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1、第十七章第十七章 隐函数存在定理隐函数存在定理 前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐函数存在，且它们的导数或偏导数也存在。本章：存在性问题及连续性、可微性。1 单个方程的情况曲面与面的交线唯一确定隐函数曲面必须与相交 （1）连续 （1）连续曲线存在,使（2）可微（2）存在切线 交线曲面 在点有切平面且切平面的法线不平行于轴（即切平面不是平面）切平面的法向量为与不共线（即 不能同时为零）交线 存在切线 ，意味着一元函数的可微性，也要求定理17.1：设满足下列条件：在 D：，上连续（3）（1）（2）则则使得在点的某一邻域内，方程唯一地确定一个定义在区间内的隐函数，定义在内满足,且（2）在上连续在
2、有连续的导数，且（3）（1）存在条件（1）在D连续条件（3）不妨设对每个关于严格单调上升,特别固定严格单调上升又，所以要证（1）：有任意 使在D（不妨设），证明：证明：取故对任意 ，关于连续且 唯一则则：（1）存在使得在点的某一邻域内，方程唯一地确定一个定义在区间内的隐函数，定义在内满足 且（2）在上连续(证明略)在有连续的导数，且（3）(证明略)可将条件（3）改为，结论应改为？例例1 1方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或？解：令则，他们都在全平面上连续，而故方程在点的邻域内可唯一地确定可微的隐函数它定义在，使得，但由于，据此无法断定是否在点的某邻域内存在。，。有隐函数例例2。由知,当，确定
3、可微的隐函数上任何在这个邻域内可唯一定理定理17.217.2满足下列条件：，（ii）；(iii)则则（i）偏导数设函数.1.存在的一个邻域，使得在点的某邻域内，方程唯一地确定了一个定义在的元隐函数，满足。换句话说，存在函数，使得当时；且；（2）内连续；内有连续的偏导数，且，.（3）例例3 3 设,问方程是否在原点地确定可微函数，其中属于某个领域，使得.如可能，求的某邻域唯一点的解：令.显然的偏导数，且 ,由，知，存在，使得在有唯一的可微函数，满足：在全平面有连续，.且第第2 2节节 方程组的情况方程组的情况问题：由 能否唯一确定定理定理17.317.3的某个领域元有一阶连续偏导数；（初始条件）
4、；则则(ii)(i)在点(iii)设函数满足：内F，G对各变.(1)在点的某个邻域内，方程组唯一地确定一组函数，它们定义在的某邻域D内，当满足，且 ；(1)，(2)(3)，且，注：条件(iii)在定理中的地位和作用与定理定理17.117.1中的条件的地位和作用相当，它对于隐函数组的存在性、连续性和可微性都是重要的。另外，结论(3)中公式的推导方法就是我们在第十六章第2节中介绍的隐函数组求导法，因此公式不必死2记硬背，重要的是掌握求导方法。例例1.1.设有方程组讨论在的某邻域能否确定隐函数组.又问在点的某邻域能否确定函对确定的函数组求其偏导数。数组解解:显然F，G在全平面上有连续的偏导数。又，因
5、此在，但在点的附近难言是否可唯一确定.求函数点的某邻域方程组可以唯一地确定一组可微函数函数组和数，在方程组两边对的偏导求偏导数，得:.在方程组两边对求偏导数得:,解得 定理17.4 设函数组 (6)满足：的某邻域D内对有连续偏导数；，(iii).,解得:(i)在(ii)；则在的某邻域内存在唯一的一组反函数使得，且当 (1)有，.，其中.推论推论1 1 在定理17.4的条件下有例例2.2.极坐标与直角坐标的变换为因为所以除即坐标原点，外，变换的逆变换存在，即有内容小结隐函数存在性定理 隐函数的连续性隐函数的可微性隐函数的求导方法习题1、设函数在点(u,v)的某一邻域内有连续的偏导数,且在与点(u
6、,v)对应的点唯一确定一组单值、连续且具有证明:函数组(x,y)的某一邻域内连续偏导数的反函数解:,则有由定理可知结论 成立式两边对 x 求导,得2)求反函数的偏导数.从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得2 2、验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解:令则连续；由定理可知,在 x=0 的某邻域内方程存在单值可导的隐函数、试讨论方程组在点的附近能否确定形如的隐函数、求下列函数组的反函数组的偏导数；补充题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(2001考研考研)解得因此2.设是由方程和所确定的函数,求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(99考研考研)作业P231页，2，3，5P239页，3，6，7，8，11