概率的定义及其确定方法.ppt

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1、事件的事件的概率概率就是事件发生的可能性大小的一个数值度量就是事件发生的可能性大小的一个数值度量.更重要的是对事件出现的可能性的大小有一更重要的是对事件出现的可能性的大小有一个定量的描述个定量的描述.2 概率的定概率的定义义及其确定方法及其确定方法 研究随机现象不仅关心试验中会出现哪些事件，或者某事研究随机现象不仅关心试验中会出现哪些事件，或者某事件发生的可能性大不大，件发生的可能性大不大，准确了准确了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有重要意义解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有重要意义.即只有一个定性的描述是不够的，即只有一个定性的描述是不够的，这就需要有一个度量事件发

2、生可能性大小的数量指这就需要有一个度量事件发生可能性大小的数量指标，标，了解来商场购物的顾客人数的各种可能性了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定戒线可能性大小，合理确定堤坝高度堤坝高度.例如，了解发生意外人身事故的可能性大小例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额确定保险金额.特殊特殊1933年年,kolmogorov 柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫 随机试验所有可能结果随机试验所有可能结果为为有限个等可能有限个等可能的情形；的情形；将等可能思想发展到含将等可能思想发展到含无穷多

3、个元素的样本空间无穷多个元素的样本空间 输光、得输光、得分问题分问题 克服等可能克服等可能观点不易解观点不易解决的问题决的问题 公理化定义公理化定义古典、几何定义古典、几何定义 频率定义频率定义 但在此基础但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦上建立起了概率论的宏伟大厦.它们它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式在计算概率时很有用，尤其是加法公式.若对若对于于 中的每一个事件中的每一个事件A F F，定义在，定义在F F上的一个实值函数上的一个实值函数 P(A)满足：满足：(2)P()=1，(3)若事件若事件A1,A2,An,两两互不相容，则两两互不相容，则有有(1)若事件若事件A F，则，则

4、P(A)0，设设 是一个样本空间是一个样本空间,F F 为的某些子集组成的一个事件域为的某些子集组成的一个事件域,概率的公理化定义概率的公理化定义 定义定义2 称称P(A)为为事件事件A的概率的概率，在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，非负性非负性 正则性正则性 可列可列可加性可加性 由概率的三条公理，我们可推导出概率的若干重要性质由概率的三条公理，我们可推导出概率的若干重要性质.数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的

5、前提，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.称三元素称三元素(,F,F,P )为为概率空间概率空间.则从甲城到则从甲城到乙城去旅游就有乙城去旅游就有 5+3+2=10 个班次可供选择个班次可供选择.无论通无论通过哪种方法都可以完成这件事，过哪种方法都可以完成这件事，1.2.2 排列与组合公式排列与组合公式 这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的两个这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的两个基本计基本计数原理数原理.(1)加法原理加法原理 设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第

6、一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,；第第m种方式有种方式有nm种方法，种方法，则完成这件事总共有则完成这件事总共有 n1+n2+nm 种方法种方法.例如例如，甲城到乙城有甲城到乙城有3条旅游路线，条旅游路线，乙城到丙城有乙城到丙城有2条旅游路线，条旅游路线，则从甲城经乙城到丙城就有则从甲城经乙城到丙城就有 3 2=6 条旅游路线条旅游路线.则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.(2)乘法原理乘法原理 设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法，种方法，；第

7、第m个步骤有个步骤有nm种方法，种方法，必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完才算完成这件事，成这件事，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导常用它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导常用排列组合公式的基础排列组合公式的基础.例如，例如，甲城到乙城去旅游有甲城到乙城去旅游有3类交通工具：汽车、火车和飞机，类交通工具：汽车、火车和飞机，而汽车有而汽车有5个班次，个班次，火车有火车有5个班次，个班次，飞机有飞机有2个班次，个班次，此种重复此种重复排列的总数为排列的总数为(1)(1)排排列列 从从n个不同元素取个不同元素取 r 个个(r n)排成一列排成一列(考虑先后顺序考虑先后顺

