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1、上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、杂例 7.6 空间直线及其方程上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology分析：点M在直线L上点M同时在这两个平面上 点M的坐标同时满足这两个平面的方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看作是两个平面的交线 设直线L是平面1和2的交线 平面的方程分别为 A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20 这就是空间直线的一般方程 来表示 那么直线
2、L可以用方程组上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、空间直线的对称式方程与参数方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 v方向向量 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量 当直线L上一点M0(x0 y0 x0)和它的一方向向量s(m n p)为已知时 直线L的位置就完全确定了 v确定直线的条件 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv直线的对称式方程 求通过点M0(x0 y0 x0)方向向量为s(m n p)的直线的方程 (xx0 yy0
3、 zz0)/s 从而有这就是直线的方程 叫做直线的对称式方程 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数 向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦 则从M0到M的向量平行于方向向量:设M(x y z)为直线上的任一点pzznyymxx000注上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology通过点M0(x0 y0 x0)方向向量为s(m n p)的直线方程:v直线的参数方程 t方设pzznyymxx000得程组此方程组就是直线的参数方程 pzznyymxx000上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemica
4、l Technologyn1(1 1 1)n2(2 1 1)平面xyz1和2xyz4的法线向量为 解 所求直线的方向向量为 例1用对称式方程及参数方程表示直线 .在方程组 中 令y0 得 解得x3 z2 于是点(3 0 2)为所求直线上的点 所求直线的对称式方程为 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyn1(1 1 1)n2(2 1 1)平面xyz1和2xyz4的法线向量为 解 所求直线的方向向量为 例1用对称式方程及参数方程表示直线 .在方程组 中 令y0 得 解得x3 z2 于是点(3 0 2)为所求直线上的点 所求直线的参数方程
5、为 x32t yt z23t 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1(m1 n1 p1)和 s2(m2 n2 p2)那么L1和L2的夹角j满足上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology方向向量分别为(m1 n1 p1)和(m2 n2 p2)的直线的夹角余弦:解 例2 求直线 与直线 的夹角的余弦 直线 与的方向向量分别为 两直线之间的夹角的余弦为 上页 下页 返回 退出
6、Jlin Institute of Chemical Technologyv两直线垂直与平行的条件 设有两直线 L1 L2m1m2n1n2p1p20;则方向向量分别为(m1 n1 p1)和(m2 n2 p2)的直线的夹角余弦:2L1111111pzznyymxxL:222222pzznyymxxL1 2L/踼212121ppnnmm上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示：四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角 当直线与平面垂直时 规定直线与平面的夹角为90 设直线的方向向
7、量为s(m n p)平面的法线向量为n(A B C)则直线与平面的夹角j 满足 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 方向向量为(m n p)的直线与法线向量为(A B C)的平面的夹角j 满足 v直线与平面垂直和平行的条件 设直线L的方向向量为s(m n p)平面 的法线向量为n(A B C)则 L/AmBnCp0 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例3 求过点(1 2 4)且与平面2x3yz40垂直的直线的方程 平面的法线向量(2 3 1)可以作为所求直线的方向向
8、量 由此可得所求直线的方程为 解 143221zyx 设直线L的方向向量为s(m n p)平面 的法线向量为n(A B C)则 L/AmBnCp0 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology五、杂例 解：例4 求过点(1 2 1)而与两直线 和 平行的平面的方程 直线 的方向向量为 直线 的方向向量为 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology五、杂例 解：例4 求过点(1 2 1)而与两直线 和 平行的平面的方程 所求平面的法线向量可取为 所求平面的方程为 (x1)(y2)(z1)
9、0 即xyz0 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology x2t y3t z42t 代入平面方程中 得 2(2t)(3t)(42t)60 解上列方程 得t1 将t1代入直线的参数方程 得所求交点的坐标为 x1 y2 z2 解 所给直线的参数方程为 例5 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 例6 的直线的方程 求过点(2 1 2)且与直线241312zyx垂直相交 所求直线的方向向量为 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0)过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为
10、(x2)(y1)2(z2)0 即xy2z7 此平面与已知直线的交点为(1 2 2)提示：求出两直线的交点是关键 而交点就是过已知点且与已知直线相垂直的平面与已知直线的交点上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 例6 的直线的方程 求过点(2 1 2)且与直线241312zyx垂直相交 所求直线的方向向量为 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0)过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为 (x2)(y1)2(z2)0 即xy2z7 此平面与已知直线的交点为(1 2 2)所求直线的方程为上页 下页 返回 退出 Jlin Insti
11、tute of Chemical Technology分析：因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 所以对于任何一个l值 上述方程的系数不全为零 从而它表示一个平面 分析：对于不同的l值 所对应的平面也不同 而且这些平面都通过直线L 即这个方程表示通过直线L的一族平面 分析：另一方面 任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中 v平面束 考虑三元一次方程:A1xB1yC1zD1l(A2xB2 yC2zD2)0 即 (A1lA2)x(B1lB2)y(C1lC1)zD1lD20其中l为任意常数其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 设直线L的一般方程为上页 下页 返回
12、 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体 称为平面束 v平面束 考虑三元一次方程:A1xB1yC1zD1l(A2xB2 yC2zD2)0 即 (A1lA2)x(B1lB2)y(C1lC1)zD1lD20其中l为任意常数其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 设直线L的一般方程为上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示：我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂直的平面 此平面与已知平面的交线就是所求的投影直线提示：这是平面束的法线向
13、量(1l 1l 1l)与已知平面的法线向量(1 1 1)的数量积 (xyz1)l(xyz1)0 即 (1l)x(1l)y(1l)z(1l)0 为了求得与已知平面xyz0垂直的平面 令 (1l)1(1l)1(1l)10 解 设通过已知直线的平面束的方程为 的方程 例7 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology即 yz10 2y2z20 于是得到与已知平面垂直的平面的方程为 解得l1 所以投影直线的方程为 (xyz1)l(xyz1)0 即 (1l)x(1l)y(1l)z(1l)0 为了求得与已知平面xyz0垂直的平面 令 (1l)1(1l)1(1l)10 解 设通过已知直线的平面束的方程为 的方程 例7 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角.直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）小结