材料力学第九章.ppt

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1、材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定第第 9 章章 压杆稳定压杆稳定9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式拉公式压杆的长度因数压杆的长度因数9-4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总临界应力总图图9-5 实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数9-6 压杆的稳定计算压杆的稳定计算压杆的合理截面压杆的合理截面1材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念实际的受压杆件

2、实际的受压杆件 实际的受压杆件由于实际的受压杆件由于:1.其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，2.2.作用于杆上的轴向压力有作用于杆上的轴向压力有“偶然偶然”偏心，偏心，3.3.材料性质并非绝对均匀，材料性质并非绝对均匀，4.因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。2材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 对于细长的压杆对于细长的压杆(大柔度压杆大柔度压杆)，最终会因为弹，最终会因为弹性的侧向位移过大而丧失承载能力

3、；性的侧向位移过大而丧失承载能力；对于中等细长的压杆对于中等细长的压杆(中等柔度压杆中等柔度压杆)则当侧向则当侧向位移增大到一定程度时会在弯压组合变形下发生强位移增大到一定程度时会在弯压组合变形下发生强度破坏度破坏(压溃压溃)。对于实际细长压杆的上述力对于实际细长压杆的上述力学行为，如果把初弯曲和材质不学行为，如果把初弯曲和材质不均匀的影响都归入偶然偏心的影均匀的影响都归入偶然偏心的影响，则可利用大柔度弹性直杆受响，则可利用大柔度弹性直杆受偏心压力作用这一力学模型来研偏心压力作用这一力学模型来研究。究。3材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 图图(a)为下端固定，上端自由的

4、为下端固定，上端自由的实际压杆的力学模型；为列出用来实际压杆的力学模型；为列出用来寻求寻求Fd d 关系所需挠曲线近似微分关系所需挠曲线近似微分方程而计算横截面上的弯矩时方程而计算横截面上的弯矩时,需把需把侧向位移考虑在内，即侧向位移考虑在内，即 M(x)=)=F(e+d d-w)，这样得到的挠曲线近似微分方程这样得到的挠曲线近似微分方程EIz w=F(e+d d-w)和积分后得到的挠曲线方程便反映和积分后得到的挠曲线方程便反映了大柔度杆偏心受压时侧向位移的了大柔度杆偏心受压时侧向位移的影响。影响。(a)4材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 按照这一思路求得的细长压杆在不

5、同偏心距按照这一思路求得的细长压杆在不同偏心距 e 时时偏心压力偏心压力F 与最大侧向位移与最大侧向位移d 的关系曲线的关系曲线,如图如图b所示。所示。(b)由图可见虽然偶然偏心的程度不同由图可见虽然偶然偏心的程度不同(e3e2e1)，但该细长压杆丧失承载能力时偏心压力但该细长压杆丧失承载能力时偏心压力Fcr却相同。却相同。其它杆端约束情况下细长压杆的其它杆端约束情况下细长压杆的F-d d 关系曲线其特点关系曲线其特点与图与图b相同。相同。5材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定抽象的细长中心受压直杆抽象的细长中心受压直杆 由由图图b可知，当偶然偏心的偏心距可知，当偶然偏心的

6、偏心距e0时，细长时，细长压杆的压杆的F-d d 关系曲线就逼近折线关系曲线就逼近折线OAB，而，而如果把细如果把细长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝对均匀的理想中心压杆，则它的对均匀的理想中心压杆，则它的F-d d 关系曲线将是关系曲线将是折线折线OAB。(b)6材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 由此引出了关于压杆失稳由此引出了关于压杆失稳(buckling)这一抽象这一抽象的概念：当细长中心压杆上的轴向压力的概念：当细长中心压杆上的轴向压力F小于小于Fcr时，时，杆的直线状态的平衡是稳定的；当杆的直线状态的平衡是

7、稳定的；当FFcr时时杆既可杆既可在直线状态下保持平衡在直线状态下保持平衡(d d0)，也可以在微弯状态也可以在微弯状态下保持平衡，也就是说下保持平衡，也就是说FFcr时时理想中心压杆的直理想中心压杆的直线平衡状态是不稳定线平衡状态是不稳定的的，压杆在轴向压力，压杆在轴向压力Fcr作用下作用下会丧失原有的直线平会丧失原有的直线平衡状态，即发生失稳。衡状态，即发生失稳。Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力界力(critical force)。7材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界