8、序)，称其为一个称其为一个排列排列.排列、组合的定义及其计算公式排列、组合的定义及其计算公式(2)(2)重复重复排排列列 从从n个不同元素中每次取个不同元素中每次取1个，放回后再取下一个，个，放回后再取下一个，r=n时称时称全排列全排列.由乘法原理，此种排列的总数为由乘法原理，此种排列的总数为 显然显然 如此连续取如此连续取r 次次(r可以大于可以大于n)所得的排列称为所得的排列称为重复排列重复排列，此种重复此种重复组合的总数为组合的总数为 由乘法原理，由乘法原理，组合总数为组合总数为此种组合的总数记为此种组合的总数记为 或或 ，(3)(3)组合组合从从n个不同元素任取个不同元素任取 k 个个

9、(k n)并成一组并成一组(不考虑先后顺序不考虑先后顺序)，称其为一个称其为一个组合组合.(2)(2)重复重复组合组合 从从n个不同元素中每次取个不同元素中每次取1个，放回后再取下一个，个，放回后再取下一个，如此连续取如此连续取r 次次(r可以大于可以大于n)所得的组合称为所得的组合称为重复组合重复组合，使用排列组合的概念与公式时，应注意其对有序与无序、使用排列组合的概念与公式时，应注意其对有序与无序、重复与不重复的要求重复与不重复的要求.则称则称n(A)为为事件事件A 发生的发生的频数频数,称比值称比值 为事件为事件 A 在在 n 次试验中出现的次试验中出现的频率频率,定义定义1 如果在如果

10、在 n 次重复试验中事件次重复试验中事件A 发生了发生了n(A)次次,记为记为 f n(A)，即即A 发生的发生的频繁程度频繁程度 基本性质基本性质(3)设设A1,A2,Ak 两两互不相容的事件，则两两互不相容的事件，则稳定性稳定性事件的统计规律性事件的统计规律性？非负性非负性 正规性正规性 有限有限可加性可加性 1.2.3 确定概率的频率方法确定概率的频率方法参见参见P14 的的三个例子三个例子 即满足公理化定义即满足公理化定义.并且当并且当实验重复次数实验重复次数 n 较大时，可用频率给出概率的一个近似值较大时，可用频率给出概率的一个近似值.用频率用频率确定概率是一种常用的方法确定概率是一

11、种常用的方法.其基本思想是：其基本思想是：(1)(1)与考察事件与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行；有关的随机现象可大量重复进行；(2)(2)人们长期实践表明：人们长期实践表明：随着实验重复次数随着实验重复次数 n 的增加，的增加，频率频率 f n(A)会稳定在某一常数会稳定在某一常数 a 附近，附近，称常数称常数 a 为频率的为频率的稳定值稳定值；这个频率的稳定值就是我们所求的概率；这个频率的稳定值就是我们所求的概率；(3)(3)频率方法的缺点频率方法的缺点 现实中，人们无法把一个实验无现实中，人们无法把一个实验无限次地重复下去，限次地重复下去，因此要精确地得到频率的稳定值是困难的

12、因此要精确地得到频率的稳定值是困难的.但频率方法提供了概率的一个可供想象的具体值，但频率方法提供了概率的一个可供想象的具体值，故故称频率为概率的称频率为概率的估计值估计值.这正是频率方法最有价值的地方这正是频率方法最有价值的地方.1.2.4 确定概率的古典方法确定概率的古典方法古典方法的基本思想古典方法的基本思想：(1)(1)样本空间样本空间 只有有限多个样本点，只有有限多个样本点，(2)(2)每个样本点发生的可能性相等，每个样本点发生的可能性相等，等可能性等可能性这样就把求概率问题转化为这样就把求概率问题转化为计数问题计数问题.设事件设事件 A 由由 k 个样本点组成个样本点组成，即，即由可

13、加性知由可加性知 A 的概率为：的概率为：A 包含的样本点数包含的样本点数 中的样本点总数中的样本点总数称此概率为称此概率为古典概率古典概率.这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为古典方法古典方法.同时掷两枚均匀硬币同时掷两枚均匀硬币,分别求事件分别求事件A=两枚都出现正面两枚都出现正面,B=一枚出现反面一枚出现反面 和和 C =两枚都出现反面两枚都出现反面 的概率的概率.解解 同时掷两枚硬币有同时掷两枚硬币有 4 个等可能的结果，即样本空间为个等可能的结果，即样本空间为例例1 1(P(P1414 例例9)=(正正,正正),(正正,反反),(反反,正正),(反反,反反)4 个等可能个等可

