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1、第第5讲讲解三角形及三角函数模型解三角形及三角函数模型应应用用题题 三三角角形形中中任任意意两两边边之之和和大大于于第第三三边边，任任意意两两边边之之差差小于第三小于第三边边；边边 角角 不不 等等 关关 系系：ABabsinAsinB，ABabsinAsinB.2解三角形的易错点解三角形的易错点(1)利利用用正正弦弦定定理理解解三三角角形形时时，若若三三角角形形的的两两边边及及其其一一边边的的对对角已知角已知时时，易忽，易忽视视三角形解的个数三角形解的个数由由正正弦弦定定理理求求角角后后，由由于于正正弦弦函函数数在在区区间间(0，)内内不不严严格格单单调调，所所以以满满足足条条件件的的角角可
2、可能能不不唯唯一一，这这时时要要借借助已知条件加以助已知条件加以检验检验，务务必做到不漏解，不多解必做到不漏解，不多解(2)三角形中的三角函数三角形中的三角函数问题问题，不能熟，不能熟练练地地进进行行边边角和角和已知关系式的等价已知关系式的等价转转化，忽化，忽视视三角形中的三内角的三角形中的三内角的联联系和大小范系和大小范围围的限制，易使思的限制，易使思维维受阻或解答出受阻或解答出现现增解增解现现象象 135【点评点评】正弦定理是一个连比等式，在使用这个定理正弦定理是一个连比等式，在使用这个定理时不一定要知道其中的三个量才能求第四个量，只要时不一定要知道其中的三个量才能求第四个量，只要知道了其
3、中的比值或等量关系就可以通过约分达到解知道了其中的比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的正弦定理揭示了三角形三边和其对角决问题的目的正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系正弦定理可以使各边中一个内角的余弦之间的关系正弦定理可以使各边的比值之间相互转化，余弦定理只要知道了三角形三的比值之间相互转化，余弦定理只要知道了三角形三边之间的比例关系即可求出其中的内角边之间的比例关系即可求出其中的内角(2)在在ABC中中，若若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，则则ABC的形
4、状是的形状是()A等腰三角形等腰三角形B直角三角形直角三角形C等腰直角三角形等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形【解析解析】由已知由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC得得b2sin(AB)sinCa2sinCsin(AB)从而从而b2sinAcosBa2cosAsinBD【点评点评】分析求解与三角形有关的三角函数问题时，分析求解与三角形有关的三角函数问题时，一方面应充分注意三角形三内角之间的相互关系和取一方面应充分注意三角形三内角之间的相互关系和取值范围，并利用三内角和为值范围，并利用三内角和为180进行角之间的相互转换进行角之间的相互转换，另一方面应充
5、分利用正弦定理和余弦定理进行，另一方面应充分利用正弦定理和余弦定理进行“边与边与角角”的互化的互化【点评点评】本例系三角形中的三角函数问题，第本例系三角形中的三角函数问题，第(1)问关问关键是利用正弦定理进行键是利用正弦定理进行“边角转化边角转化”获得三角形关系式获得三角形关系式后求解，第后求解，第(2)问关键是先利用三内角的关系将问题转问关键是先利用三内角的关系将问题转化为关于角化为关于角A(或或C)的函数表达式后，再由题设条件探的函数表达式后，再由题设条件探究角究角A(或或C)的取值范围，问题方可求解的取值范围，问题方可求解 统统计计发发现现，该该地地区区每每年年各各个个月月份份从从事事旅
6、旅游游服服务务工工作作的的人数有以下人数有以下规规律：律：各各年年相相同同的的月月份份，该该地地区区从从事事旅旅游游服服务务工工作作的的人人数数基本相同；基本相同；该该地地区区从从事事旅旅游游服服务务工工作作的的人人数数最最多多的的8月月份份和和最最少少的的2月份相差月份相差约约400人；人；2月月份份该该地地区区从从事事旅旅游游服服务务工工作作的的人人数数约约为为100人人，随后逐月随后逐月递递增直到增直到8月份达到最多月份达到最多(1)试试根据已知信息，确定一个符合条件的根据已知信息，确定一个符合条件的f(n)的表达式；的表达式；(2)一般地，当一般地，当该该地区从事旅游服地区从事旅游服务
7、务工作的人数在工作的人数在400或或400人以上人以上时时，该该地区也地区也进进入了一年中的旅游入了一年中的旅游“旺季旺季”，那么，一年中的哪几个月是那么，一年中的哪几个月是该该地区的旅游地区的旅游“旺季旺季”？请请说说明理由明理由 因为因为n1，12，nN*，所以当，所以当k1时，时，6n10，故，故n6，7，8，9，10，即即一一年年中中的的6，7，8，9，10五五个个月月是是该该地地区区的的旅旅游游“旺旺季季”【点评点评】本例是呈周期性变化规律的实际应用问题，其本例是呈周期性变化规律的实际应用问题，其求解策略是利用三角函数解析式的知识建模，利用三角求解策略是利用三角函数解析式的知识建模，
8、利用三角函数性质分析解决问题函数性质分析解决问题【点评点评】本例是测绘实际应用问题，其求解策略是利本例是测绘实际应用问题，其求解策略是利用解直角三角形知识将立体问题化归为平面问题，然用解直角三角形知识将立体问题化归为平面问题，然后通过解三角形解决问题，并且有时也可用解析法求后通过解三角形解决问题，并且有时也可用解析法求解解【点评点评】本题主要是考查正弦定理、余弦定理的应用，本题主要是考查正弦定理、余弦定理的应用，这两个定理都要求熟练掌握学生对条件这两个定理都要求熟练掌握学生对条件2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC会觉得难以入手若条件中出现会觉得难以入手若条件中出现了边与角的关系，
9、可以化为角正弦值的关系；若题目条了边与角的关系，可以化为角正弦值的关系；若题目条件中出现了边的关系与角的余弦值的关系，则可考虑用件中出现了边的关系与角的余弦值的关系，则可考虑用余弦定理此类题目有很多，解决此类题目要注意正弦、余弦定理此类题目有很多，解决此类题目要注意正弦、余弦定理的灵活运用余弦定理的灵活运用 三、在解实际问题时，应正确理解如下角的含义三、在解实际问题时，应正确理解如下角的含义(1)方向角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角从指定方向线到目标方向线的水平角(2)方方位位角角从从指指定定方方向向线线顺顺时时针针到到目目标标方方向向线线的的水水平角平角(3)坡度坡度坡面与水平面的锐二面角的正切坡面与水平面的锐二面角的正切(4)仰仰角角与与俯俯角角与与目目标标视视线线在在同同一一铅铅直直平平面面的的水水平平视视线线和和目目标标视视线线的的夹夹角角，目目标标视视线线在在水水平平视视线线上上方方时时称称为仰角，目标视线在水平视线下方时，称为俯角为仰角，目标视线在水平视线下方时，称为俯角C D C D