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1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第1 1页页 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 5.3 小结第五章 大数定律与中心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第2 2页页5.1 大数定律 讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义；给出几种大数定律：伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12
2、/31/202212/31/2022第第3 3页页常用的几个大数定律 大数定律一般形式：若随机变量序列Xn满足：则称Xn 服从大数定律.第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第4 4页页切比雪夫大数定律 定理5.1.1Xn两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则 Xn服从大数定律.证明用到切比雪夫不等式.第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第5 5页页依概率收敛定义5.1.1 (依概率收敛)大数定律讨论的就
3、是依概率收敛.若对任意的 0，有则称随机变量序列Yn依概率收敛于Y,记为第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第6 6页页依概率收敛的性质定理5.1.2 若则Xn与Yn的加、减、乘、除依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第7 7页页依概率收敛（续）推论5.1.3 (多变量函数)设g(x,y)在点(a,b)连续，则，又设函数第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与
4、中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第8 8页页伯努利大数定律定理5.1.4（伯努利大数定律）设 n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A)=p,则对任意的 0，有第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第9 9页页马尔可夫大数定律 定理5.1.5若随机变量序列Xn满足：则 Xn服从大数定律.(马尔可夫条件)第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第1
5、010页页辛钦大数定律 定理5.1.6若随机变量序列Xn独立同分布，且Xn的数学期望存在，则 Xn服从大数定律.第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第1111页页(1)伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.注 意 点(2)切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.(3)伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第1212页页5.2 中心极限定理 讨论独立随机变量和的极限分布,本
6、节指出极限分布为正态分布.5.2.1 独立随机变量和设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第1313页页5.2.2 独立同分布的中心极限定理定理5.2.1 林德贝格勒维中心极限定理设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差为 20，则当 n 充分大时，有应用之例:正态随机数的产生；误差分析第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第1414页页林德贝格勒维中心极限定理的
7、推论第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第1515页页例5.2.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解:设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi,则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=100，Var(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31
8、/202212/31/2022第第1616页页例5.2.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解:设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=9.62，Var(Xi)=0.82，故=0.00021第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第1717页页5.2.3 二项分布的正态近似定理5.2.2 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理设n 为服从二项分布 b
9、(n,p)的随机变量，则当 n 充分大时，有是林德贝格勒维中心极限定理的特例.第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第1818页页二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：注 意 点(1)第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第1919页页 中心极限定理的应用有三大类：注 意 点(2)ii)已知 n 和概率，求x；iii)已知 x 和概率，求 n.i)已知 n 和
10、 x，求概率；第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第2020页页一、给定 n 和 x，求概率例5.2.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第2121页页二、给定 n 和概率，求 x例
11、5.2.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可 有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为x,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记X=X1+X2+X200，则 E(X)=140，Var(X)=42.中解得第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第2222页页三、给定 x 和概率，求 n例5.2.5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.
12、05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则从中解得Xn 服从 b(n,p)分布，k 为Xn的实际取值。又由可解得n=271第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第2323页页例5.2.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中 5 发的概率.解:设 X 表示命中的炮弹数,则X b(500,0.01)0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5 X 0，有林德贝格条件则第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中
13、科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第2525页页李雅普诺夫中心极限定理定理5.2.4 李雅普诺夫中心极限定理设Xn 为独立随机变量序列，若存在 0，满足：李雅普诺夫条件则林德贝格条件较难验证.第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第2626页页例5.2.7 设 X1,X2,.,X99相互独立,且服从不同的 0-1分布试求解:设 X100,X101,.相互独立,且与X99同分布,则可以验证Xn满足=1的李雅普诺夫条件，且由此得第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第2727页页5.3 小结基本概念基本概念：依概率收敛、契比雪夫大数定理、伯努利大数定理、辛钦大数定理、独立同分布的中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理；基本概念基本概念：中心极限定理的应用；第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 中科大软件学院中科大软件学院12/31/202212/31/2022第第2828页页o2,5,8作 业