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1、数数 字字 图图 像像 处处 理理第五章第五章 图像复原图像复原为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原图像退化模型退化参数估计逆滤波复原维纳滤波复原约束最小平方滤波复原等功率谱滤波复原图像几何复原为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原实际成像过程中，由于各种原因使图像质量下降（图像退化，图实际成像过程中，由于各种原因使图像质量下降（图像退化，图像降质）像降质）原因：随机因素（噪声或其它随机干扰）系统误差（散焦，几何畸变，相对
2、运动，大气湍流，等）图像复原将退化图像恢复成原图像（提高逼真度）要求：对退化机制（物理过程）有足够的了解建立退化模型，然后“逆向”进行补偿。实际的退化过程很复杂，退化模型是近似描述复原后的图像只是对原图像的一个估计，即在某种准则下的最优估计。图像复原一定是在某种准则（客观评价标准）下实现的。图像复原一定是在某种准则（客观评价标准）下实现的。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原一、退化模型g(x,y)=Hf(x,y)+n(x,y)退化图像退化系统算子噪声一般情况下，H可以视为线性空不变系统。设其冲激响应为h(
3、x,y)。则有：g(x,y)=f(x,y)h(x,y)+n(x,y)图像f(x,y)经退化系统作用后变为降质图像g(x,y)。G(u,v)=F(u,v)H(u,v)+N(u,v)频域形式：点扩散函数(PSF)为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原q 退化模型的离散形式 一维情况设f(x)有A个采样值，h(x)有B个采样值。计算离散卷积时，为了避免交叠误差，需要将f(x)和 h(x)扩展为周期是N=A+B1的周期函数，即：fe(x)=f(x)0 x A0 A x N he(x)=h(x)0 x B0 B x N
4、为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原不考虑噪声时，输出为：ge(x)=f(x)h(x)=n=0N-1 fe(n)he(x n)ge(x)周期为N 的周期函数。上述离散卷积可以表示为矩阵形式：g=H fge(0)ge(1)ge(2)ge(N1)he(0)he(1)he(2)he(N+1)he(1)he(0)he(1)he(N+2)he(2)he(1)he(0)he(N+3).he(N1)he(N 2)he(N3)he(0)fe(0)fe(1)fe(2)fe(N1)=为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会
5、主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原因he(x)是周期函数：he(x)=he(N+x)，则有he(0)he(N1)he(N 2)he(1)he(1)he(0)he(N1)he(2)he(2)he(1)he(0)he(3).he(N1)he(N 2)he(N3)he(0)H=H矩阵的每一行都是前一行向右循环移位的结果循环矩阵。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原 二维情况推广到二维:设 f(x,y)AB;h(x,y)CD;扩展为 MN 个元素；M=A+C 1；N=B
6、+D 1；fe(x,y)=f(x,y)0 x A;0 y B;0 A x M;B y N;he(x,y)=h(x,y)0 x C;0 y D;0 C x M;D y N;为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原 ge(x,y)=n=0N-1 fe(m,n)he(xm,yn)m=0M-1矩阵形式 g=H ffe(0,0)fe(0,1)fe(0,N1)fe(1,0)fe(1,1)fe(1,N1)fe(M1,0)fe(M1,1)fe(M1,N1)f=（g 与 f 构成形式相同）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应
7、社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原H为 MN MN 维矩阵，包括 M M 个块，每一块的大小为N N。H0HM-1HM-2H1H1H0HM-1H2H2H1H0H3HM-1HM-2HM-3H0he(j,0)he(j,N1)he(j,N2)he(j,1)he(j,1)he(j,0)he(j,N1)he(j,2)he(j,N1)he(j,N2)he(j,N3)he(j,0)H =Hj =为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原 Hj 是循环矩阵；且H中各分块的下标变化
