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1、求一般位置线段的实长一、直角三角形法一、直角三角形法二、换面法二、换面法一、直角三角形法1.原理分析1V XZ YO ABB0 为直角三角形为直角三角形B0AB0=abBB0=zb-zaB Aaba b实实长长zb-za结论：结论：已知线段的已知线段的两个投影，可两个投影，可利用直角三角利用直角三角形法，求出线形法，求出线段的实长及对段的实长及对H 投影面的倾投影面的倾角角。一、直角三角形法1.原理分析2 2V XZ YO A A0B 为直角三角形为直角三角形A0 A0B=abAA0=ya-ybB aba b实实长长ya-yb结论：结论：已知线段的已知线段的两个投影，可两个投影，可利用直角三角
2、利用直角三角形法，求出线形法，求出线段的实长及对段的实长及对V 投影面的倾投影面的倾角。角。A一、直角三角形法例例1 1 求线段求线段AB 的实长及的实长及。ab aboX实长实长所得直角三角形的斜边即实长所得直角三角形的斜边即实长AB。AB 与与a b 的夹角为的夹角为。1.1.以以ab 为一直角边；为一直角边；2.2.取取zb-za 为另一直角边为另一直角边;方法方法1 1zb-zazb-za解题完毕解题完毕V XZ YO B0B Aababzb-za 一、直角三角形法oX实长实长ab ab实长实长方法方法2 2所得直角三角形的斜边即实长所得直角三角形的斜边即实长AB。AB 与与ab 的夹
3、角为的夹角为。1.1.以以zb-za 为一直角边；为一直角边；2.2.取取ab 为另一直角边为另一直角边;zb-za例例1 1 求线段求线段AB 的实长及的实长及。V XZ YO B0B Aababzb-za babaX一、直角三角形法例例2 2 求线段求线段AB 的实长及的实长及。oAB所得直角三角形的斜边即实长所得直角三角形的斜边即实长AB。AB 与与ab 的夹角为的夹角为。1.1.以以ab 为一直角边；为一直角边；2.2.取取ya-yb 为另一直角边为另一直角边;方法方法1 1ya-ybya-ybV XZ YO A0 B ababAba ba XO一、直角三角形法所得直角三角形的斜边即实
4、长所得直角三角形的斜边即实长AB。AB 与与ab 的夹角为的夹角为。1.1.以以ya yb 为一直角边；为一直角边；2.2.取取ab 为另一直角边为另一直角边;方法方法2 2AB例例2 2 求线段求线段AB 的实长及的实长及。解题完毕解题完毕ya-ybV XZ YO A0 B ababA一、直角三角形法例例3 3 已知已知EF=30，试完成，试完成e f 。f EFzf-zeR30zf-zeOX eef1.1.以以ef 为一直角边；为一直角边；2.2.以以R30 为半径画弧，在另为半径画弧，在另一直角边上截得一直角边上截得zf -ze;方法方法1 13.3.在在f f 投影连线上定投影连线上定
5、f 点点，完成完成 ef。解题完毕解题完毕ef一、直角三角形法fEFR30OX eef1.1.以以ye-yf 为一直角边；为一直角边；2.2.以以R30 为半径画弧，为半径画弧，在另一直角边上截得在另一直角边上截得ef;方法方法2 23.3.以以ef 为半径为半径画弧画弧,在在f f 投影连投影连线上定线上定f 点点，完成完成ef。ye-yfef 解题完毕解题完毕例例3 3 已知已知EF=30，试完成，试完成ef。一、直角三角形法小结小结1)1)实长、坐标差、投影长、倾角为实长、坐标差、投影长、倾角为直角三角形直角三角形的的四要素。四要素。注意：注意：直线的坐标差、投影长、倾角是对同一投影面而
6、言。直线的坐标差、投影长、倾角是对同一投影面而言。Z坐坐标标差差水平水平投影投影TL(实长实长)Y坐坐标标差差正面正面投影投影TL(实长实长)X坐坐标标差差侧面侧面投影投影TL(实长实长)一、直角三角形法 小结小结 2)2)只要已知其中任两个，即可通过直角三角形求得另两个。只要已知其中任两个，即可通过直角三角形求得另两个。因此直角三角形法的题型衍生为多种形式。因此直角三角形法的题型衍生为多种形式。水平投影水平投影z 坐标差坐标差实长实长z 坐标差坐标差水平投影水平投影实长实长水平投影水平投影实长实长z坐标差坐标差z 坐标差坐标差实长实长水平投影水平投影z 坐标差坐标差实长实长水平投影水平投影实
7、长实长z 坐标差坐标差水平投影水平投影可可 求求已已 知知（以以H 面为例列举说明面为例列举说明）XOABabbaX1a1b1实长实长二、换面法换面法的换面法的概念概念在在V/H 投影体系中，投影体系中，AB 为一般位置直线。为一般位置直线。增设新投影面增设新投影面V1，使，使V1H，且，且直线直线AB；在在V1/H 新新投影体系中，投影体系中，AB 为投影面平行线直线。为投影面平行线直线。AB 在新在新投影面上的投影投影面上的投影反映实长及对反映实长及对H 面的倾角。面的倾角。建立新投影系：建立新投影系：这种增设新投影面，用新投影取代原这种增设新投影面，用新投影取代原旧投影求解的方法称为旧投
