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1、2016 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名
2、号的话）：所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 （打印并签名）：1.2.3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2016 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页评阅人评分备注赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：电池剩余放电时间预测摘 要近年来，我国相继颁布多项有关铅酸电池行业的发展政策规范，调整产业结构，淘汰落后产能企业，提高行业的准入门槛，加强对行业污染的整治力度，建立大企业主导的行业格局
3、。本文通过建立合理的假设，对铅酸电池放电时间与电压，电流等因素进行了相关分析，并经建立了多项式回归模型对电压与时间的关系进行了定量分析，得到了较为合理的结论。考虑到在开始的时间内电压不稳定，在多项式回归模型的基础上，引进指数回归模型进行推广。针对问题一,我们对已给样本数据进行整理分析，利用 Matlab 软件画出 9 种电流下的放电曲线的散点图，通过Excel 软件对进行三阶多项式进行拟合，各电流情况下的放电曲线，并进行了一定的定量分析。通过选取231 个样本并利用定义和所拟合的曲线方程求出 MRE。对我们所获得的数学模型，当u09.8v 时，得出电池的放电时间分别是3040506070602
4、432332278250电流强度/A 剩余放电时间/t(min)针对问题二，根据问题一中 9 个多项式的参数进行分析，我们利用 Matlab 的 cftool 工具，分析电流变化和多项式模型参数值的关系，采用了指数类函数进行拟合，同时我们通过 Matlab 编程易得出电压与电流时间的二元函数关系模型和 MRE 的值，经过与问题一中 MRE 的值进行比较与评估，所建立的函数模型建立较为合理。针对问题三，我们对附件2 所给样本数据进行统计分析，考虑到开始放电时所给的数规律性较差，所以我们从 30 min 后的数据进行处理分析；对于全新电池和已给的两个衰减状态数据进行处理，并进行误差分析，拟合情况较
5、好，故得出衰减状态3 的放电曲线方程，从而得出衰减状态 3 的剩余放电时间约为 211 min。【关键字】电池放电曲线Matlab回归分析预测22一、 问题重述蓄电池是一种直流电源，是化学能转变为电能的一种装置。1860 年法国普兰特发明铅酸蓄电池，经过一百多年生产应用得到了不断改进，开始应用于工业、农业、交通运输、邮电通讯科研等领域。随着汽车、摩托车、电动车、邮电通讯和计算机事业迅速发展，铅酸蓄电池的需求量逐年增加。自铅酸蓄电池被发明以来，因其价格低廉、原料易得、性能可靠、容易回收和适于大电流放电等特点，已成为世界上产量最大、用途最广泛的蓄电池品种，被广泛用于工业、军事、日常生活中。在铅酸电
6、池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压（Um，本文中为 9V）。从充满电开始放电，电压随时间变化的关系称为放电曲线。电池在当前负荷下还能供电多长时间（即以当前电流强度放电到 Um 的剩余放电时间）是我们研究的对象。电池通过较长时间使用或放置，充满电后的荷电状态会发生衰减。采样数据来源于同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试，及同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录。请你们根据题目提供的数据，回答以下问题：1根据同一生产批次放电测试信息，构建放电曲线，再运用所构建的放电曲线模型计算当电压为 9.8 伏时，以 30A,40A,50A,
7、60A 和 70A 的电流强度放电，所对应的电池剩余放电时间分别是多少。2. 建立以 20A 到 100A 之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，并用MRE 评估模型的精度。用表格和图形给出电流强度为 55A 时的放电曲线。3. 根据同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录，预测电池衰减状态 3 的剩余放电时间。二、 符号说明及名词定义符号符号说明MREt aitit N TSbiA U TuCteStyyitiTiTmu0ki平均相对误差放电时间参数模型估计已放电时间采样已放电时间 提取样本点数量 剩余放电时间参数 自变量电压放电时间电压残差绝对值与实际值的百分