8、也是右移循环的。H分块循环矩阵。离散退化模型的一般形式：g=H f+n (n为噪声）图像复原已知 H 和 n，由退化图像 g 得到原图像 f 的估计f实际的复原过程是设计一个滤波器，使其能从降质图像中计算得到原真实图像的一个最优估计。广义上讲，图象复原是一个求逆问题，逆问题经常存在非唯一解，甚至无解。为了得到逆问题的有用解，需要有先验知识以及对解附加某些约束条件。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原二、退化参数的估计估计退化系统的点扩散函数（PSF）以及噪声的统计特性。（1）已知退化机制运动模糊的点扩散函数
9、相机与景物之间有相对运动的情况：已知(t)，(t)分别是位移 x 和 y 的分量，T为曝光时间。则降质图像为g(x,y)=T/2T/2 f(x(t),y(t)dt为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原做傅立叶变换：exp(j2(ux+vy)dxdyT/2T/2 f(x(t),y(t)dtG(u,v)=令 =x(t);=y(t);有G(u,v)=expj2(u(t)+v(t)f(,)exp(j2(u+v)ddT/2T/2dt=F(u,v)expj2(u(t)+v(t)dtT/2T/2=F(u,v)H(u,v)为
10、了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原H(u,v)=expj2(u(t)+v(t)dtT/2T/2设为直线运动：(t)=at；(t)=bt；则H(u,v)=expj2(uat+vbt)dtT/2T/2expj2KtdtT/2T/2=sin(KT)K exp(jKT)(令 K=ua+vb)物理解释？为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原光学系统散焦模糊的传递函数散焦情况下，点光源成像为圆斑，其传递函数为d散焦点扩散函数的直径（参
11、数）J1()一阶贝塞尔函数J1(d)dH(u,v)=（或者，简化为高斯函数）（或者，简化为高斯函数）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原大气湍流模糊的传递函数k与湍流性质有关的参数；（长时间曝光情况下）(a)可忽略的湍流；(b)剧烈湍流；k=0.0025;(c)中等湍流；k=0.001;(d)轻微湍流；k=0.00025;abcd为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原（2）根据后验知识估计 利用图像中的点、线 、边 用实验
12、方法获得退化系统的点扩散函数的数值化形式。对于点或线，直接测量模糊后的灰度分布形式代替点扩散函数；对于阶跃边缘，用测量模糊后的灰度分布的导数代替点扩散函数；阶跃边缘的导数为Dirac函数；且有（利用边线时，测得的结果是与其垂直方向上的一维点扩散函数）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原（3）噪声统计特性的估计（一般假设为加性、高斯白噪声）选取图像中较大的平坦区域，计算局部灰度的各阶矩及其功率谱，以此作为对整个图象噪声的估计。或者，由整个图像功率谱估计噪声功率谱由退化模型得到：退化图像功率谱原图像功率谱噪声功
13、率谱Sg(u,v)=|H(u,v)|2 Sf(u,v)+Sn(u,v)SgSfSn信号能量集中在低频段，噪声能量在高频段突出可以在功率谱上分开为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原三、图像滤波复原寻找滤波器传递函数，在频域做滤波，然后变换到空域，得到对原图像的估计。（1）逆滤波复原）逆滤波复原由退化模型 G(u,v)=F(u,v)H(u,v)+N(u,v)若不考虑噪声，得：G(u,v)H(u,v)F(u,v)=故逆滤波传递函数为1H(u,v)HI(u,v)=（反向滤波器）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适
14、应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原逆滤波结果：F(u,v)=HI(u,v)G(u,v)=G(u,v)H(u,v)=F(u,v)+N(u,v)H(u,v)噪声放大问题此项严重影响复原效果。若H(u,v)有零点或很小，导致噪声放大。而且，一般在离原点较远时衰减很快，但噪声信号处于高频范围。N(u,v)H(u,v)因此复原只能局限于频域中的有限区域，且选择信噪比高的频率。F(u,v)N(u,v)H(u,v)F(u,v)N(u,v)H(u,v)10w=F(u,v)=F(u,v)+N(u,v)H(u,v)w方法*为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应