8、影求解的方法称为换面法换面法。二、换面法新投影面的设立新投影面的设立条件条件1.1.新投影面必须垂直原新投影面必须垂直原V/H 投影体系中的某一投影面；投影体系中的某一投影面；如如V1:V1H ，V1 AB 直线；直线；在在V1/H 投影系中，投影系中，AB 的的V1 面投影反映实长面投影反映实长及对及对H 面的倾角。面的倾角。2.2.新投影面必须处于有利于解题的位置。新投影面必须处于有利于解题的位置。XOABabbaX1a1b1实长实长XOABabb aX1二、换面法有关名词术语有关名词术语新、旧、不变投影间关系？新投影面新投影面新投影新投影新投影轴新投影轴旧投影旧投影旧投影面旧投影面旧投影
9、轴旧投影轴不变投影面不变投影面不变投影不变投影a1b1二、换面法1.1.点的一次换面点的一次换面（H1 面替代面替代H 面）面）新投影新投影a1 不变投影不变投影a 旧投影旧投影aH1 面面-新投影面新投影面H 面面-旧投影面旧投影面V 面面-不变投影面不变投影面提示：提示：二、换面法Z XYV OX1aaHVXaaA1.1.点的一次换面点的一次换面投影规律：投影规律：2)2)新投影与不变投影：新投影与不变投影：a a1 OX1；1)1)新投影与旧投影：新投影与旧投影：a1 aX1=aaX。以以H1 面替代面替代H 面面aXax1a1OaX投影规律：投影规律：2)2)新投影与不变投影：新投影与
10、不变投影：a a1 OX1；1)1)新投影与旧投影：新投影与旧投影：a1 aX1=aaX。二、换面法OZXY V aX1H1HVXX1VH1a1 a1作图完毕作图完毕A1.1.点的一次换面点的一次换面以以H1 面替代面替代H 面面作图步骤：作图步骤：1)1)画画OX1 轴；轴；2)2)过过a 作作OX1 轴的垂线；轴的垂线；3)3)在在垂线垂线上截取截取 a1aX1=aaX。aXaX1aaXax1aaOVaaaXA二、换面法以以V1 面替代面替代V 面，求点的新投影。面，求点的新投影。作图步骤：作图步骤：1)1)画画X1 轴；轴；2)2)过过a 作作x1 轴的垂线；轴的垂线；3)3)在在垂线垂
11、线上上截取截取 a1aX1=a aX。作图完毕作图完毕1.1.点的一次换面点的一次换面aX1a1X1a1HV1x1aaaXHVXax1作图完毕作图完毕XOOV二、换面法2.2.点的二次换面点的二次换面aX1aaaXAa1aX2X2X1a2 V、H 面交替更换，实现多次换面以满足解题需要。即：面交替更换，实现多次换面以满足解题需要。即：a1a2HV1V1H2x1X2aaaX HVXV1/HV1/H2V3/H2 V/H作图完毕作图完毕XO二、换面法换面法解决有关直线的两个基本问题换面法解决有关直线的两个基本问题:1.1.将一般位置直线变为将一般位置直线变为投影面平行线。投影面平行线。2.2.将一般
12、位置直线变为将一般位置直线变为投影面垂直线。投影面垂直线。换面法解题的关键换面法解题的关键:新投影面的设立。新投影面的设立。XOABabbaX1b1实长实长 a1二、换面法解题完毕解题完毕例例1 1 求求AB 线段的实长及线段的实长及。作图要点：作图要点：aaHVXbba1b1实长实长 X1 abX1都与不变投影面有关都与不变投影面有关 X1 轴平行不变投影，求得轴平行不变投影，求得线段对不变投影面的倾角。线段对不变投影面的倾角。二、换面法例例2 2 求求AB 线段的实长及线段的实长及。作图要点：作图要点：HVaaXbba1b1实长实长 X1 abX1VH1解题完毕解题完毕 V 面应为不面应为
13、不变投影面变投影面,X1 轴平行不变投轴平行不变投影影ab ，求得线，求得线段对段对V 投影面的投影面的倾角倾角 。分析：分析：OZ XYV 二、换面法X1a1b1aaHVXbb例例3 3 将将AB 线段变为投影面垂直线。线段变为投影面垂直线。分析：分析：AB 为正平线，则设为正平线，则设H1 面面AB 。BababA二、换面法例例3 3 将将AB 线段变为投影面垂直线。线段变为投影面垂直线。分析：分析：AB 为正平线，则设为正平线，则设H1 面面AB 。OZXYV ABababX1H1aaHVXbbX1VH1a1(b1)作图要点：作图要点：X1 aba1b1解题完毕解题完毕二、换面法VXab
14、ABab例例4 4 将将AB 直线变为投影面垂直线。直线变为投影面垂直线。X2x1 分析：分析：AB 一般位置线一般位置线,需要二次换面。需要二次换面。先先把一般位置直线变为投影面把一般位置直线变为投影面平行线平行线；再再把投影面平行线变为投影面把投影面平行线变为投影面垂直线垂直线。a1b1a2(b2)aaHVXbbX ab(a)b二、换面法x2 作图要点：作图要点：第一次换面第一次换面 X1 ab (或或ab)。aaHVXbbx1V1H2V1Ha2(b2)a1b1第二次换面第二次换面 X2实长投影实长投影,如如a1b1。例例4 4 将将AB 直线变为投影面垂直线。直线变为投影面垂直线。VXaabbAX2x1Ba1b1a2(b2)解题完毕解题完毕本节结束本节结束