14、能古典概型古典概型又事件又事件A,B,C 分别包含分别包含 1个、个、2个和个和 1个样本点，个样本点，排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 列列 举举 法法(2)(2)先任取一只先任取一只,作测试后不放回作测试后不放回,在剩下的中再任取一只在剩下的中再任取一只.一个盒子中装有一个盒子中装有10个大小、形状完全相同的晶体管，个大小、形状完全相同的晶体管，其中其中 3 只是次品只是次品.例例2(P(P14 例例10)按下列两种方法抽取晶体管：按下列两种方法抽取晶体管：(1)(1)先任取一只先任取一只,作测试后放回盒中作测试后放回盒中,再任取下一只；再任取下一只；有放回

15、抽样有放回抽样无放回抽样无放回抽样 试分别对这两种抽样方法试分别对这两种抽样方法,求从这求从这10只晶体只晶体管任取管任取 2 只中，恰有一只是次品的概率只中，恰有一只是次品的概率.解解 设设 A=抽取的抽取的 2 2 只晶体管中恰有一只是次品只晶体管中恰有一只是次品 (1)有放回抽样：有放回抽样：由于每次都是从由于每次都是从10只中取只中取 10 10 种取法种取法 即即 的样本点数的样本点数 n=10 2，第第 1 次取到合格品，且第次取到合格品，且第 2 次取到次品次取到次品第第 1 次取到次品，且第次取到次品，且第 2 次取到合格品次取到合格品A:7 3 3 7 共有共有 7 3+3

16、7=42 种取法种取法 古典概型古典概型(2)无放回抽样：无放回抽样：第第 1 次是从次是从10只中取只中取,第第 2 次是从次是从 9 只中取，只中取，10 9 种取法种取法 即即 的样本点数的样本点数 n=10 9，A:共有共有 7 3+3 7=42 种取法种取法 古典概型古典概型 现从这现从这 N 件中任件中任取取 n 件件(不放回不放回),设有设有 N 件产品件产品,其中有其中有 M 件次品件次品,解解例例3(抽样模型抽样模型)设设 A=恰抽到恰抽到 m 件次品件次品 求其中恰有求其中恰有 m 件次品的概率件次品的概率.次品次品正品正品N M 件正件正品品 含的样本点数为含的样本点数为

17、 ,只能取自只能取自 M 件次品件次品A 的次品有的次品有 种取法，种取法，A 的正品有的正品有 种取法，种取法，故故 A 含的样本点数为含的样本点数为 ,超几何分布超几何分布的概率公式的概率公式 在电话号码簿中任取一个电话号码在电话号码簿中任取一个电话号码,求后面求后面 4 4个个数字全不同的概率数字全不同的概率(设后面设后面 4 4个数中的每一个数都是等可能地取个数中的每一个数都是等可能地取自自 0-9 这这 10 个数个数).解解 所求概率与号码的位数无关所求概率与号码的位数无关,允许重复允许重复 求求样本空间样本点总数样本空间样本点总数 和和 求求事件所含样本点数事件所含样本点数 的计

18、数方法不同的计数方法不同 从从10个不同数字中个不同数字中取取4个的排列个的排列 例例4(P(P15 例例12)设设 A=后后 4 4 位数字全不相同位数字全不相同 ,含样本点数含样本点数:10 4,A 所含样本点数为所含样本点数为 ,求这求这 4 只鞋子中至少有只鞋子中至少有 2 只只配成一双鞋的概率配成一双鞋的概率？解解方法方法 1样本空间样本点数为样本空间样本点数为 ,5 双不同的鞋中任取双不同的鞋中任取 4 只，只，例例5(P(P16 例例13)设设 A=取的取的 4 只鞋子中至少有只鞋子中至少有 2 只配成一双只配成一双,先从先从5双中任取双中任取 1双双从余下的从余下的 4 双中任

19、取双中任取 2双双从这从这 2双中各任取双中各任取 1只只 A=4 只鞋中恰有只鞋中恰有 2 只配成一双只配成一双 4 只鞋恰好配成两双只鞋恰好配成两双 方法方法 2 取的取的 4 只鞋子中没有成双的只鞋子中没有成双的,先从先从5双中任取双中任取 4 双双 在从这在从这4双中各取双中各取 1只只所求为所求为“至少至少”或或“至多至多”的问题，用余概公式简单的问题，用余概公式简单还有其它解法吗？还有其它解法吗？错在何处？错在何处？在用排列组合公式计算古典概型时在用排列组合公式计算古典概型时必须注意不要重复计数，也不要遗漏必须注意不要重复计数，也不要遗漏 从从5双不同的鞋中任取双不同的鞋中任取4只

