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1、第一章 推理与证明 1.1.1 归纳推理创设情境华罗庚教授曾经举过一个例子：华罗庚教授曾经举过一个例子：从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西都是是不是这个袋里的东西都是红玻璃球？红玻璃球？”但是，当有一个摸出来的是白玻璃球的时候，但是，当有一个摸出来的是白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时，我们会有另一个猜想：这个猜想失败了；这时，我们会有另一个猜想：“是不是
2、是不是袋里都是玻璃球？袋里都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个木球但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了；这时我们会有第三个猜想：的时候，这个猜想又失败了；这时我们会有第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须这个猜想对不对，还必须继续加以检验继续加以检验在这个过程中，一方面通过推理得出结论，另一方面要对在这个过程中，一方面通过推理得出结论，另一方面要对 所得的结论进行验证和证明。所得的结论进行验证和证明。问题：问题：什么是推理？什么是推理？怎么进行推理？怎么进行推理？、当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家、当看到天空乌云密
3、布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，等现象时，我们会得到一个判断：我们会得到一个判断：天要下雨了天要下雨了。、谚语说：、谚语说：“八月十五云遮月八月十五云遮月，来年正月十五来年正月十五雪扎灯。雪扎灯。”根据一个或几个已知根据一个或几个已知的命题得出另一个新的命题得出另一个新命题的思维过程。命题的思维过程。推理：推理：蛇是用肺呼吸的蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是海龟是用肺呼吸的用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的蜥蜴是用肺呼吸的.蛇、鳄鱼、蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物海龟、蜥蜴都是爬行动物所以所以,所有的爬行动物都是用肺呼吸的所有的爬行动物都是用肺呼吸的案例：案例：1三角形的内
4、角和是三角形的内角和是180180,凸四边形的内角和凸四边形的内角和是是360360,凸五边形的内角和是凸五边形的内角和是540540,所以所以,凸凸n n边形的内角和是边形的内角和是案例：案例：2从个别事实中推演出一般性的结论,称为归纳推理.它们有什么共同点？观察下面等式观察下面等式,并归纳出一般结论并归纳出一般结论:想想一一想想？观察下面等式观察下面等式,并归纳出一般结论并归纳出一般结论:归纳推理的一般思维过程：归纳推理的一般思维过程：实验、观察概括、推广猜测一般性结论 由此我们猜想：由此我们猜想：归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？（2 2）狗
5、是有骨骼的）狗是有骨骼的;鸟是有骨骼的鸟是有骨骼的;鱼是有骨骼的鱼是有骨骼的;蛇是有骨骼的蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的青蛙是有骨骼的;狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物；狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物；由此我们猜想由此我们猜想:（1）函数）函数所有的动物都是有骨骼的。所有的动物都是有骨骼的。前提 当n=0时，n2-n+11=11 当n=1时，n2-n+11=11 当n=2时，n2-n+11=13 当n=3时，n2-n+11=17 当n=4时，n2-n+11=23 当n=5时，n2-n+11=31 结论 对于所有的自然数n,n2-n+11的值都是质数11,11,13,17,23,3111,11,13,1
6、7,23,31都是质数都是质数归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？归纳推理的几个特点:1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。2.归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。它不能作为数学证明的工具。3.归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。例：数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)
7、棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 8解:多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 61010多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱
8、锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610107 77 79 916169 91010151510101515F+V-E=2F+V-E=2猜想欧拉公式1、根据、根据给给出的数塔猜出的数塔猜测测等于等于()A、1111110 B、1111111 C、1111112 D、11111132、由此得到的由此得到的结论结论是是:课堂检测：B3、当、当时时，成立，所以成立，所以对对于所有的于所有的，上述推理是上述推理是归纳归纳推理推理吗吗？所得？所得结论结论正确正确吗吗？自然数自然数成立。成立。4、，若若，请请推推测测863是，不正确，当n=3时不成立。17一般来说，利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.小结小结2.归纳推理归纳推理的一般思维过程的一般思维过程:1.什么是归纳推理什么是归纳推理（简称（简称归纳归纳）?实验、观察概括、推广猜测一般性结论3.归纳推理的特点归纳推理的特点