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1、第五章 数系的扩充与复数的引入 5.1.1 数的概念的扩展上古结绳而治，后世圣人易之以书契上古结绳而治，后世圣人易之以书契数的概念的扩展数的概念的扩展古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用.实际上，罗马数字的符号一共只有实际上，罗马数字的符号一共只有7个：个：I（代表（代表1）、）、V（代表（代表5）、）、X（代表（代表10）、）、L（代表（代表50）、）、C代表代表100）、）、D（代表（代表500）、）、M（代表（代表1,000）.这这7个符号位置上不论怎样变个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的化，它所代表的数字都
2、是不变的.它们按照下列规律组合起来，它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数就能表示任何数.1重复次数重复次数 2右加左减右加左减 3上加横线上加横线 III表示表示3XXX表示表示30 DC表示表示600 VD表示表示495 表示表示12,000 用罗马数字表示用罗马数字表示8732用罗马数字表示用罗马数字表示1000000，就要连续不断地写上一千个，就要连续不断地写上一千个M或在或在M上画一条横线上画一条横线 那么就得写成那么就得写成MMMMMMMMDCCXXXII数的概念的扩展数的概念的扩展 春秋战国时期，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方春秋战国时期，我们的祖先创造了一种十分重要的计
3、算方法法-筹算筹算.从算筹数码中没有从算筹数码中没有10这个数可以清楚地看出，筹算从一这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制开始就严格遵循十位进制.9位以上的数就要进一位位以上的数就要进一位.在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末世纪末.但筹算数码中开始没有但筹算数码中开始没有零零，遇到，遇到零零就空位。比如就空位。比如6708，就可以表示为，就可以表示为 “.数字中没有数字中没有零零，是很容易发生错误的，是很容易发生错误的.所以后来有人把所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错铜钱摆在空位上，以免弄错.其实在公元其实在公元
4、5世纪时，世纪时，0已经传入罗马已经传入罗马.多数人认为，多数人认为，0这一数学符号的发明应归功于公元这一数学符号的发明应归功于公元6世世纪的印度人纪的印度人.数的概念的扩展数的概念的扩展NZQR问问 题题 提提 出出x2=-1i2=-1符号符号i 叫做虚数单位叫做虚数单位i 可以和任何实数可以和任何实数 b 相乘相乘（特别：（特别：0 i=0）形如形如 a+bi 的数叫做复数（的数叫做复数（a，b是实数，是实数，i是虚数单位）是虚数单位）复复 数数复数复数 a+bi实数（实数（b=0）（b 0）虚数虚数纯虚数（纯虚数（a=0）（a0）非纯虚数非纯虚数Re za=Im zb=数数 集集 的的
5、关关 系系NZQR C例例 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是（是（1）实数？）实数？（2）虚数？）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？解解:（1）当当 m-1=0 ，（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当即即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数实部实部 即即m=1时，复数时，复数z 是实数是实数虚部虚部5i-2 0 0练习练习1、说出下列复数中哪些是实数，、说出下列复数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？哪些是虚数，哪些是纯虚数？实数实数纯虚数纯虚数虚数虚数练习练习2 2、判断下列命题是否正确：、判断下列命题是否正确：（1 1）若）若a、b为实数，则为实
6、数，则z=z=a+bi 为虚数为虚数;（2 2）若）若b为实数，则为实数，则z=z=bi 必为纯虚数必为纯虚数;（3 3）若）若a为实数，则为实数，则z=z=a 一定不是虚数一定不是虚数.3.复数复数 z=+（m2-2m-15）i，求实数求实数 m 使得使得（1）z 是实数；是实数；（2）z 是纯虚数是纯虚数.m2-m-6m+3（1）m=5（2）m=-2或或m=3练习练习3练习练习4、“a=0”是是“复数复数a+bi（a，bR）为纯虚）为纯虚数数”的的_条件条件.必要不充分必要不充分 学完了数的概念的扩展，大家对数有没有更近一步的了解呢？1.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.2.复数复数有关概念有关概念：复数的代数形式复数的代数形式:复数的实部复数的实部a、虚部、虚部b虚数、纯虚数虚数、纯虚数