8、力从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。际压杆的一种抽象。8材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定细长中心受压直杆失稳现象细长中心受压直杆失稳现象9材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定压杆的截面形式及支端约束压杆的截面形式及支端约束 压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的弯曲刚度应尽可能大；横截面的弯曲刚度应尽可能大；图图a为

9、钢为钢桁架桁架桥上弦杆桥上弦杆(压杆压杆)的横截面，的横截面，图图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。阻止杆端转动。10材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 本本节以节以两端球形铰支两端球形铰支(简称两简称两端铰支端铰支)的细长中心受压杆件的细长中心受压杆件(图图a)为例，按照对于理想中心压杆来说为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的临界力

10、就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉力的欧拉(L.Euler)公式。公式。11材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 在图在图a所示微弯状态下，所示微弯状态下，两端铰支压杆任意两端铰支压杆任意x截面的挠截面的挠度度(侧向位移侧向位移)为为w，该，该截面上截面上的弯矩为的弯矩为M(x)=Fcrw（图图b）。杆的挠曲线近似微分方程为杆的挠曲线近似微分方程为上式中上式中负号是由于在图示坐负号是由于在图示坐标中，对应于正值的挠度标中，对应于正值的挠度w，挠曲线切线斜率的变化率挠曲线切线斜率的变化率 为负的缘故。为负的缘故。12材

11、料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定令令k2=Fcr/EI，将挠曲线近似微分方程将挠曲线近似微分方程(a)改写成改写成该该二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程(b)的通解为的通解为(b)(c)此式中有此式中有未知量未知量A和和B以及隐含有以及隐含有Fcr的的k，但现在能但现在能够利用的边界条件只有两个，即够利用的边界条件只有两个，即x=0，w=0 和和 x=l，w=0，显然这不可能求出全部三个未知量。这种不显然这不可能求出全部三个未知量。这种不确定性是由确定性是由F=Fcr时杆时杆可在任意微弯状态下可在任意微弯状态下(d可为可为任意微小值任意微小值)保持平衡这个抽象概

12、念所决定的。事保持平衡这个抽象概念所决定的。事实上，对于所研究的问题来说只要能从实上，对于所研究的问题来说只要能从(c)式式求出求出与临界力相关的未知常数与临界力相关的未知常数k就可以了。就可以了。13材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 将边界条件将边界条件x=0，w=0代入式代入式(c)得得B=0。于是根据于是根据(c)式并式并利利用边界条件用边界条件x=l，w=0得到得到注意到已有注意到已有B=0，故上式中的故上式中的A不可不可能等于零，否则能等于零，否则(c)式将式将成为成为w 0而而压杆不能保持微弯状态，也就是杆并压杆不能保持微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由

13、此可知，欲使未达到临界状态。由此可知，欲使(c)成立，则必须成立，则必须sinkl=0(c)14材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定满足此条件的满足此条件的kl为为或即或即 由于由于 意味着临界力意味着临界力Fcr 0，也就是杆根也就是杆根本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在kl0的的解解中，最小解中，最小解 klp p 相应于最小的临界力，这是工相应于最小的临界力，这是工程上最关心的程上最关心的临界力临界力。由由klp p有有亦即亦即15材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧

14、拉从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：公式：此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取，且取klp p，以此代入式以此代入式(c)得得注意到当注意到当x=l/2 时时 w=d d，故有故有 A=d d。从而知，对应从而知，对应于于klp p，亦即对应于亦即对应于Fcr=p p2EI/l 2，挠曲线方程为挠曲线方程为可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。16材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定需要指出的是，尽管上面得到了需要指出的是，尽管上面得到了A=d d，但因为杆在任意微弯状态下保持平但因