20、，求这只，求这 4 只鞋中至少有只鞋中至少有 2 只配只配成一双鞋的概率成一双鞋的概率？先从先从5双中任取双中任取 1双双从余下的从余下的 8只中任取只中任取 2只只这这 2只鞋有只鞋有“不不成双成双”和和“成成双双”两种情形两种情形与与5双中任取一双双中任取一双时已出现时已出现“4只恰只恰有两双有两双”的情形重的情形重复复正确做法正确做法 多算了多算了 种种解法解法 3 同样的同样的“4只配成两双只配成两双”算了两次算了两次 P(A)=“等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可

21、能的断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件再次提醒注意：再次提醒注意：在实际应用中，往往只能在实际应用中，往往只能“近似地近似地”出现等可能，出现等可能，“完全地完全地”等可能是等可能是很难见到的很难见到的.在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率能的并在此基础上计算事件的概率.2、用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计数，也、用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计数，也不要遗漏不要

22、遗漏例例6 掷两枚骰子出现的点数之和等于掷两枚骰子出现的点数之和等于3 的概率的概率.解解 掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为 2,3,4,12,=(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(6,6)26 63、所求为所求为“至少至少”或或“至多至多”的问题，用余概公式简单的问题，用余概公式简单 例例5 4、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型 有有n个人个人,每个人都以相同的概率每个人都以相同的概率1/N(Nn)被分在被分在 N 间房的每一间中间房的每一间中,求指定的求指定的n间房中各间房中各有一人

23、的概率有一人的概率.人人房房4、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型 有有n个人，设每个人的生日是任一天的概率个人，设每个人的生日是任一天的概率为为1/365.求这求这n(n 365)个人的生日互不相同个人的生日互不相同的概率的概率.人人任一天任一天 有有n 个旅客个旅客,乘火车途经乘火车途经N个车站，设每个车站，设每个人在每站下车的概率为个人在每站下车的概率为1/N(N n),),求指定求指定的的 n 个站各有一人下车的概率个站各有一人下车的概率.旅客旅客车站车站 某城市每周发生某城市每周发生7次车祸次车祸,假设每天发假设每天发生车祸的概率相

24、同生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车求每天恰好发生一次车祸的概率祸的概率.车祸车祸天天分分球球入入箱箱 是常见的几种模型是常见的几种模型.箱中摸球箱中摸球 分球入箱分球入箱 随机取数随机取数 分组分配分组分配 我们介绍了古典概型我们介绍了古典概型.古典概型的定义简单，但计算复杂，应用方面多古典概型的定义简单，但计算复杂，应用方面多.例例5例例2、3 设有设有 n 个球，每个都以相同的概率个球，每个都以相同的概率 1/N(N n)落入落入 N 个箱子个箱子中的每一个中中的每一个中.根据不同条件，分别求事件根据不同条件，分别求事件 A=某预某预先指定的先指定的 n 个箱子中各有一球个箱子中各有

25、一球 的概率的概率 p.1.球编号球编号2.球不编号球不编号每个箱子只容纳一个球每个箱子只容纳一个球每个箱子容纳的球数不限每个箱子容纳的球数不限每个箱子只容纳一个球每个箱子只容纳一个球每个箱子容纳的球数不限每个箱子容纳的球数不限 而与该区域的位置而与该区域的位置和形状无关和形状无关)，就形就形 成了确定概率的另一方法成了确定概率的另一方法几何方法几何方法.这无限多个样本点可表示为一个有度量的几何区域时这无限多个样本点可表示为一个有度量的几何区域时,借助于古典概率的定义，设想仍用借助于古典概率的定义，设想仍用“事件的概率事件的概率”等于等于“部部分分”比比“全体全体”的方法来规定事件的概率的方法

