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1、传热与流体流动的数值计算2009年3月10日第第3章章 离散方程的误差与物理离散方程的误差与物理特性的分析特性的分析1传热与流体流动的数值计算3.1 3.1 离散方程的相容性、收敛性及稳定性离散方程的相容性、收敛性及稳定性一、截断误差及相容性一、截断误差及相容性 1 1、截断误差：差分算子与相应的微分算子之差。、截断误差：差分算子与相应的微分算子之差。截断误差截断误差层次：层次：方程方程2传热与流体流动的数值计算2、离散方程的相容性、离散方程的相容性当当空空间间、时时间间步步长长趋趋于于零零时时，如如果果离离散散方方程程的的截截断断误误差趋于零，则称离散方程与微分方程差趋于零，则称离散方程与微
2、分方程相容相容。截差截差 ，方程具有相容性。，方程具有相容性。如截差中出现如截差中出现 D Dt/D Dx时，相容性仅条件满足。时，相容性仅条件满足。3传热与流体流动的数值计算二、离散误差及收敛性二、离散误差及收敛性1、离散误差 离散方程的精确解偏离该点上相应微分方程精确解的值。2、影响因素 (1)截断误差 一般地说，截断误差的阶数越高，离散误差越小。(2)网格疏密 对同一离散格式，网格加密离散误差也会减小。但：网格太密也会引起很大的舍入误差。网格独立的解是国际杂志接受数值计算论文的基本要求。层次：层次：解解4传热与流体流动的数值计算3、离散方程的收敛性 当时间与空间步长均趋于零时，如果各节点
3、上的离散误差都趋于零，则称离散方程收敛。5传热与流体流动的数值计算三、舍入误差与初值问题的稳定性三、舍入误差与初值问题的稳定性1、舍入误差、舍入误差由于计算机存储数据的方式而引入的误差，取决由于计算机存储数据的方式而引入的误差，取决于所采用的计算方法及所用计算机的字长。于所采用的计算方法及所用计算机的字长。2、数值解误差的组成、数值解误差的组成 总误差总误差=离散误差离散误差+舍入误差舍入误差3、初值问题离散格式的稳定性、初值问题离散格式的稳定性如果在任一时层计算中所引入的误差都不会在以如果在任一时层计算中所引入的误差都不会在以后各时层的计算中被不断地放大，则称离散格后各时层的计算中被不断地放
4、大，则称离散格式是稳定的。式是稳定的。稳定与不稳定是一个离散格式的固有属性！稳定与不稳定是一个离散格式的固有属性！6传热与流体流动的数值计算4 4、联系收敛性与稳定性的、联系收敛性与稳定性的LaxLax原理原理对于适定的对于适定的线性初值问题线性初值问题所建立起的所建立起的相容格式相容格式，稳定性是收敛性的充分必要条件。稳定性是收敛性的充分必要条件。工程传热问题中，仅工程传热问题中，仅常物性无源项的非稳态导热常物性无源项的非稳态导热问题，才能应用问题，才能应用Lax原理分析。原理分析。对于其他问题，相容性与稳定性仅是获得收敛解对于其他问题，相容性与稳定性仅是获得收敛解的必要条件。的必要条件。7
5、传热与流体流动的数值计算格式、网格疏密、稳定性的影响8传热与流体流动的数值计算5 5、说明、说明对于工程对流换热问题的数值计算，一般认为：对于工程对流换热问题的数值计算，一般认为：扩散项采用二阶精度截差，对流项采用二阶到扩散项采用二阶精度截差，对流项采用二阶到三阶的离散格式是比较合适的。三阶的离散格式是比较合适的。数学特性：相容性、收敛性、稳定性数学特性：相容性、收敛性、稳定性物理特性：守恒性、迁移性、人工粘性物理特性：守恒性、迁移性、人工粘性(假扩散假扩散)在数学上满足稳定性条件的解，不能保证一定得在数学上满足稳定性条件的解，不能保证一定得出具有物理意义的结果。出具有物理意义的结果。9传热与
6、流体流动的数值计算3.2 3.2 离散方程的守恒性离散方程的守恒性一、离散方程守恒性定义如果离散方程在定义域内的任一有限空间内作求和的运算，所得表达式满足该区域上物理量守恒的关系，则称该离散格式具有守恒特性。二、对流项中心差分的守恒特性扩散项中心差分具有良好的物理特性和计算精度，是对流项离散格式导致了各种不良特性。将一维对流扩散方程简化成纯对流方程(平流方程)10传热与流体流动的数值计算二、对流项中心差分的守恒特性（续）离散化：在l1,l2内作积分或：11传热与流体流动的数值计算二、对流项中心差分的守恒特性（续）互相抵消12传热与流体流动的数值计算二、对流项中心差分的守恒特性（续）满足守恒特性
7、！13传热与流体流动的数值计算三、保证离散方程具有守恒性的条件1、导出离散方程的控制方程是守恒型的非守恒型 守恒型14传热与流体流动的数值计算三、保证离散方程具有守恒性的条件（续）不能抵消，表明非守恒型方程不具有守恒特性。15传热与流体流动的数值计算三、保证离散方程具有守恒性的条件（续）2、在同一界面上各物理量（f及有关物性）及f的一阶导数是连续的。连续：从界面两侧的两个控制容积来写出的该界面上的值是相等的（局部守恒性）。表示为：表示对P点写出的e界面上的f值。16传热与流体流动的数值计算三、保证离散方程具有守恒性的条件（续）界面连续性示意图17传热与流体流动的数值计算三、保证离散方程具有守恒
8、性的条件（续）中心差分满足连续性条件，具有守恒特性。四、讨论 1、椭圆型问题最希望具有守恒特性。2、抛物型及双曲型问题未必具有守恒特性。18传热与流体流动的数值计算3.3 3.3 离散方程的迁移性离散方程的迁移性一、对流与扩散现象在物理本质上的区别 扩散项应使扰动向四周传递。对流项应使扰动沿流动方向传递。迁移性！19传热与流体流动的数值计算二、扩散项中心差分可以将扰动均匀地向四周传递一维非稳态扩散方程 采用显式格式离散采用离散扰动分析法离散扰动分析法：设n时层i节点上出现一个扰动e，其余各点均没有。对i点：整理得：，按稳定性要求20传热与流体流动的数值计算扩散项中心差分的迁移性对i+1点：整理
9、得：对i-1点：整理得：21传热与流体流动的数值计算扩散项中心差分的迁移性 时扩散作用下扰动的传递扩散项中心差分中心差分既具有守恒特性，又能使扰动均匀地向四周传递，符合物理问题的本质，是一个理想的离散格式。22传热与流体流动的数值计算三、对流项中心差分不具有迁移特性i+1点：i-1点：对流项中心差分不具有迁移特性CD：Courant数23传热与流体流动的数值计算四、对流项迎风差分具有迁移特性u0时：i+1点：i-1点：u0时：，扰动与e同符号24传热与流体流动的数值计算五、讨论1、不具有迁移特性的对流项离散格式一定是条件稳定的，迎风格式保证不振荡。2、对流项中心差分虽然截差等级高，但迎风差分更符合物理特性。3、一阶迎风虽然绝对稳定，能获得物理上看起来合理的解，但会产生较大的计算误差（假扩散），已被一些国际杂志所限制。25