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1、第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义二、矢量的运算法则二、矢量的运算法则三、矢量微分元：线元，面元，体元三、矢量微分元：线元，面元，体元四、标量场的梯度四、标量场的梯度六、矢量场的旋度六、矢量场的旋度五、矢量场的散度五、矢量场的散度七、七、亥姆霍兹定理及亥姆霍兹定理及重重要的场论公式要的场论公式一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义1.1.标量：标量：只有大小，没有方向的物理量。只有大小，没有方向的物理量。矢量矢量表示为：表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中：其中：为矢量的
2、模，表示该矢量的大小。为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1 1。2.2.矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。不仅有大小，而且有方向的物理量。如如:力力 、速度、速度 、电场、电场 等等如：温度如：温度 T T、长度、长度 L L 等等例：在直角坐标系中，例：在直角坐标系中，x 方向的大小为方向的大小为 6 6 的矢量如何表示？的矢量如何表示？图示法：图示法：力的图示法：力的图示法：二、矢量的运算法则二、矢量的运算法则1.1.加法加法:矢量加法是矢量的几何和矢量加法是矢量的几何和,服从服从平行四边形规则平行四边形规则。a
3、.a.满足交换律：满足交换律：b.b.满足结合律：满足结合律：三个方向的单位矢量用三个方向的单位矢量用 表示。表示。根据矢量加法运算：根据矢量加法运算：所以：所以：在直角坐标系下的矢量的表示在直角坐标系下的矢量的表示:其中：其中：矢量：矢量：.模的计算模的计算：.单位矢量单位矢量：.方向角与方向余弦方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算：在直角坐标系中三个矢量加法运算：2.2.减法：减法：换成加法运算换成加法运算逆矢量：逆矢量：和和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：推论：任意多个矢量
4、首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。3.3.乘法：乘法：（1 1）标量与矢量的乘积：）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为方向不变，大小为|k|倍倍方向相反，大小为方向相反，大小为|k|倍倍（2 2）矢量与矢量乘积分两种定义）矢量与矢量乘积分两种定义a.a.标量积（点积）：标量积（点积）：两矢量的点积两矢量的点积含义：含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。在直角坐标系中在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即，已知三个坐标轴是相互正交的，即
5、有两矢量点积：有两矢量点积：结论结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论推论1 1：满足交换律：满足交换律推论推论2 2：满足分配律：满足分配律推论推论3 3：当两个非零矢量点积为零：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。则这两个矢量必正交。推论推论1 1：不服从交换律：不服从交换律：推论推论2 2：服从分配律：服从分配律：推论推论3 3：不服从结合律：不服从结合律：推论推论4 4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.b.矢量积（叉积）：矢量积（叉积）：含义：含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，
6、其大小为这两个矢量组成的平行四边形的两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：x xy yz z两矢量的叉积又可表示为：两矢量的叉积又可表示为：（3 3）三重积：）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。矢量，矢量三重积。a.a.标量三重积标量三重积法则：在矢量运算中法则：在
7、矢量运算中,先算叉积先算叉积,后算点积。后算点积。定义：定义：含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。注意注意：先后轮换次序。先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：在直角坐标系中：b.b.矢量三重积：矢量三重积：例例1 1：求：求：中的标量中的标量a,b,c。解：解：则：则：设设例例2 2：已知已知求：确定垂直于求：确定垂直于 、所在平面的单位矢量。所在平面的单位矢量。解：解：已知已知所的矢量垂直于所的矢量垂直于 、所在平面。所在平面。三、矢量微分元：线元，面元，体元三、矢量微分元：线元，面元，体元例：例：其中其中 ：和和 称为微分元。称为微分元。1.1.直角