26、来规定事件的概率.(即样本点即样本点落入某区域落入某区域内可能性的大小内可能性的大小 且可用一个有度量的且可用一个有度量的几何区域来表示；几何区域来表示；早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的样本点的古典方法是不够的.1.2.5 确定概率的几何方法确定概率的几何方法.定义定义(P.17)若随机试验若随机试验 E 具有以下两个特征：具有以下两个特征：(1)(1)E 的样本空间有无穷多个样本点，的样本空间有无穷多个样本点，(2)(2)试验中每个样本点出现的可能性相同试验中每个样本点出现的可能性相同 不过现在的

27、不过现在的“部分部分”和和“全全体体”所包含的样本点是无限的所包含的样本点是无限的.用什么数学工具可以构造出这样的数学模型？用什么数学工具可以构造出这样的数学模型？几何的观念几何的观念 则称则称 E 为为几何概型几何概型.有度量的区域有度量的区域 事件事件A对应的区域仍以对应的区域仍以A表示表示长度长度面积面积体积体积.仅与该区域的度量成比例仅与该区域的度量成比例,乘客到达车站乘客到达车站的任意时刻是等可能的，的任意时刻是等可能的，例例7(P(P17 例例14)公共汽车站每隔公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过，分钟有一辆汽车通过，求乘客候车时间不超过求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率分钟

28、的概率.解解 x 乘客到达车站的时刻乘客到达车站的时刻 一个实验结果，一个实验结果，t 乘客到达车站后的第一辆公共汽车的时刻，乘客到达车站后的第一辆公共汽车的时刻，由题意知，乘客只能是在时间间隔由题意知，乘客只能是在时间间隔(t t -5,t t 内来到车站的，内来到车站的，故样本空间故样本空间 =t t -5 x t t ，且且 的度量的度量=t t -(t t -5)=5.而事件而事件 A=乘客候车时间不超过乘客候车时间不超过 3 分钟分钟 A=x|t t -3 x t t ,且且 A 的度量的度量=3.设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控，监控设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控，监

29、控期为期为 L 单位时间，该期间内随时可提取尿样化验单位时间，该期间内随时可提取尿样化验.问该人员复问该人员复吸且被检验出的概率是多少？吸且被检验出的概率是多少？例例8(P(P18 例例15)设该人员随时设该人员随时可能复吸，可能复吸，且复吸后且复吸后 S 单位时间内尿样呈阳性反应，单位时间内尿样呈阳性反应，解解 x 复吸时刻复吸时刻;y 提取尿样的时刻提取尿样的时刻,(x,y)样本点样本点,样本空间样本空间 =(x,y )|)|0 x L,0 y L ，则则 的度量的度量=L 2 2.LLSy=x0 xy A=该人员复吸且被检验出该人员复吸且被检验出 A=(x,y)|0 y-x S,则则 A

30、 的度量的度量=A 1.样本空间样本空间 是平面上某个区域是平面上某个区域(一线段，或平面、空间中某个一线段，或平面、空间中某个区域区域)，它的面积，它的面积(长度或体积长度或体积)记为记为();2.向区域向区域 上随机投掷一点满足：该点落入上随机投掷一点满足：该点落入 内任何部分区域内任何部分区域 A(线段、平面或空间区域线段、平面或空间区域)内的可能性只与这部分区域的面积成比内的可能性只与这部分区域的面积成比例，例，几何方法的要点：几何方法的要点：几何方法的正确运用，有赖于几何方法的正确运用，有赖于“等可能性等可能性”的的正确规定正确规定.A.与这部分区域的位置和形状无关与这部分区域的位置

31、和形状无关.应用的难度：应用的难度：如何确定样本空间如何确定样本空间.0 xy 在一个圆上任取三点在一个圆上任取三点A、B、C,求能构成锐角三角形的概率求能构成锐角三角形的概率.A B C 解解 在一个圆上任取三点在一个圆上任取三点A、B、C 构成的三角形的内角分别为构成的三角形的内角分别为设设 A 的取值为的取值为 x,B 的取值为的取值为 y,则有则有即即 =(x,y)|)|0 x ,0 y -x ，能构成锐角三角形的能构成锐角三角形的(x,y)所应所应满足的条件是：满足的条件是：由几何概型计算得所求概率为由几何概型计算得所求概率为 y=-x /2 /2xy即即 A=(x,y)|)|0 x /2,0 y (/2)-x ，P(A)=1/4.例例9