8、比衰减状态残差各衰减状态的实际值实际放电时间模型估计放电时间最低保护电压对应的放点时间电池电压为u 时的时间0参数三、基本假设1. 假设搜集的数据信息真实有效；2. 假设湿度、温度、气压等外部因素均不影响电流强度放电测试；3. 假设铅酸电池在试验过程中内阻变化不影响电流强度放电测试；4. 假设铅酸电池在放电过程中电流强度不会发生变化；5. 假设同一生产批次电池出场时都合格，电动势的大小均接近于相同的稳定值。四、 问题分析4.1 背景分析铅酸电池就是靠电解液和铅板来做成的电池，可以反复的充电和放电，直到里面的电解液浓度低到不能蓄电。在电源发生故障时，需要后备蓄电池进行供电，但是由于未能及时发现失
9、效蓄电池，导致后备电源无法起到其相应的作用或剩余放电时间预估不准确，无法合理进行油机调度或管理，那都将造成重大的甚至是灾难性的事故或经济损失。因此，蓄电池健康状况的检测一直是后备用电池领域重点关注的内容之一，蓄电池健康与否是系统可靠性依赖的最后一个环节，同时也是可靠性最薄弱环节。4.2 问题一分析根据附件 1，本文抽取同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电的采样数据， 进行分析整理，构建出放电曲线模型，对放电情况做出一些简单的分析和总结，并分别求出各放电曲线的平均相对误差（MRE）。根据我们获得的放电曲线模型，在电压都为9.8 伏时，推算不同电流强度的放电剩余时间。4.3 问题二分析为了更准
10、确的研究放电时间规律，我们根据问题一所得9 种模型关系，初步得出了时间与电压电流的相关关系，逐步得出以 20A 到 100A 之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线模型。并用 MRE 评估模型的精度，以达到获得更为精准的数据。55A 时的放电曲线。进一步提高模型的拟合度，完善模型。4.4 问题三分析本文抽取同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数 据，根据附件 2 的资料，先画一条电压曲线，可以看出一定的规律，因为开始一段的电压并不稳定，因此我们研究 30min 以后的情况，根据它们的规律，我们便可以预测出附件 2 中电池衰减状态 3 的剩余放电时间。五、 模型的建立与求解
11、5.1 问题一模型的建立与求解在电源发生故障时，需要后备蓄电池进行供电，但是由于未能及时发现失效蓄电池， 导致后备电源无法起到其相应的作用，或剩余放电时间预估不准确，无法合理进行油机调度或管理，那都将造成重大的甚至是灾难性的事故或经济损失。因此，蓄电池健康状况的检测一直是后备用电池领域所重点关注的内容之一，蓄电池健康与否是系统可靠性依赖的最后一个环节，同时也是可靠性最薄弱环节。5.1.1 模型一：基于放电曲线建立多项式回归模型对于附件 1 所提供的数据，本文通过提取放电时间随电流强度的相关数据，做出放电时间与电流强度对应关系表，结果如下图表 1，203040506070809010037642
12、454172413081044862730620538表 1放电时间随电流强度变化表电流强度/A放电时间/t(min)根据上述表格相关数据得出放电时间随电流强度变化散点图如图 1，图 1 放电时间随电流强度变化散点图根据图 1 得到当电流强度逐渐增大时放电时间呈现单调下降，通过对题目的附件 1 中所提供的同一生产批次电池出厂时不同电流强度放电测试数据，因为开始的一段电压并不稳定，因此我们研究 20min 后的电压情况，利用三次函数进行拟合，将数据导入Excel 表格中，得相关曲线及参数如图 2。图 2 不同电流下电压随时间变化曲线图观察易知随着放电时间的增加，电压也逐渐接近额定的最低保护电压（
13、 Um，本题中为 9v）且呈现单调下降，根据图 2，可拟合电压 U 与放电时间 t 的多项式回归模型U (t )= a t 3 + a t 2 + a t + a,（1）3210其中， a （i=0，1，2，3）为相关系数。i根据图 2 不同电流下电压随时间变化曲线图拟合的多项式回归方程分别如下表 2：表 2不同电流强度值下的拟合曲线方程电流强度/A拟合曲线方程R220U (t ) = 2E -11t3 + 6E - 08t2 - 0.0003t + 10.627R2 = 0.99530U (t )=-1E -10t3 + 3E - 07t2 - 0.0006t + 10.669R2 = 0.