15、社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原方法*通过对待复原图像进行低通滤波限制复原范围。a bc d(a)没有低通限制的全滤波(b)截止频率为40(c)截止频率为70(d)截止频率为85（采用10阶巴特沃斯低通）逆滤波对大气湍流图像(b)进行复原为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原（2）维纳滤波复原（最小均方误差滤波）维纳滤波复原（最小均方误差滤波）设原图像 f 的估计为 f，均方误差定义为：e2=E(f f )2若：f 与噪声不相关，且噪声均值为零，则使上述误差
16、函数最小的解在频域的形式为：Sn，Sf 分别为噪声及原图像的功率谱。“信噪比”为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原要求知道噪声与图像统计特性（功率谱）避免了逆滤波的噪声放大问题：若H(u,v)=0，但 ,则 Hw(u,v)=0 若 0 （信噪比高），则 Hw(u,v)1H(u,v)反之，若信噪比差，则 Hw(u,v)0。一般情况下，Sn 与 Sf 难以预先知道，可以利用下式：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原（k为可调
17、节的参数）实际上，最小二乘准则与人的视觉准则并不匹配（人眼对暗处和高梯度区域的误差比其它区域具有更大的容忍性）。（3）约束最小平方滤波复原）约束最小平方滤波复原准则准则在满足约束条件下，使所定义的 平滑函数最小。定义平滑函数：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原由退化模型得约束方程在满足此约束条件的同时，求在满足此约束条件的同时，求 f，使平滑函数，使平滑函数 (f)最小。最小。此问题的解在频域的形式为：（为待定参量，只与噪声的均方差有关）为待定参量，只与噪声的均方差有关）为了规范事业单位聘用关系，建立和完
18、善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原可以采用其它平滑性度量，如：则在同样的约束条件下，使(f)最小的解为：其中，P(u,v)是 p(x,y)的付氏变换，而p(x,y)的形式为：010141010 p(x,y)=Laplacian变换的掩摸形式是需调整的参数，以满足约束方程。无噪声时=0，变为逆滤波。一般需要迭代求解。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原（4）等功率谱滤波复原）等功率谱滤波复原准则准则使得复原图像的功率谱与原图像相等，即：设则根据准则，有(
19、5-3-4-1)为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原由退化模型：g(x,y)=h(x,y)f(x,y)+n(x,y)g g=hf+n hf+n f n=0=(hf)(hf)+n n+2(hf)n 设 f(x,y)与 n(x,y)不相关，则两边做傅立叶变换：则 Sg(u,v)=H(u,v)2 Sf(u,v)+Sn(u,v)代入(5-3-4-1)，得 自相关为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原 当H(u,v)=0时，Hp(u
20、,v)0 （而维纳滤波器的Hw(u,v)=0）；当无噪声时，转化为逆滤波器；由于维纳滤波器在某些点处的频率响应为零，会导致频率响应起伏较大 在空域产生虚假的纹理模式。等功率谱滤波器具有很强的复原能力，在某些情况下，性能优于维纳滤波器。HwHp为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原逆滤波复原和维纳滤波复原的比较a bc d e(a)原图；(b)退化图像(c)全逆滤波(d)有限频域逆滤波(e)维纳滤波为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权
21、益图像复原(a)运动模糊及噪声污染的图像；(b)逆滤波结果；(c)维纳滤波结果；(d)-(f)同样的序列，但噪声方差小了一个数量级；(g)-(i)同样的序列，但噪声方差小了5个数量级；abcdefghi为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原约束最小平方滤波维纳滤波为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原四、图像代数复原方法对于离散图像，若退化系统为线性空不变，且噪声为加性，可以将图像复原统一在代数复原方法的框架内进行。准则为最