15、为杆在任意微弯状态下保持平衡时衡时d d为不确定的值，故不能说未知量为不确定的值，故不能说未知量A已确定。已确定。事实上，在推导任何杆端约束情况的事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程的通解中，凡与杆的弯近似微分方程的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。曲程度相关的未知量总是不确定的。17材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 思考：思考：在上述推导中若取在上述推导中若取kl2p p，试问相应试问相应的临界力是取的临界力是取klp p时的时的多少倍？该临界力所对应的多少倍？该临界力所对应的挠曲

16、线方程和挠曲线形状又是怎样的？挠曲线方程和挠曲线形状又是怎样的？18材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式欧拉公式压杆的长度因数压杆的长度因数 现在通过两个例题来推导另一些杆端约束条件现在通过两个例题来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。19材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 试推导下端固定、上端试推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求压杆界力的欧拉公式，并求压杆失稳时的挠曲线方

17、程。图中失稳时的挠曲线方程。图中xy平面为杆的弯曲刚度最小平面为杆的弯曲刚度最小的平面。的平面。例题例题 9-120材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的大根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的大致形状可知，任意致形状可知，任意x 横截面上的弯矩为横截面上的弯矩为杆的挠曲线近似微分方程则为杆的挠曲线近似微分方程则为将上式改写为将上式改写为1.建立压杆挠曲的近似微分方程建立压杆挠曲的近似微分方程例题例题 9-1解解:21材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定令令 由由(1)式得式得此微分方程的通解为此微分方程的通解

18、为一阶导数为一阶导数为 根据边界条件根据边界条件x=0，w =0由由(3)式式得得Ak=0，注意注意到到 不会等于零，故知不会等于零，故知A0。再利用边界条件再利用边界条件x=0，w=0由由(1)式式得得B=-d d。将。将A=0，B=-d d代入代入(1)式得式得2.求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力例题例题 9-122材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定利用利用 x=l 时时 w=d d 这一关系，这一关系，由由(4)式式得出得出从式从式(4)可知可知d d不可能等于零，否则不可能等于零，否则w将恒等于零，将恒等于零，故上式中只能故

19、上式中只能coskl=0。满足此条件的满足此条件的kl的最小值的最小值为为 kl=p p/2，亦即亦即 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：亦即亦即例题例题 9-123材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 以以 kl=p p/2 亦即亦即 k=p p/(2l)代入式代入式(4)便得到压杆失稳时的便得到压杆失稳时的挠曲线方挠曲线方程程为为例题例题 9-124材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 试推导下端固定、上端铰支试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临界力的欧的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求该压杆失稳时的挠

20、拉公式，并求该压杆失稳时的挠曲线方程。图曲线方程。图(a)中的中的xy平面为平面为杆的最小弯曲刚度平面。杆的最小弯曲刚度平面。例题例题 9-225材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 1.杆端约束力分析杆端约束力分析 图图b示出了该压杆可能的微弯状示出了该压杆可能的微弯状态，与此相对应态，与此相对应，B处应有逆时针处应有逆时针转向的约束力偶矩转向的约束力偶矩MB，根据平衡方根据平衡方程程S SMB 0可知，杆的上端必有向可知，杆的上端必有向右的水平约束力右的水平约束力Fy；从而亦知杆的从而亦知杆的下端有向左的水平约束力下端有向左的水平约束力Fy。例题例题 9-2解解:26材

21、料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定杆的任意杆的任意x截面上的弯矩为截面上的弯矩为从而有挠曲线近似微分方程：从而有挠曲线近似微分方程：2.建立压杆挠曲线的近似微分方建立压杆挠曲线的近似微分方程程例题例题 9-2上式等号右边的负号是因为对应于上式等号右边的负号是因为对应于正值的正值的w,w 是负而加的。是负而加的。27材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定令令 k2=Fcr/EI，将上式改写为将上式改写为亦即亦即此微分方程的通解为此微分方程的通解为其一阶导数为其一阶导数为式中共有四个未知量：式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。3.求临界力求临界力Fcr例题例

22、题 9-228材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定再利用边界条件再利用边界条件x=l，w=0，由上式得由上式得 由边界条件由边界条件x=0，w =0 得得 A=Fy/(kFcr)。又由边界条件又由边界条件x=0，w=0 得得 B=-Fy l/Fcr。将以上将以上A和和B的表的表达式代入式达式代入式(a)有有例题例题 9-229材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定由于杆在微弯状态下保持平衡时，由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等不可能等于零，故由上式得于零，故由上式得 满足此条件的最小非零解为满足此条件的最小非零解为k l=4.49，亦即亦即 ，从而