14、99540U (t )= 3E -10t3 + 5E - 07t2 - 0.0008t + 10.623R2 = 0.99650U (t )= 8E -10t 3 + 9E - 07t 2 - 0.001t + 10.578R2 = 0.99660U (t )= 6E - 09t3 + 7E - 06t2 - 0.0021t + 10.562R2 = 0.99670U (t )= -1E - 09t3 + 1E - 06t2 0.0012t + 10.54R2 = 0.99680U (t ) = - 4E - 09t3 + 3E - 06t2 0.0016t + 10.443R2 = 0.99
15、790U (t ) = - 7E - 09t3 + 4E - 06t2 0.0019t + 10.411R2 = 0.997100U (t ) = -1E - 08t3 + 5E - 06t2 0.0021t + 10.378R2 = 0.9975.1.2 模型二：平均相对误差（MRE）由平均相对误差的定义可建立 MRE 模型为：1 N t - t MRE = N i t ii=1 i(2)通过观察放电预测电池容量，根据定义知放电时间的精度取决于放电曲线在低压段的质量，但是放电曲线等时间间隔采样在低压段的采样点稀疏，基于这个事实原题附件1 中从Um开始按不超过 0.005V 的最大间隔，提取
16、231 个电压样本点。当I = 80A ，根据公式（1）可知，时间 T 关于电压 u 的多项式模型，即T (u)= k u3 + k u2 + k u + k(3)3210其中k ，i 取 0，1,2,3，为相关系数，u 为电压i得到当电流强度为 80A 时所对应的 T-u 的函数关系式为T (u)= -74.472u3 +1792.9u2 -14241u + 37962R2 = 0.9999根据Um开始按不超过 0.005V 的最大间隔，提取 231 个电压样本点即令 N = 231 ，见附件 1，当I = 80A 时，平均相对误差 MRE=0.006505.同理可知其他相关电流强度所对应的
17、 MRE 值见下表 3，表 3对应电流强度的 MRE 的值电流强度/A2030405060708090100MRE0.00483 0.00614 0.004630.00240.00426 0.00978 0.00651 0.018930.044885.1.3 模型三由模型二可知，时间 T 关于电压 u 的多项式模型，即T (u)= k u3 + k u2 + k u + k ，3210（其中k ，i 取 0，1,2,3，为相关系数，u 为电压），当以一恒定电压时，求解剩余放i电时间在不同电流强度的下的值，建立模型如下T = T -TSmu0(4)在新电池使用中电压一定，即 u=9.8v，以电流
18、强度为 70A 时为例， 此时 T (u)= -70.391u3 +1621.8u2 -12132u + 29999R2 = 0.9999，将电压 u=9v 和 u=9.8v 分别代入求解后利用公式(3)解得T = 250 minS同理可知，其他电流强度值在电压均为 9.8v 所对应的剩余放电时间如下：电流强度/A 剩余放电时间/t(min)表 4同电压下不同电流强度对应的剩余放电时间30405060706024323322782505.2 问题二模型的建立与求解根据 9 个不同电流下的 3 次多项式的参数进行分析，我们利用 Matlab 的 cftool 工具分析电流 I 和多项式模型参数值
19、的关系，发现安培数每增加 10，参数值下降一个数量级（同样需要单调），因此，采用了指数函数，可以发现拟合效果较好， 故建立模型U = a eb A + a eb At + a eb At2 + a eb At301230123（5）其中a , b 为参数， i = 0,1,2,3 ， A, t 为自变量。ii将 EXCEL 的数据处理导入 Matlab 软件中，并建立求解参数相关的程序如图 3 和散点图如图 4图 3参数求解程序图图4电流散点图得到模型参数为下表5：表5模型各参数值a3-1.61E-09b30.08772a25.93E-07b20.07116a1-0.000395b10.040
20、87a010.64b0-0.0001利用已得到的模型，容易获得55A的放电曲线和表格，编辑Matlab程序见附件2，得到如下放电曲线图:图5 电流强度为55A时的放电曲线且放电曲线散点的表格见附件 3对于在已建立的数学模型中编程，程序见附件可得到 MRE 如下表6：表 6不同电流强度下的 MRE 值电流强度/A2030405060708090100MRE0.00376 0.00630 0.00325 0.00364 0.00365 0.00896 0.00674 0.009890.033045.3 问题三模型的建立与求解根据附件 2 所提供的数据预测衰减状态 3 的剩余放电时间，先将数据放到
21、matlab 的 cftool 工具里面拟合，首先，这个函数肯定是单调递减的。可以发现用 3 次函数拟合，故建立模型T = b u3 + b u2 + b u + b（6）3210将 EXCEL 的数据处理导入 Matlab 软件中，并建立求解参数相关的程序和散点图， 因为开始一段的电压并不规律，因此我们研究30min 以后的情况，同样用3 次函数进行拟合，可以得到如图曲线，图 6不同状态下的放电曲线图由图像可知，放电时间在前30分钟时，电压不稳定，对后面数据模型的研究存在误 差影响，不能具有代表性。将附件 2 中的相关数据通过 Excel 处理导入 Matlab 软件中利用 matlab 的