8、坐标系直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。，如图，做一微分体元。线元：线元：面元：面元：体元：体元：2.2.圆柱坐标系圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。，如图，做一微分体元。线元：线元：面元：面元：体元：体元：3.3.球坐标系球坐标系在球坐标系中，坐标变量为在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。，如图，做一微分体元。线元：线元：面元：面元：体元：体元：a.a.在直角坐标系中，在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为均为长度量，其拉梅系数均为1 1，即：即：b
9、.b.在柱坐标系中，坐标变量为在柱坐标系中，坐标变量为 ,其中其中 为角度，其对应的线元为角度，其对应的线元 ，可，可见拉梅系数为：见拉梅系数为：c.c.在球坐标系中，坐标变量为在球坐标系中，坐标变量为 ，其中，其中 均为均为 角度，其拉梅尔数为：角度，其拉梅尔数为：注意：注意：每个坐标长度增量同各自坐标增量之比每个坐标长度增量同各自坐标增量之比,称为度量系数或称为度量系数或 在正交曲线坐标系中，其坐标变量在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知
10、其拉梅系数 ，就，就可正确写出其线元，面元和体元。可正确写出其线元，面元和体元。体元：体元：线元：线元：面元：面元：正交曲线坐标系：正交曲线坐标系：四、标量场的梯度四、标量场的梯度1.1.标量场的标量场的等值面等值面可以看出：可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。相交的。以温度场为例：以温度场为例：热源热源等温面等温面b.b.梯度梯度定义：定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：数学表达式：2.2.标量场
11、的梯度标量场的梯度a.a.方向导数：方向导数：空间变化率，称为方向导数。空间变化率，称为方向导数。为最大的方向导数。为最大的方向导数。标量场的场函数为标量场的场函数为甲：每米的温度变化为乙：每米的温度变化为丙：每米的温度变化为 同一温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同。方向性导数不同方向性导数不同计算：计算：在直角坐标系中：在直角坐标系中：所以：所以：梯度也可表示：梯度也可表示：在柱坐标系中：在柱坐标系中：在球坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：在直角坐标系中：某二维标量
12、场梯度五、矢量场的散度五、矢量场的散度1.1.矢线（场线）：矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线成方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线成为矢线。为矢线。2.2.通量：通量：定义：定义：如果在该矢量场中取一曲面如果在该矢量场中取一曲面S S，通过该曲面的矢线量称为通量。通过该曲面的矢线量称为通量。表达式：表达式：若曲面为闭合曲面：若曲面为闭合曲面：+-讨论：讨论：a.a.如果闭合曲面上的总通量如果闭合曲面上的总通量 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的
13、通量，意味着闭合面内存在正的通量源。正的通量源。b.b.如果闭合曲面上的总通量如果闭合曲面上的总通量 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。意味着闭合面内存在负源或称沟。c.c.如果闭合曲面上的总通量如果闭合曲面上的总通量说明穿入的通量等于穿出的通量。说明穿入的通量等于穿出的通量。3.3.散度：散度：a.a.定义：定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。b.b.表达式：表达式：c.c.散度的计算：散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封
14、闭曲面，该封在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。闭曲面由六个平面组成。矢量场矢量场 表示为：表示为：在在 x x方向上：方向上：计算穿过计算穿过 和和 面的通量为面的通量为因为：因为：则：则：在在 x x 方向上的总通量：方向上的总通量：在在 z z 方向上方向上,穿过穿过 和和 面的总通量：面的总通量：整个封闭曲面的总通量：整个封闭曲面的总通量：同理：在同理：在 y y方向上方向上,穿过穿过 和和 面的总通量：面的总通量：该闭合曲面所包围的体积：通常散度表示为：通常散度表示为：4.4.散度定理：散度定理：物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。物理含义：
15、穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。柱坐标系中：柱坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：正交曲线坐标系中：正交曲线坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：常用坐标系中，散度的计算公式常用坐标系中，散度的计算公式六、矢量场的旋度六、矢量场的旋度1.1.环量：环量：在矢量场中，任意取一闭合曲线在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该，将矢量沿该曲线积分称之为环量。曲线积分称之为环量。可见：环量的大小与环面的方向有关。可见：环量的大小与环面的方向有关。2.2.旋度旋度:定义：定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为
