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1、第二章第二章 线性方程组的敏度分析与消去法线性方程组的敏度分析与消去法的舍入误差分析的舍入误差分析求解求解第一章讨论如何解线性方程组。第一章讨论如何解线性方程组。计算量，直接法的诱惑力计算量，直接法的诱惑力如果线性方程组没有特殊的结构，应该选用何种数值方法？如果线性方程组没有特殊的结构，应该选用何种数值方法？推荐选用这种方法的原因是什么？推荐选用这种方法的原因是什么？实际计算中，数据有误差，计算环境也是有限精度的，实际计算中，数据有误差，计算环境也是有限精度的，此时这些数值方法求处的数值解精度如何？此时这些数值方法求处的数值解精度如何？2.1 向量和矩阵范数向量和矩阵范数/*Norms of
2、Vectors and Matrices*/为了误差的度量为了误差的度量 向量范数向量范数 /*vector norms*/Rn空间的空间的向量范数向量范数|对任意对任意 满足下列条件：满足下列条件：（正定性正定性/*positive definite*/)对对任意任意(齐次性齐次性/*homogeneous*/)（三角不等式三角不等式 /*triangle inequality*/)范数是一个范数是一个n元连续函数（元连续函数（证明一下证明一下）pnipipxx/11|=v函数函数是一种范数吗？是一种范数吗？常用向量范数：常用向量范数：=niixx11|vv=niixx122|vvpnipi
3、pxx/11|=v|max|1inixx =v证明一个量是证明一个量是n维向量空间的一个范数需要利用维向量空间的一个范数需要利用一些著名的不等式一些著名的不等式Cauchy-Schwartz不等式不等式Holder不等式不等式范数的一个应用-讨论向量序列的收敛性何谓向量序列？如何定义向量序列收敛比较合理？2-范数重要性质：正交变换长度不变，向量间夹角不变1 Norms of Vectors and Matrices Vector Norms向量序列向量序列 收敛收敛于向量于向量 是指对每一个是指对每一个 1 i n 都有都有 。可以理解为可以理解为定理定理Rn 上一切范数都等价。上一切范数都等
4、价。可以理解为对任何可以理解为对任何向量范数都成立。向量范数都成立。范数等价定义范数等价定义1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms 矩阵范数矩阵范数 /*matrix norms*/Rm n空间的空间的矩阵范数矩阵范数|对任意对任意 满足：满足：（正定性正定性/*positive definite*/)对对任意任意(齐次性齐次性/*homogeneous*/)（三角不等式三角不等式 /*triangle inequality*/)(4)*|AB|A|B|（相容相容 /*consistent*/当当 m=n 时时)In general,if we
5、 have|AB|A|B|,thenthe 3 norms are said to be consistent.Oh havent I had enough of new concepts?What do I need the consistency for?When you have to analyze the error bound of AB imagine you doing it without a consistent matrix norm1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms常用矩阵范数：常用矩阵范数：Frobenius 范数
6、范数 向量向量|2的直接推广的直接推广如何证明上述定义的非负函数是一个范数？如何证明上述定义的非负函数是一个范数？（验证方法）（验证方法）问题：矩阵的问题：矩阵的F范数是哪个矩阵的迹？和特范数是哪个矩阵的迹？和特征值的关系征值的关系矩阵范数的性质矩阵范数的性质任意两个矩阵范数都是等价的（表达式）任意两个矩阵范数都是等价的（表达式）何谓矩阵序列的敛散性？何谓矩阵序列的敛散性？矩阵序列收敛的充要条件矩阵序列收敛的充要条件矩阵范数与向量范数相容性矩阵范数与向量范数相容性1 Norms of Vectors and Matrices Matrix NormsF-范数相容性：范数相容性：Frobeniu
7、s 范数范数 向量向量|2的直接推广的直接推广 对方阵对方阵 以及以及 有有利用利用Cauchy 不等式不等式 可证。可证。1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms算子算子范数范数/*operator norm*/定理定理2.1.3 设设|是一种向量范数。若定义是一种向量范数。若定义则则上的一个矩阵范数。上的一个矩阵范数。矩阵范数矩阵范数称为从属向量范数称为从属向量范数|的矩阵范数的矩阵范数也称为由向量范数也称为由向量范数|诱导出的算子范数诱导出的算子范数举例说明算子矩阵范数的优点研究方程组研究方程组与方程组与方程组解之间的关系。解之间的关系。那
8、个上界更紧一些？那个上界更紧一些？不等式越紧越好，那些情况下不等式是无法在不等式越紧越好，那些情况下不等式是无法在改进的改进的1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms算子算子范数范数/*operator norm*/由向量范数由向量范数|p 导出关于矩阵导出关于矩阵 A Rn n 的的 p 范数范数:则则1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms特别有：特别有：（行和范数行和范数）（列和范数列和范数）（谱范数谱范数/*spectral norm*/）矩阵矩阵 ATA 的最大的最大特征根特征根/*eig
9、envalue*/定理定理2.1.5 设设则则（3）2范数的正交不变性范数的正交不变性算子范数的最优性算子范数的最优性矩阵的矩阵的F-范数与向量的范数与向量的2-范数的关系。范数的关系。（P72 习题习题4）1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms注：注：Frobenius 范数范数不是不是算子范数。算子范数。我们只关心有相容性的范数，我们只关心有相容性的范数，算子范数算子范数总是相容的。总是相容的。若若不然，则必存在某个向量范数不然，则必存在某个向量范数|v 使得使得 对任意对任意A 成立。成立。Counterexample?问题：矩阵的列和范
10、数和其转置矩阵的行问题：矩阵的列和范数和其转置矩阵的行和范数的关系。和范数的关系。问题：矩阵的列和范数、行和范数和谱范问题：矩阵的列和范数、行和范数和谱范数的等价关系是什么？数的等价关系是什么？谱半径谱半径 /*spectral radius*/矩阵矩阵A的的谱半径谱半径记为记为 (A)=，其中其中 i 为为 A 的特征根。的特征根。ReIm (A)定理定理若若A对称，则有对称，则有证明：证明：A对称对称若若 是是 A 的一个特征根，则的一个特征根，则 2 必是必是 A2 的特征根。的特征根。又：对称矩阵的特征根为实数，即又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A)为非负实数，为非负实数，故得证。故得证。对某个对某个 A 的特征根的特征根 成立成立所以所以2-范数亦称为范数亦称为谱范数谱范数。定理定理若矩阵若矩阵 B 对某个算子范数满足对某个算子范数满足|B|1，则必有，则必有可逆；可逆；证明：证明：若不然，则若不然，则 有非零解，即存在非零向量有非零解，即存在非零向量 使得使得 一种特殊的矩阵幂级数收敛的必要条件？收敛的必要条件？收敛的充分必要条件？收敛的充分必要条件？和函数为什么？和函数为什么？幂级数部分和满足幂级数部分和满足