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1、第五节第五节 极限存在性定理与两个重要极限极限存在性定理与两个重要极限证略证略.一、极限存在定理一、极限存在定理定理定理(夹逼定理夹逼定理)1例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得2上述数列极限存在的准则可以推广到上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限函数的极限.定理定理(夹逼定理夹逼定理)证略证略.3定理定理 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.称单调增加称单调增加称单调减少称单调减少单调数列单调数列具体：单调增加有上界，或单调减少有下界具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.4二、两个重要极限二、两个重要极限xy15基本不等式：基本不等式：等号当且仅当等号当且仅当 x=0 时成立
2、时成立.6实际上，实际上，对一切实数对一切实数 x 成立成立.基本不等式：基本不等式：等号当且仅当等号当且仅当 x=0 时成立时成立.等号当且仅当等号当且仅当 x=0 时成立时成立.7即得即得8所以所以先证先证9例例2 2上述重要极限说明：上述重要极限说明：例例3 310例例4 4解解11定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证只有在乘、除的极限运算中才能替换；只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意注意在加、减的极限运算中不能替换！在加、减的极限运算中不能替换！12例例5 5解解例例6 6解解13例例7解解解解错错14例例8解解15下面利用单调有界定理证明另一个重要的极限：下面利用
3、单调有界定理证明另一个重要的极限：1617增大，且项数增加一项增大，且项数增加一项(每一项均为正每一项均为正),),1819以以e为底的对数称为为底的对数称为自然对数自然对数，可以证明，相应的函数极限有可以证明，相应的函数极限有 或或20例例9 9解解21例例1111解解例例1212解解例例1010解解22例例13 13 连续复利问题连续复利问题 如一年计息如一年计息n次，利息按复式计算，则一年后本次，利息按复式计算，则一年后本息之和为息之和为 23随着随着n无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不无限增大，一年后本息之和会不断增大，但不会无限增大，其极限值为会无限增大，其极限值为 称之为称之为连续复利连续复利.例如例如,年利率为年利率为3%,则连续复利为则连续复利为 类似于连续复利问题的数学模型，在人口增长、类似于连续复利问题的数学模型，在人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射性元素的衰变等许多实际林木增长、细菌繁殖、放射性元素的衰变等许多实际问题中都有应用问题中都有应用.24练习：练习：P66 习题二习题二25