22、小二乘准则。（1）非约束复原）非约束复原退化模型 g=Hf+n定义代价函数：J(f)=|g Hf|2 (5-4-1)在没有任何约束条件下，寻找使 J(f)为最小的解f为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原由 J(f)=(g Hf)T(g Hf)令J(f)f=02HTg+2HTHf=0（H为分块循环矩阵），设逆H-1存在，有=(HTH)-1 HTgf得=H-1(HT)-1 HTg=H-1gfXT代表X的共轭转置为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和
23、职工的合法权益图像复原H 可表示为 H=WDW-1D 对角矩阵（其值由H的特征值组成）W 对角化矩阵（其列由H的特征向量组成）循环矩阵对角化方法循环矩阵对角化方法=H-1g=(WDW-1)-1g=WD-1W-1gf有=D-1W-1gW-1fW-1的元素是离散傅立叶变换核；D的元素是h(x,y)的离散傅立叶变换的离散付氏变换fg 的离散付氏变换所对应的连续形式为：G(u,v)H(u,v)F(u,v)=（即逆滤波）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原（2）约束复原）约束复原令令Q为为f 的线性算子（则的线性算子
24、（则 Qf 是对图像是对图像 f 的滤波运算），在的滤波运算），在满足约束的条件下，使满足约束的条件下，使|Qf|2 为最小。为最小。|Qf|2 min 滤波作用（去噪）|g Hf|2=|n|2 约束（依据复原要求）利用拉格朗日乘子法，定义代价函数：J(f)=|Qf|2+L(|g Hf|2|n|2)（L为乘子）J(f)f=0J(f)L=0要求：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原=2QTQf 2LHT(g Hf)=0J(f)f=|g Hf|2|n|2 =0J(f)L(5-4-2)由(5-4-2)解得：=(H
25、TH+QTQ)-1 HTgf（=1/L 待调节参量，调整到满足约束条件）问题：如何选择Q (5-4-3)为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原 对于维纳滤波对于维纳滤波QTQ=Rf-1Rn ；其中 Rf =EffT，Rn=EnnT（Rf 和 Rn 分别对应原图像和噪声的自相关矩阵）由(5-4-3)得：=(HTH+Rf-1Rn)-1 HTgf 与H对角化相同，将 Rf 和 Rn 对角化：Rf =WDfW-1；Rn=WDnW-1代入(5-4-4)，得(5-4-4)为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市
26、场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原=(WD*DW-1+WDf-1DnW-1)-1 WD*W-1gf（表示共轭）两边左乘W-1，上式化为：=(D*D+Df-1Dn)-1D*W-1gfW-1 D 对角阵，元素是H 的傅立叶变换；Df 和 Dn对角阵，元素分别是f 和 n 的自相关矩阵的傅立叶变换（自相关的傅立叶变换为功率谱）故所对应的连续形式为：Sn(u,v)Sf(u,v)|H(u,v)|2+H*(u,v)G(u,v)F(u,v)=为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原若
27、=1，则为前述维纳滤波器，但一般不能保证满足约束条件。上式称为参变维纳滤波器参变维纳滤波器（调整 使约束条件满足）。对于以平滑度为约束对于以平滑度为约束（1）若要求|f|2 min，则Q为单位矩阵，由(5-4-3)可得|H(u,v)|2+H*(u,v)G(u,v)F(u,v)=（2）若要求二阶导数最小，Q可选择为拉普拉斯算子形式，同 样由(5-4-3)，得到频域公式。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 图像盲复原（blind deconvolution）在许多实际情况下点扩展函数难以预先确定，必须从观察图像中以某
28、种方式提取退化信息，实现图像复原，即图像盲复原方法。图像复原 图像盲复原是一个病态问题，难以保证收敛性;计算量大;在某种准则下，利用原始图像以及PSF的部分部分先验知识或约束，同时对原图像和PSF进行估计，一般需要迭代求解;为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原 迭代盲解卷积（迭代盲解卷积（IBD）(Ayers and Dainty,1988)FFT(k=k+1)空域约束IFFT频域约束频域约束FFTIFFT空域约束初始估计初始估计空域约束：空域约束：f 支撑域内的像素灰度非负；h支撑域外为零迭代过程中能量保
