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1、第第一一讲讲直角三角形中的相似问题直角三角形中的相似问题1 基础知识讲解基础知识讲解2CONTENTS例例 题题 讲讲 解解习习 题题 专专 练练4课课 程程 总总 结结P a r t1直角三角形中的相似直角三角形中的相似问题问题直角三角形直角三角形你知道直角三角形的哪些性质你知道直角三角形的哪些性质?1.1.勾股定理勾股定理:2.2.斜边上中线斜边上中线=斜边的一半斜边的一半;3.3.外接圆的圆心是斜边的中点外接圆的圆心是斜边的中点.还有什么性质还有什么性质?复习复习在在Rt 中，中，=90 ,有有_.(1)一组锐角相等（一组锐角相等（AA判定相似）判定相似）(2)SAS判定相似，夹角是直角
2、判定相似，夹角是直角(3)HL判定相似，但不能直接用判定相似，但不能直接用(常用方法常用方法常用方法常用方法)复习复习直角三角形中的相似问题直角三角形中的相似问题 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。如下图个点在这条直线上的正射影。如下图一、射影的概念一、射影的概念A AA A M MN N 一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段，如下图一、射影的概念一、射影的概念A AB BA A BBM MN N如图，在如图，在ABC中，中，C=90，CDAB此图中有几个直角三角形，它们相似吗？此图中有几个直角
3、三角形，它们相似吗？二、直角三角形的射影定理二、直角三角形的射影定理1.AC1.AC2 2ABABADAD3.BC3.BC2 2ABABBDBD2.CD2.CD2 2ADADBDBD求证求证：A AB BD DC C如图，如图，在在ABC中，中，C=90，CDAB 由母子相似定理，得由母子相似定理，得推出：推出：所以：所以：CADB同理，得：同理，得：BCDBCD二、直角三角形的射影定理二、直角三角形的射影定理CADBAC是是AD,AB的比例中项。的比例中项。BC是是BD,AB的比例中项。的比例中项。CD是是BD,AD的比例中项的比例中项。那么那么AD与与AC，BD与与BC是什么关系呢？是什么
4、关系呢？这节课，我们先来学习射影的概念。这节课，我们先来学习射影的概念。二、直角三角形的射影定理二、直角三角形的射影定理如图，在如图，在ABC中，中，C=90，CDAB此图中有几个直角三角形，它们相似吗？此图中有几个直角三角形，它们相似吗？二、直角三角形的射影定理二、直角三角形的射影定理1.AC1.AC2 2ABABADAD3.BC3.BC2 2ABABBDBD2.CD2.CD2 2ADADBDBD结论结论：A AB BD DC CA AB BC CD DACAC2 2ABABADADBCBC2 2ABABBDBDCDCD2 2ADADBDBD二、直角三角形的射影定理二、直角三角形的射影定理
5、直角三角形射影定理：直角三角形射影定理：直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边的在斜边上射影的乘积的在斜边上射影的乘积A AB BC CD D二、直角三角形的射影定理二、直角三角形的射影定理射影的三个结论只能用在射影的三个结论只能用在射影的三个结论只能用在射影的三个结论只能用在直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形中中中中,且必须有且必须有且必须有且必须有斜边上的高斜边上的高斜边上的高斜边上的高CADB要用射影的三个结论必须要进行简单的证明
6、要用射影的三个结论必须要进行简单的证明要用射影的三个结论必须要进行简单的证明要用射影的三个结论必须要进行简单的证明结论结论 CDCD时时时时RtRtABCABC斜边上的高斜边上的高斜边上的高斜边上的高BCDBCD BACBAC BC BC2 2ABABBDBD二、直角三角形的射影定理二、直角三角形的射影定理如图如图,在在ABC中，中，C=90，CDAB若若AD=2cm,DB=6cm,求求 CD，AC,BC的长。的长。例例1CADB例题讲解例题讲解如图如图,若若AD=2cm,DB=6cm,求求CD，AC,BC的长。的长。例例1解解:答答:CD,AC,BC的边长分别为的边长分别为CADB分析：利用
7、射影定理和勾股定理分析：利用射影定理和勾股定理1、如图、如图,在在ABC中，中，C=90，CDAB若若AD=1，AC=3，求求 BD的长。的长。习题专练习题专练CADB例例2：在：在ABC中，中，BAC=90，D为为AC中点，中点，AEBD，E为垂足，为垂足，求证：（求证：（1）（2）DCEDBC （3）CBD=ECDABCDE例题讲解例题讲解2、如图、如图,在在ABC中，中，AD BC，DE AB,DF AC，求证：求证：AE AB=AF AC习题专练习题专练1 1、已知，如图，、已知，如图，、已知，如图，、已知，如图，FDFD BCBC，ACAC BFBF（1 1）、写出与）、写出与）、写
8、出与）、写出与 ABCABC相似的所有三角形相似的所有三角形相似的所有三角形相似的所有三角形 。（2 2）、求证：）、求证：）、求证：）、求证：ABCABCADE ADE 。E ED DC CB BA AF F习题专练习题专练CADB2、如图、如图,在在ABC中，中，C=90，CDAB若若BC=，CD=3，求求AC的长。的长。习题专练习题专练如图，圆如图，圆如图，圆如图，圆0 0上一点上一点上一点上一点C C在直径在直径在直径在直径ABAB上的射影为上的射影为上的射影为上的射影为D,AD=D,AD=2，DB=8,=8,求求求求CDCD、ACAC和和和和BCBC的的的的长长CADOB习题专练习题
9、专练A AB BC CD D如图，如图，ABCABC中，顶点中，顶点C C在在ABAB边上的射影为边上的射影为D D，且，且求证：三角形是直角三角形求证：三角形是直角三角形CDCD2 2ADADBDBD习题专练习题专练例例2.如图如图,在在 中中,分析分析:欲证欲证 已具备条件已具备条件要么找角要么找角,要么找边要么找边.CEADFB习题专练习题专练证法一证法一：例例2.如图如图,在在 中中,CEADFB习题专练习题专练如图，如图，ABC中，中，C=90，CDABCADB运用射影结论时，注意运用射影结论时，注意前提条件前提条件前提条件前提条件和和方法方法方法方法1.AC1.AC2 2ABABADAD3.BC3.BC2 2ABABBDBD2.CD2.CD2 2ADADBDBD结论结论：小结小结(1)在在RTABC 中中,CD为斜边为斜边AB上的高上的高,图中共有图中共有6条线段条线段AC,BC,CD,AD,DB,AB,已知任意两条已知任意两条,便可求出其余四条便可求出其余四条.(2)射影定理中每个乘积式中射影定理中每个乘积式中,含三条线段含三条线段,若已知两条若已知两条 可可求第三条求第三条.(3)解题过程中解题过程中,注意和勾股定理联系注意和勾股定理联系,选择简便方法选择简便方法.你都弄懂了吗？你都弄懂了吗？小结小结