22、 cftool 工具里面拟合，得到全新电池状态下拟合函数T (u) = - 231.63u3 + 6037u 2 - 52485u + 153509R2 = 0.999当电压为 9V 时，代入此公式求得剩余放电时间为 1282.7min.与采样新电池放电状态下的时间 1281.1min 吻合度达到 99%以上。同理可判断衰减状态 1、衰减状态 2 电压为 9V 时的放电时间。现对拟合函数进行误差分析，根据公式（3）,利用附件 2 中的前三个电池状态中各个自变量的数据进行预测，通过预测得到的数据与实际数据进行比较，计算出回归方程的误差，本文通过残差进行检验，残差的计算公式为：e = yti y（
23、7）i计算的得到的预测值和残差如下表 7状态9V 实际放电9V 模型估计残差e表 7：预测值及残差时间放电时间t新电池状态1281.11282.71.60衰减状态 11104.81105.20.40衰减状态 2979972.2-6.80根据表 7 中各衰减状态的残差值，分别计算出残差绝对值与实际数据的比值，公式etC =100%i = 1,2,3（8）tSt式中, C 表示残差绝对值与实际值的百分比， ett衰减状态的实际值。各衰减状态残差绝对值，St表示各理想的即误差较小的函数残差跟实际数据的比值百分比比较小。通过计算得到如下结果表 8：残差绝对值与实际值的百分比状态新电池状态衰减状态 1衰
24、减状态 2比值0.12%0.04%0.69%通过上表的数据可以看出每个月份残差绝对值与实际值的百分比都低于 1%，拟合程度高。故可以预测衰减状态 3 的剩余放电时间。因为 30min 前电压状态不稳定，通过 Excel 处理讲衰减状态 3 数据导入 Matlab 软件中利用 matlab 的 cftool 工具里面拟合得到散点图如图 7图 730min 后衰减状态 3 的放电曲线图根据图 7 拟合得到曲线方程T (u) = -127.66u 3 + 3301.5u 2 - 28506u + 83004R 2 = 0.9999求得当电压值为 9.0v 的放电时间 807.4min，从而得出衰减状
25、态 3 的剩余放电时间约为 211min。七、模型的推广1、本文在模型的建立与求解过程中，详细的说明并绘制出相应的图表，分析了有关铅酸电池放电预测的各类信息。在核算过程中，考虑了铅酸电池在不同环境条件下，对其放电时间的影响，但在解决其问题的思路和模型运用方面具有普遍性。2、本文通过国家近年来对铅酸电池行业发展的政策和规范，以各种约束条件，对预测放电时间进行数据分析，研究其项目的可行情况。3、本文所建立的模型不仅仅局限于解决如何提高铅酸电池的利用率问题，对其他新型能源的开发和研究具有借鉴作用。4、在 G20 杭州峰会上，新型能源作为在新技术的基础上加以开发利用的可再生能源， 各国领导人致力于制定
26、新能源战略，推动可再生能源的运用，促进可再生能源生产和利用领域投资的便利化。而这种资源的节约采集和合理利用，为今后的中国经济发展给出了新的战略定位，对我国经济的又一进步起到重要作用。八、模型的评价优 点 1、本文对问题一，进行全面分析，我们采用三次函数进行研究，当电流越大，放电时间越小，三次函数相比其他函数较为精确。 2、原创性很强，本文中所有的模型都是自行推导建立的。3、本文在正确，清楚地分析了题意的基础上，建立了模型，更精确的预测了电池放电时间，得到了合理化的设计。4、模型的计算采用专业的 matlab 软件，准确度较高，可信度较高。缺点1、数据具有局限性，当阶数越高，精确度越高。2、在某
27、些参数的确定上，由于缺乏数据，不免有主观成分的存在。3、当拟合的数值不同时，精确度也不同。九、参考文献1李德宜，李明.数学建模.北京:科学出版社,2009. 2陈东彦,李冬梅,王树忠.数学建模.北京:科学出版社，2007. 3颜文勇.数学建模.北京:高等教育出版社，2011.6. 4严喜祖,宋中民,毕春加.数学建模及其实验.北京:科学出版社，2009. 5周品,赵新芬.MATLAB 数学建模与仿真.北京：国防工业出版社，2009. 6叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（一）.长沙：湖南教育出版社，1993. 7杨启帆，边馥萍.数学模型.杭州：浙江大学出版社，1990.8Mark M M.数学建
28、模方法与分析.刘来福，杨淳，黄海洋译.北京：机械工业出版社， 2005.9寿纪麟.数学建模方法与范例.西安：西安交通大学出版社，1993. 10李大潜.中国大学生数学建模竞赛（第二版）.北京：高等教育出版社，2001. 11齐欢.数学模型方法.武汉：华中理工大学出版社，1996. 12何晓群，刘文卿.应用回归分析。北京：中国人民大学出版社，2001. 13方开泰，金辉，陈庆云.实用回归分析.北京：科学出版社，1988.十、附 录附件 1序号样本点采样时间模型估计值 相对误差序号样本点采样时间模型估计值 相对误差110.2943120116.63330.028111710.0243352352.
29、1310.0004210.2929122118.03750.032511810.0214354354.2910.0008310.2914124119.53970.03611910.0186356356.3690.001410.2886126122.33780.029112010.0164358357.9987E-06510.2871128123.83350.032612110.0136360360.0640.0002610.2850130125.92370.031412210.0107362362.1960.0005710.2829132128.00940.030212310.00793643