23、得到此压杆临界力的欧拉公式为从而得到此压杆临界力的欧拉公式为亦即亦即例题例题 9-230材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 4.将将 kl=4.49，亦即亦即 k=4.49/l 代入式代入式(c)即得此即得此压杆对应于上列临界力的压杆对应于上列临界力的挠曲线方程挠曲线方程：利用此方程还可以进一步求得利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在曲线上的拐点在 x=0.3l 处处(图图b)。例题例题 9-231材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定压杆的长度因数和相当长度压杆的长度因数和相当长度32材料力学材料

24、力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 表表9-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：式中，式中，m m 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；有关；m m l 称为压杆的相当长度称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束情况下几何

25、长度为它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，的压杆，其临界力相当于长度为其临界力相当于长度为m m l 的两端铰支压杆的临界力。的两端铰支压杆的临界力。表表9-1的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度下的相当长度m m l。33材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 运用欧拉公式计算临界力时需要注意：运用欧拉公式计算临界力时需要注意：(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球例如球形铰形铰)，欧拉公式中的，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形应是杆的横截面的最小形心主惯

26、性矩心主惯性矩 Imin。(2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的所取用的I应与失稳应与失稳(或可能失稳或可能失稳)时的弯曲平面相时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销轴销34材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定对应于杆在对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，定，对应于杆在对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，铰支，而而取用的临界力值应是上列两种计

27、算值中的较小取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。者。xyz轴销轴销35材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 思考：思考：图图a、b所示细长所示细长中心压杆均与基础刚性连中心压杆均与基础刚性连接，但图接，但图a所示杆的基础置所示杆的基础置于弹性地基上，图于弹性地基上，图b所示杆所示杆的基础则置于刚性地基上。的基础则置于刚性地基上。试问两压杆的临界力是否试问两压杆的临界力是否均为均为？为什么？为什么？并由此判断压杆的长度因并由此判断压杆的长度因数数 m m 是否可能大于是否可能大于2。36材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定9-4 欧拉公式的应用范围

28、欧拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图I.欧拉公式应用范围欧拉公式应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限力不超过材料的比例极限s sp的情况。的情况。按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Fcr作作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按截面上的应

29、力可按s scrFcr/A来计算，亦即来计算，亦即37材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定式中，式中，s scr称为临界应力；称为临界应力；为压杆横截面为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；m ml/i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比称为压杆的长细比(slenderness)或柔度，记作或柔度，记作l l，即即 根据欧拉公式只可应用于根据欧拉公式只可应用于s scrs sp的的条件，由式条件，由式(a)知该应用条件就是知该应用条件就是亦即亦即或写作或

30、写作38材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定可见可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。度。对于对于Q235钢，按照钢，按照 E206 GPa，s sp 200 MPa，有有 通常把通常把l ll lp的的压杆，亦即能压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力够应用欧拉公式求临界力Fcr的压的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把而把l ll lp的的压杆，亦即不能应用压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。杆。39材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 图中用实线

31、示出了欧图中用实线示出了欧拉公式应用范围内拉公式应用范围内(l ll lp)的的s scr-l l曲线，它是一条曲线，它是一条双曲线，称为欧拉临界力双曲线，称为欧拉临界力曲线，简称欧拉曲线。曲线，简称欧拉曲线。需需要指出的是，由于实际压要指出的是，由于实际压杆都有初弯曲，偶然偏心杆都有初弯曲，偶然偏心和材质不匀，所以从实验和材质不匀，所以从实验数据来分析，可以应用欧数据来分析，可以应用欧拉公式求临界力的最小柔拉公式求临界力的最小柔度比这里算得的度比这里算得的l lp要大一要大一些。些。40材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定*II.研究小柔度压杆临界力的折减弹性模量理论研究

