P.U.12/31/202235 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.12/31/202236 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.BroydenBroyden秩秩1 1方法方法12/31/202237 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.12/31/20
15、2238 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.综合上述，得到综合上述，得到Broyden秩秩1方法：方法：12/31/202239 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.12/31/202240 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.返回主目录12/31/202241 Numerical Anal
16、ysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.1、数值分析.颜庆津.修订版.北京航空航天大学出版社，20002、李庆扬.非线性方程组的数值解法.科学出版社,1987参考书目参考书目：12/31/202242 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.例例2返回不满足局部收敛性定理!故可能发散。可以验证，12/31/202243 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.例例2返回 在1,1.5内是自映射，并且满足大范围收敛定理！收敛。可以验证，12/31/202244 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.例例2返回因此方法3不满足局部收敛性定理！可能发散。可以验证，12/31/202245 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.例例2返回即满足大范围收敛性定理！收敛。可以验证，12/31/202246