29、持频域约束：频域约束：满足本质上是逆滤波（修正形式）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益频域约束：图像复原（为参变量）改进的方法改进的方法采用维纳滤波形式采用维纳滤波形式为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 PSF是正的，且在有限域内有 IBD在频域具有维纳滤波的形式（代表噪声水平），抗噪性好；计算复杂度低；稳健性较差（对初始估计敏感，不能保证收敛）。图像复原空域约束原图像的“有限支撑”（包含原图像的最小矩形）非负 迭代中，将支撑域内的
30、负值像素和支撑域外不为零的像素置零。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益非负支撑约束递归逆滤波（非负支撑约束递归逆滤波（NASRIF）原图像的背景是均匀的黑、灰或白；原图像的像素值是正的，并且已知有限支撑域；原图像和PSF是不可约的；PSF的逆存在，并且PSF及其逆是绝对可和的 约束条件：基本原理降质图像经FIR滤波器u(x,y)产生估计图像 f，此估计图像再经非线性映射（即加以约束）产生对应原图像性质的一个凸集投影 fNL，利用 fNL 与 f 的误差来更新滤波器 u(x,y)图像复原为了规范事业单位聘用关系，建
31、立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益g(x,y)u(x,y)NLe(x,y)代价函数：（Dsup为支撑域，Dsup为非支撑域；第三项为正则项，防止背景全黑时u(x,y)的系数全为零，只有当LB=0时为非零）图像复原为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原（*从非负性和有限支撑的约束可以外推图像的高频成分）支撑域模糊图像边界支撑域原图像边界 结构简单，代价函数为凸函数，收敛性好（采用共轭梯度算法）对噪声敏感为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济
32、体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益盲复原的正则化形式盲复原的正则化形式 定义代价函数，求满足某种约束的 f 和 h,使得代价函数最小 （通常在MAP优化准则下导出）C1()和 C2()为正则化项，通常取高通算子（1,2为可调节参数）代价函数形式：全变差方法全变差方法（TV）图像复原（定义支撑域，对 f 和 h 进行约束）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原五、图像几何复原校正几何畸变。需了解畸变的性质。系统畸变为规律性畸变，变换模型可以解析给出；非系统畸变具有随机性，变换关系只能通
33、过寻找控制点的方法给出。两个基本操作：空间变换对畸变图像的像素位置进行调整；灰度值插补处理空间变换后图像中像素灰度级的赋值。空间变换：空间变换：假设一幅图像f(x,y),像素点坐标为(x,y),经过几何失真产生一幅图像g(u,v),像素点坐标为(u,v).这个变换可以表示为:为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原 u=r(x,y);v=s(x,y)上述变换可用多项式近似：i=0 j=0n-iaij xi yjnu=i=0 j=0n-ibij xi yjnv=思路通过一些已知的参考点，即无失真图像某些象素点和畸
34、变图像相应象素的坐标间对应关系（控制点），拟合出上述多项式中的系数，并作为恢复其它象素的基础。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原当n=1时，有 u=c0+c1x+c2y+c3xy;v=d0+d1x+d2y+d3xy;若有4个控制点的对应位置已知（8个方程），则可求出变换系数。已知多个控制点时（大于待定系数的个数），利用最小二乘法求解（函数拟合/参数估计）。灰度值插补：灰度值插补：对每一个(x,y)，求出在畸变图像坐标系中的对应点(u,v)，若是整数（网格点），则复制此点上的的灰度值到(x,y)。若非网格点
35、，则需要进行内插；为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原内插方法（1）最近邻法取与(u,v)最近的网格点的灰度值（边缘会产生锯齿状失真）（2）双线性内插用(u,v)周围4个（或8个）网格点的灰度值取加权平均（权重由到每个点的距离决定）（平滑性好）（3）三次样条内插用(u,v)周围16个像素的灰度值做三次样条函数拟合（平滑性更好）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原控制点最紧邻法复原双线性内插复原为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益图像复原失真图像双线性内插复原失真前后的差原图