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1、第三章第三章 换面法换面法一、问题的提出一、问题的提出 如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置平面的真实大小？换换 面面 法：法：物体本身在空间的位置不动，而用某物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使面，使物体相对新的投影面处于解题所需物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置要的有利位置，然后将物体向新投影面进，然后将物体向新投影面进行投射。行投射。解决方法：更换投影面。解决方法：更换投影面。VHAB a b ab二、新投影面的选择原则二、新投影面的选择原则1.新
2、投影面必须对空间物体处于新投影面必须对空间物体处于最有利的解最有利的解 题位置。题位置。平行于平行于 新的投影面新的投影面 垂直于垂直于 新的投影面新的投影面2.新投影面必须新投影面必须垂直于垂直于某某一保留的原投影面，一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。v1a1b1VHA a a axX 更换一次投影面更换一次投影面 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投新投 影体系影体系v1HX1 A点的两个投影：点的两个投影：a，a A点的两个投影：点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立新投影体系的建立三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律X1
3、v1a1ax1 VHXv1HX1 a aa1axax1.ax1 VHXv1HX1 a aa1VHA a axXX1v1a1ax1 新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1 ax1=a ax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。到原投影轴的距离。axa 一般规律：一般规律：点的新投影和与它有关的原投影的连线，点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直必垂直 于新投影轴。于新投影轴。.XVHaa ax更换更换H面面 求新投影的作图方法求新投影的作图方法 VHXv1HX1 由点的不变投影向新投影轴作垂线，由点的不变投
4、影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段并在垂线上量取一段距离，使这段 距离等距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。于被代替的投影到原投影轴的距离。aa X1H1V a1 axax1ax1更换更换V面面a1 作图规律：作图规律：.更换两次投影面更换两次投影面先把先把V面换成平面面换成平面V1，V1 H，得到中间新投影体系得到中间新投影体系:V1HX1 再把再把H面换成平面面换成平面H2，H2 V1，得到新投影体系得到新投影体系:X2 V1 H2 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序更换按次序更换AaVH a axXX1V1a1 ax1H2X2ax2a2 ax2 a aXVH 求新投
5、影的作图方法求新投影的作图方法a2X1HV1X2V1H2 作图规律作图规律 a2a1 X2 轴轴 a2ax2=aax1a1 axax1 .VHAB a b ab四、换面法的四个基本问题四、换面法的四个基本问题1.把一般位置直线变换成投影面平行线把一般位置直线变换成投影面平行线用用V1面代替面代替V面，在面，在V1/H投影体系中，投影体系中，AB/V1。X1HV1V1a1 b1 空间分析空间分析：换换H面行吗？面行吗？不行！不行！作图：作图：例：求直线例：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角。面的夹角。a b abXVH新投影轴的位置？新投影轴的位置？a1 b1 与与ab平行。平行。.a1
6、b1 VH a aXB b bA2.把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a b abXVHX1HV1V1H2X2作图：作图：X1V1a1 b1 X2H2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？轴的位置？a2 b2ax2a2 b2.与与a1 b1 垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线；小小 结结本章主要介绍了投影变换的一种常用方法本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法换面法。一、一、换面法就是换面法就是改变投影面的位置改变投影面的位置，使它与所给物，使它与所
7、给物 体或其几何元素处于体或其几何元素处于解题所需的特殊位置解题所需的特殊位置。二、二、换面法的关键是要注意换面法的关键是要注意新投影面的选择条件新投影面的选择条件，即必须使即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。律继续有效。三、三、点的变换规律是换面法的作图基础点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。换面法的四个基本问题：换面法的四个基本问题：2.把一般位置直线变成投影面垂直
8、线把一般位置直线变成投影面垂直线1.把一般位置直线变成投影面平行线把一般位置直线变成投影面平行线3.把一般位置平面变成投影面垂直面把一般位置平面变成投影面垂直面4.把一般位置平面变成投影面平行面把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线需先在面内作一条投影面平行线四、解题时一般要注意下面几个问题：四、解题时一般要注意下面几个问题：分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置物体与原投影面的相对位置，并把这些条件，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。抽象成几何元素（点、线、面等）。根据要求得到的结果，确定出有关几何元根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素素对新投影面应处于什么样的特殊位置对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。法。在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系，在变换前后的关系，既要在新投影体系中正既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果确无误地求得结果，又能将结果返回到原投返回到原投 影体系中去。影体系中去。