32、小柔度压杆临界力的折减弹性模量理论 工程中的绝大部分压杆为小柔度压杆，不能应工程中的绝大部分压杆为小柔度压杆，不能应用欧拉公式。研究小柔度压杆用欧拉公式。研究小柔度压杆（l ll lp）临界应力的临界应力的理论很多，此处介绍的折减弹性模量理论是其中之理论很多，此处介绍的折减弹性模量理论是其中之一。一。现现先以先以矩形截面小柔度钢压杆在矩形截面小柔度钢压杆在xy平面内失稳平面内失稳为例来探讨。为例来探讨。41材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 图图a所示为钢在压缩时的所示为钢在压缩时的s s-e e 曲线。曲线。当加载过程中应力当加载过程中应力s s 超过比例极限时，材料在

33、超过比例极限时，材料在某一应力水平下的弹性模量可应用切线模量某一应力水平下的弹性模量可应用切线模量Es s；而卸载时，材料的弹性模量由卸载规律可知，而卸载时，材料的弹性模量由卸载规律可知，它与初始加载时的弹性模量它与初始加载时的弹性模量E 相同。相同。42材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定(1)横截面上应力的变化情况横截面上应力的变化情况 按抽象的概念，小柔度按抽象的概念，小柔度中心压杆与大柔度中心压杆中心压杆与大柔度中心压杆一样，当一样，当F=Fcr时杆时杆既可在既可在直线状态下保持平衡，也可直线状态下保持平衡，也可在微弯状态下保持平衡。在微弯状态下保持平衡。小柔度压杆

34、在直线状态下保小柔度压杆在直线状态下保持平衡时其横截面上的应力持平衡时其横截面上的应力是均匀的，其值为是均匀的，其值为s scr=Fcr/A（图（图b）。）。43材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 当压杆在此应力水平下发生微弯时，中性轴一当压杆在此应力水平下发生微弯时，中性轴一侧侧(图图b中中 z 轴右侧轴右侧)横截面上产生附加拉应力，使横截面上产生附加拉应力，使原有的压应力原有的压应力s scr减小，故属于减载，附加弯曲拉减小，故属于减载，附加弯曲拉应力为应力为s st=Ey/r r (x)；中性轴另一侧横截面上产生中性轴另一侧横截面上产生附加应力，使原有的压应力附加应

35、力，使原有的压应力s scr 增大，故属于加载，附加增大，故属于加载，附加弯曲压应力为弯曲压应力为s sc=Es s y/r r(x)。因为因为EEs s，故微弯时中性轴故微弯时中性轴不通过横截面形心，它离左不通过横截面形心，它离左边缘的距离为边缘的距离为h1，离右边缘离右边缘的距离为的距离为h2。44材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定(2)中性轴的具体位置中性轴的具体位置 根据压杆由于微弯产生的正应力在横截面上不应根据压杆由于微弯产生的正应力在横截面上不应组成合力有组成合力有即即应有应有亦即要求亦即要求45材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定这就这就

36、要求要求注意到注意到h1+h2=h，由上式可解得由上式可解得46材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定(3)横截面上弯矩横截面上弯矩M(x)与曲率与曲率r(x)的的关系关系根据根据 有有上式中，上式中，Iz,1=bh13/3和和Iz,2=bh23/3都是都是z轴一侧的矩形对轴一侧的矩形对z轴的惯性矩。轴的惯性矩。47材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定由上式可得由上式可得为了表达方便，用为了表达方便，用I 来表示来表示bh3/12，于是有于是有为将为将上式表达为一般弯曲问题中上式表达为一般弯曲问题中 的形的形式，引入折减弹性模量式，引入折减弹性模量Er：(

37、b)48材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定于是有于是有亦即亦即或者说，挠曲线的近似微分方程为或者说，挠曲线的近似微分方程为 对于非矩形截面的小柔度压杆，其折减弹性模对于非矩形截面的小柔度压杆，其折减弹性模量可类似于上面所述的方法求得，而挠曲线方程的量可类似于上面所述的方法求得，而挠曲线方程的形式仍如式形式仍如式(c)所示。所示。(c)49材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定(4)小柔度压杆的临界力和临界应力表达式小柔度压杆的临界力和临界应力表达式 小柔度压杆的挠曲线近似微分方程小柔度压杆的挠曲线近似微分方程(c)与大与大柔度柔度压杆的压杆的 wM(x)