16、该点矢量场的旋度。的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。表达式：表达式：旋度计算：旋度计算：以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：场矢量：场矢量：其中：其中：为为x x 方向的环量密度。方向的环量密度。旋度可用符号表示：旋度可用符号表示：其中：可得：同理：所以：旋度公式：为了便于记忆，将旋度的计算公式为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式写成下列形式:类似的，可以推导出在广义正交坐标系中旋度计算公式：对于柱坐标，球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。对于柱坐标，球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。3.3.斯托
17、克斯定理：斯托克斯定理：物理含义：物理含义：一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。方向相反方向相反大小相等大小相等结果抵消结果抵消亥姆霍兹定理的简化表述如下亥姆霍兹定理的简化表述如下:若矢量场若矢量场F在无限空间中处处单值在无限空间中处处单值,且其导数连续且其导数连续有界有界,而源分布在有限区域中而源分布在有限区域中,则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。并且并且,它它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和,即即 七、亥姆霍兹定理
18、 矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：1)调和场 若矢量场F在某区域V内，处处有：F=0和F=0 则在该区域V内，场F为调和场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场2)有源无旋场如果如果 ，则称矢量场，则称矢量场F为无旋场。无旋场为无旋场。无旋场F可以表示为另一个标量场的可以表示为另一个标量场的梯度，即梯度，即函数函数u称为无旋场称为无旋场F F的标量位函数，简称标量位。的标量位函数，简称标量位。无旋场无旋场F沿闭合路径沿闭合路径C C的环量等于零，即的环量等于零，即这这一一
19、结结论论等等价价于于无无旋旋场场的的曲曲线线积积分分 与与路路径径无无关关，只只与与起起点点P P和和终终点点Q Q 有关。有关。q标量位标量位u的积分表达式：的积分表达式：由由 ，有，有函数函数A称为无源场称为无源场F的矢量位函数，简称的矢量位函数，简称矢量位矢量位。无源场无源场F通过任何闭合曲面通过任何闭合曲面S的通量等于零的通量等于零，即，即4)有源有旋场有源有旋场一般的情况下，如果在矢量场一般的情况下，如果在矢量场F的散度和旋度都不为零，即的散度和旋度都不为零，即 如果如果 ，则称矢量场，则称矢量场F为无源场。无源场为无源场。无源场F可以表示为可以表示为另一个矢量场的旋度，即另一个矢量
20、场的旋度，即 （3）无源有旋场可将矢量场可将矢量场F表示为一个无源场表示为一个无源场Fs和无旋场和无旋场Fi 的叠加，即的叠加，即其中其中Fs和和Fi分别满足分别满足 于是于是 因而，可定义一个标量位函数因而，可定义一个标量位函数u和矢量位函数和矢量位函数A A，使得，使得 重要的场论公式重要的场论公式1.1.两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。任何标量场梯度的旋度恒为零。任何矢量场的旋度的散度恒为零。任何矢量场的旋度的散度恒为零。在圆柱坐标系中：在圆柱坐标系中：在球坐标系中：在球坐标系中：在广义正交曲线坐标系中：在广义正交曲线坐标系中：2.2.拉普拉斯算子拉普拉斯算子 在直
21、角坐标系中：在直角坐标系中：3.3.常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式 基本要求1.掌握矢量在正交坐标系中的表示方法掌握矢量在正交坐标系中的表示方法2.掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的几何意义掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的几何意义3.掌握矢量积、标量积的计算掌握矢量积、标量积的计算4.了了解解矢矢量量场场散散度度的的定定义义，掌掌握握其其计计算算方方法法和和物物理理意意义义；掌掌握握散散度度定定理理的的内内容容，并能熟练运用。并能熟练运用。5.了了解解矢矢量量场场旋旋度度的的定定义义，掌掌握握其其计计算算方方法法和和物物理理意意义义；掌掌握握斯斯托托克克斯斯公公式式的的内内容，并能数量应用。容，并能数量应用。6.了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义7.了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换8.了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示9.正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。