30、64.2480.0007810.2814134129.49650.033612410.0050366366.3660.001910.2786136132.26630.027512510.0029368367.8950.00031010.2764138134.43710.025812610.000037037001110.2750140135.81590.02991279.9971372372.0980.00031210.2729142137.88050.0291289.9943374374.1160.00031310.2707144140.03870.02751299.9914376376.1
31、990.00051410.2686146142.09420.02681309.9886378378.2030.00051510.2664148144.24280.02541319.9857380380.2720.00071610.2650150145.60760.02931329.9829382382.2620.00071710.2629152147.65110.02861339.9800384384.3160.00081810.2607154149.78720.02741349.9779386385.7990.00051910.2579156152.49890.02241359.974338
32、8388.3320.00092010.2564158153.94840.02561369.9714390390.3640.00092110.2543160155.97390.02521379.9686392392.320.00082210.2521162158.09110.02411389.9664394393.8510.00042310.2500164160.10760.02371399.9629396396.2790.00072410.2479166162.11970.02341409.9600398398.2830.00072510.2457168164.2230.02251419.95
33、71400400.2790.00072610.2436170166.22610.02221429.9543402402.20.00052710.2414172168.320.02141439.9514404404.1820.00052810.2400174169.64990.0251449.9486406406.0890.00022910.2371176172.39870.02051459.9450408408.5310.00133010.2350178174.38390.02031469.9421410410.490.00123110.2329180176.36480.02021479.94
34、00412411.9040.00023210.2307182178.43540.01961489.9364414414.3190.00083310.2286184180.40740.01951499.9336416416.190.00053410.2257186183.12360.01551509.9307418418.120.00033510.2236188185.08520.01551519.9279420419.9785E-053610.2221190186.48380.01851529.9243422422.3560.00083710.2200192188.4380.01861539.
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38、01111719.8650460459.9628E-055610.1764230228.04110.00851729.8621462461.7260.00065710.1743232229.90220.0091739.8586464463.8460.00035810.1721234231.84730.00921749.8557466465.5950.00095910.1693236234.31620.00711759.8521468467.7570.00056010.1671238236.25080.00731769.8493470469.4310.00126110.1650240238.09
39、320.00791779.8457472471.5740.00096210.1629242239.93130.00851789.8421474473.7060.00066310.1607244241.85240.00881799.8386476475.7690.00056410.1579246244.29080.00691809.8357478477.470.00116510.1557248246.20140.00731819.8314480479.9814E-056610.1529250248.62650.00551829.8286482481.6080.00086710.150725225
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