38、/EI 完全一致，可见对不同杆完全一致，可见对不同杆端约束下各种截面形状的小柔度压杆都有如下公式：端约束下各种截面形状的小柔度压杆都有如下公式：临界力临界力临界应力临界应力50材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定III.压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图 临界应力总图是指同一材料制作的压杆，其临界临界应力总图是指同一材料制作的压杆，其临界应力应力s scr随随柔度柔度l l 变化的关系曲线。变化的关系曲线。在在l ll lp的部分，有的部分，有欧拉公式欧拉公式s scr p p2E/l l2表达表达s scrl l关系；关系；但在压杆但在压杆柔度柔度l l很小时，由于该理

39、论存在的不足，计算很小时，由于该理论存在的不足，计算所得所得s scr可能会大于材料的屈服极限可能会大于材料的屈服极限s ss，故取故取s scr s ss。在在l ll lp的范围内可利的范围内可利用折减弹性模量理论公式用折减弹性模量理论公式s scr p p2Er/l l2表达表达s scrl l关系；关系；51材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定此外，该此外，该理论公式中有与截面形状相关的折减弹性理论公式中有与截面形状相关的折减弹性模量模量Er，故，故l l91，稳定稳定因数为因数为扒杆的扒杆的许用压力为许用压力为例题例题 9-470材料力学材料力学()电子教案电子教

40、案压杆的稳定压杆的稳定4.确定扒杆所能承受的许用压力确定扒杆所能承受的许用压力F因为因为 F2F1所以所以 F=77kN例题例题 9-471材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 厂房的钢柱由两根槽钢组成，厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力受轴向压力F=270 kN。根据杆根据杆端约束情况，该钢柱的长度因数端约束情况，该钢柱的长度因数取为取为m m1.3。钢柱长钢柱长7 m，材料材料为为Q235钢，强度许用应力钢，强度许用应力s s=170 MPa。该柱属于该柱属于b类类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截截面

41、中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有面上有4个直径为个直径为d0=30 mm的钉孔。试为该钢柱选的钉孔。试为该钢柱选择槽钢号码。择槽钢号码。例题例题 9-572材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定1.按稳定条件选择槽钢号码按稳定条件选择槽钢号码假设假设j j0.50，得到压杆的稳定许用应力为得到压杆的稳定许用应力为 按稳定条件选择槽钢的号码，就是先由稳定条件按稳定条件选择槽钢的号码，就是先由稳定条件 ，得得 ，然后由，然后由A的值查型钢表选的值查型钢表选择槽钢号码。现在的问题是槽钢的号码未定，惯性择槽钢号码。现在的问题是槽钢的号码未定，惯性半径半径i未知，不能由未

42、知，不能由 算出算出l l值，也无法确定值，也无法确定j j。通常用试算法选择槽钢号码。通常用试算法选择槽钢号码。例题例题 9-5解：解：73材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为由型钢表查得，由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为号槽钢的横截面面积为 A=18.51 cm218.5110-4 m2，而它对而它对z轴的惯性半轴的惯性半径为径为iz=5.52 cm=55.2 mm。下面来检查采用两根下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱号槽钢的组合截面柱其稳定因数其稳定因数j j 是否不小

43、于假设的是否不小于假设的j j 0.5。例题例题 9-574材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 注意到此组合截面对于注意到此组合截面对于z 轴轴的惯性矩的惯性矩 Iz 和面积和面积 A 都是单根槽都是单根槽钢的两倍，故组合截面的钢的两倍，故组合截面的iz 值就值就等于单根槽钢的等于单根槽钢的iz 值。于是有该值。于是有该组合截面压杆的柔度：组合截面压杆的柔度：例题例题 9-575材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定由表由表9-3(孙训方，孙训方，材料力学材料力学)查得，查得，Q235钢钢b类类截面中心压杆相应的稳定因数为截面中心压杆相应的稳定因数为j

