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1、Line integral and surface integral第第1010章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分2问题的提出问题的提出对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的对弧长的曲线积分的几何与物理意义几何与物理意义对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算小结小结 思考题思考题 作业作业arc length10.1 第一类第一类(对对弧长弧长)的的第第1010章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分line integral曲线积分曲线积分 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的
2、曲线积分的曲线积分3一、问题的提出一、问题的提出实例实例匀质匀质之质量之质量分割分割求和求和取极限取极限取近似取近似曲线形构件的质量曲线形构件的质量近似值近似值精确值精确值元素法元素法 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分4二、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的概念与性质定义定义10.110.1设设L为为 xOy面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧,函数函数 f(x,y)在在L上有界上有界.作乘积作乘积并作和并作和如果当各小弧段的长度的最大值如果当各小弧段的长度的最大值在在L上任意插入一点列上任意插入一点列把把L分成分成n个小段个小段.设第设第i个小段的个
3、小段的为第为第i个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一(1)(2)(3)长度为长度为si,点点,(4)1.定义定义 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分5曲线形构件的质量曲线形构件的质量即即这和的极限存在这和的极限存在,则称此极限为则称此极限为函数函数 f(x,y)在曲线弧在曲线弧 L 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分或或第一类曲线积分第一类曲线积分.积分和式积分和式被积函数被积函数 弧元素弧元素积分弧段积分弧段记作记作 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分62.存在条件存在条件3.推广推广的曲线积分的曲线积分连续连续,的曲线积分为的曲线积分为当当
4、 f(x,y)在光滑曲线弧在光滑曲线弧L上上函数函数 f(x,y,z)在空间曲线弧在空间曲线弧上对弧长上对弧长对弧长对弧长 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分74.性质性质 性质性质1 1性质性质2 2(对路径具有可加性对路径具有可加性)若若L(或或)是分段光滑的是分段光滑的,10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分8性质性质3 3 设在设在L上上则则特别地特别地,有有性质性质4(4(中值定理中值定理)连续连续,若函数若函数 f(x,y)在光滑曲线在光滑曲线弧弧L上上则在则在L上至少存在一点上至少存在一点使得使得其中其中s为曲线为曲线L的弧长的弧长.1
5、0.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分9性质性质5(5(与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关)注意注意闭曲线闭曲线L L上上 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分记作记作 函数函数 f(x,y)在在 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分10 设函数设函数f(x,y)在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的曲线的曲线当当f(x,y)是是L上上关于关于x 的奇函数的奇函数,当当f(x,y)是是L上关于上关于x 的偶函数的偶函数 L1是曲线是曲线L落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L关于关于y轴轴 对称
6、对称,补充补充对称性质对称性质.L上连续上连续,则则(或或y)(或或y)(或或x轴轴)(或或x)运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时,应同时考虑被积函数应同时考虑被积函数 f(x,y)的奇偶性的奇偶性与积分曲线与积分曲线L的对称性的对称性.10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分11例例其中其中L是圆周是圆周解解因因积分曲线积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上被积函数被积函数因因积分曲线积分曲线L关于关于由由对称性对称性,计算计算得得是是L上上y轴轴对称对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴轴对称对称,关于关于y的奇函数的奇函数 1
7、0.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分12几何意义几何意义(1)(2)柱面面积柱面面积弧长弧长平面曲线平面曲线L上第一类曲线上第一类曲线在几何上表示以在几何上表示以L为准线为准线,母线平行于母线平行于z轴的柱面轴的柱面之介于平面之介于平面z=0和曲面和曲面 z=f(x,y)之间那部分的之间那部分的柱面面积柱面面积.积分积分:三、对弧长的曲线积分的三、对弧长的曲线积分的几何与物理意义几何与物理意义 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分13 物理意义物理意义(2)曲线弧曲线弧 L对对x轴及轴及y轴的转动惯量轴的转动惯量:(3)曲线弧曲线弧 L的质心坐标的质心
8、坐标:曲线弧曲线弧 L的质量的质量:表示曲线弧表示曲线弧L的线密度时的线密度时,10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分14四、对弧长曲线积分的计算四、对弧长曲线积分的计算定理定理10.1其中其中且且设设f(x,y)在曲线弧在曲线弧L上上有定义且连续有定义且连续,具有一阶连续导数具有一阶连续导数,解法解法 化为参变量的化为参变量的定积分定积分计算计算 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分15点点设各分点对应参数为设各分点对应参数为对应参数为对应参数为 则则证证 根据定义根据定义 积分中值定理积分中值定理弧长公式弧长公式 10.1 第一类第一类(对弧长对弧
9、长)的曲线积分的曲线积分16必须满足必须满足(2)注意到注意到 因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”.因此因此(1)因为因为所以所以因此积分限因此积分限说明说明 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分17特殊情形特殊情形(1)(2)10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分18(3)特殊情形特殊情形推广推广 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分19或或此时需把它化为此时需把它化为参数方程参数方程再按上述方法计算再按上述方法计算.为参数为参数),如果积分路径如果积分路径L是两个曲面的交线是两个曲面的交线:(选择选择
10、x,y,z中某一个中某一个 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分20例例解解例例解解对对x积分积分?10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分21例例解解得得 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分22解此题时也可用解此题时也可用故故对称性质对称性质L关于关于x轴对称轴对称,|y|为为y的偶函数的偶函数,10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分23在第一象限中所围图形的边界在第一象限中所围图形的边界.提示提示解解 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分24故故 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)
11、的曲线积分的曲线积分25解解考研数学一考研数学一,填空填空,4分分 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分26例例解解求圆柱面求圆柱面被截在球被截在球内部的内部的柱面的面积柱面的面积.由图形的对称性由图形的对称性,只需求第一挂限部分的面积只需求第一挂限部分的面积,再四倍之再四倍之.柱面与柱面与xOy平面的交线平面的交线平面曲线平面曲线L上第一类曲线积分上第一类曲线积分柱面面积柱面面积在几何上表示以在几何上表示以L为准线为准线,母线平行于母线平行于z轴的柱面之介于轴的柱面之介于平面平面z=0和曲面和曲面z=f(x,y)之之之间那部分的柱面面积之间那部分的柱面面积.(极坐标极坐
12、标)弧微分为弧微分为故所求的面积故所求的面积柱面面积柱面面积 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分27研究生考题研究生考题,填空填空(3分分)采用极坐标采用极坐标则则法三法三 在曲线在曲线L上上,故故法二法二例例 解解采用参数方程采用参数方程则则法一法一 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分28解解 对对称称性性 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分29例例解解 曲线曲线的方程具有如下特点的方程具有如下特点:有有轮换对称性轮换对称性 x,y,z 地位相等地位相等,可以轮换可以轮换,曲线的方程不变曲线的方程不变.10.1 第一类第
13、一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分30对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念 对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用五、小结五、小结(四步四步:分割、取近似、求和、取极限）分割、取近似、求和、取极限）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)(几何应用几何应用:弧长、柱面面积弧长、柱面面积)(物理应用物理应用:曲线的质量、质心、转动惯量曲线的质量、质心、转动惯量)10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分31思考题思考题 是非题是非题 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为当利用参数方程化为定积分计算时定积分计算时,不管起点还是终点不管起点还是终点,其下限为较其下限为较小端点的参数值小端点的参数值,上限为较大端点的参数值上限为较大端点的参数值.是是 10.1 第一类第一类(对弧长对弧长)的曲线积分的曲线积分32作作 业业习题习题10.1(41710.1(417页页)2(1,2,5,6,12,14)2(1,2,5,6,12,14)4,64,6