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1、1第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理2复习复习2.归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题的一般性命题(猜想猜想).1.什么是归纳推理什么是归纳推理?部分整体部分整体特殊特殊 一般一般3从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发
2、明了锯子霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：他的思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？这个推理过程是归纳推理吗？4试根据等式的性质猜想不等式的性质。试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;等等。等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样
3、猜想出的结论是否一定正确？5火星火星 地地 球球相似点相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命地球上有生命火星上可能有生命火星上可能有生命猜想猜想火星上是否有生命？火星上是否有生命？相似点相似点:6 由两类对象具有某些类似特征，和其由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为对象也具有这些特征的推理称为类比推理类比推理（简称类比）（简称类比）
4、类比推理的定义类比推理的定义:简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 发发明行星三大明行星三大运动运动定律的定律的开开普勒普勒曾说类曾说类比比推理是自然奧妙的推理是自然奧妙的参与者参与者和自己最好和自己最好的老的老师师 数学家波利亚曾指出数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的类比是一个伟大的引路人引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题比问题.”7类比推理的特点类比推理的特点;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的推测正在研究的事物的属性事物的属性,是是以旧有的认识为
5、基础以旧有的认识为基础,类比出新的结果类比出新的结果.2.2.类比是从一种事物的类比是从一种事物的特殊属性特殊属性推测另一种事物的推测另一种事物的特殊属性特殊属性.3.3.类比的结果是猜测性的类比的结果是猜测性的不一定可靠不一定可靠,但它却有发现的功能但它却有发现的功能.类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤:观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；致性）；用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出
6、一个猜想；而得出一个猜想；检验猜想。检验猜想。8例例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合的集合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积9圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点
7、(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的
8、方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积10类比角度类比角度实数的加法实数的加法实数的乘法实数的乘法运算结果运算结果若若a,bR,则则a+bR运算律运算律(交换律和交换律和结合律结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算逆运算加法的逆运算是减法加法的逆运算是减法,使得使得方程方程a+x=0有唯一解有唯一解x=-a单位元单位元a+0=a练习练习1 类比实数的加法和乘法类比实数的
9、加法和乘法,列出它们相似的运算性质列出它们相似的运算性质.若若a,bR,则则abRab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法乘法的逆运算是除法,使得使得ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a11通过例通过例1，练习，练习1你能得到你能得到类比推理的一般模式类比推理的一般模式吗？吗？类比推理的一般模式类比推理的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）12例例例例2 2 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理
10、类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试试 给出给出空间中四面体性质的猜想空间中四面体性质的猜想13例例2 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试试 给出空间中四面体性质的猜想给出空间中四面体性质的猜想直角三角形直角三角形3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体C903个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边cPDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面”S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面”S1415练习练习2 由图由图(1)有面积关系有面积关系:则图则图(2)
11、有体积关系有体积关系:图图(1)图图(2)16例例3.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边上的高三条边上的高.P为三角形内任一点为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论我们可以得到结论:试通过类比试通过类比,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论.平面上平面上 空间中空间中图图形形结结论论ABCPpapbpcABCDP17 合情推理合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理。通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。能帮助我们猜测和发现结论。证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向供证明的思路和方向18