44、j0.262。显然，显然，前面假设的前面假设的j j0.5这个值过大，需重新假设这个值过大，需重新假设j j 值再值再来试算；重新假设的来试算；重新假设的j j 值大致上取前面假设的值大致上取前面假设的j j0.5和所得的和所得的j j0.262的平均值为基础稍偏于所得的平均值为基础稍偏于所得j j 的值。的值。重新假设重新假设j j0.35，于是有于是有例题例题 9-576材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定试选试选16号槽钢，其号槽钢，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，从从而有组合截面压杆的柔度：而有组合截面压杆的柔度：由表由表9-3得得j j=0.3

45、11，它略小于假设的它略小于假设的j j0.35。现按现按采用采用2根根16号槽钢的组合截面柱而号槽钢的组合截面柱而j j0.311进行稳定进行稳定性校核。此时稳定许用应力为性校核。此时稳定许用应力为例题例题 9-577材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定按横截面毛面积算得的工作应力为按横截面毛面积算得的工作应力为 虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过过1.5，这是允许的。这是允许的。例题例题 9-578材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定2.计算钢柱两槽钢的合理间距计算钢柱两槽钢的合理间距 为了使组合截面压杆在

46、为了使组合截面压杆在xy和和xz平面内有相同稳定平面内有相同稳定性。又性。又由于钢柱的杆端约由于钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同，束在各纵向平面内相同，故要求组合截面的惯性矩故要求组合截面的惯性矩Iy=Iz。例题例题 9-579材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 如果如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则IyIz的条件可表达为的条件可表达为亦即亦即消去公因子消去公因子2A0后有后有例题例题 9-580材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定在

47、选用在选用16号槽钢的情况下，上式为号槽钢的情况下，上式为 由此求得由此求得 h81.4 mm。实际采用的间距实际采用的间距h不应小于此值。不应小于此值。例题例题 9-581材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定3.按钢柱的净横截面积校核强度按钢柱的净横截面积校核强度钢柱的净横截面积为钢柱的净横截面积为2A-4d dd0按净面积算得的用于强度按净面积算得的用于强度计算的工作应力为计算的工作应力为故钢柱满足强度条件。故钢柱满足强度条件。例题例题 9-582材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定 机械中的工字形截面连杆，两端为柱形铰，连机械中的工字形截面连杆，两

48、端为柱形铰，连杆如在杆如在xy平面内失稳，可取长度因数平面内失稳，可取长度因数m mz=1.0；在在xz平平面内失稳，则可取面内失稳，则可取m my=0.8。已知：连杆由已知：连杆由Q235钢锻钢锻造成型，它属于造成型，它属于a类截面中心压杆。该连杆承受的最类截面中心压杆。该连杆承受的最大轴向压力为大轴向压力为F=35 kN，材料的强度许用应力材料的强度许用应力s s=206 MPa。试校核其稳定性。试校核其稳定性。例题例题 9-683材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定z1.工字形截面面积工字形截面面积A和形心主惯性矩和形心主惯性矩Iz，Iy例题例题 9-6解：解：84材

49、料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定z例题例题 9-685材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定2.横截面对横截面对z轴和对轴和对y轴的惯性半径轴的惯性半径iz，iy例题例题 9-686材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定3.连杆的柔度连杆的柔度连杆两端在局部为矩形截面，它的形心主惯性矩为连杆两端在局部为矩形截面，它的形心主惯性矩为分别比工字形截面的分别比工字形截面的 Iz 和和 Iy 大了大了15.5和和126，Iy 远大远大于于Iy。例题例题 9-687材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定这就表明两端的矩形截面部分

50、对中间工字形截面部分这就表明两端的矩形截面部分对中间工字形截面部分在在xz平面内的弯曲位移起到明显的约束作用，故在按平面内的弯曲位移起到明显的约束作用，故在按工字形工字形截面的截面的Iy检算检算在在xz平面内的稳定性时取平面内的稳定性时取l2=580 mm作为连杆的长度。于是有作为连杆的长度。于是有例题例题 9-688材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定4.连杆的稳定性校核连杆的稳定性校核 按较大的柔度值按较大的柔度值l ly=68.9由由Q235钢钢a类截面压杆类截面压杆的的j jl l表，以内插法求得表，以内插法求得从而得稳定许用应力：从而得稳定许用应力：例题例题 9-