《2023届高考数学专项练习构造法求数列通项的八种技巧( 一 )含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习构造法求数列通项的八种技巧( 一 )含解析.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届高考数学专项练习届高考数学专项练习构造法求数列通项的八种技巧(一)【必备知识点】构造一:待定系数之a构造一:待定系数之an+1n+1=Aa=Aan n+B型构造等比数列+B型构造等比数列求关于a求关于an+1n+1=Aa=Aan n+B(其中A,B均为常数,AB(A-1)0)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为a+B(其中A,B均为常数,AB(A-1)0)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为an+1n+1+M=A a+M=A an n+M+M,再利用待定系数法求出M的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数 M,构造成等比数列.常数
2、 M的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.【经典例题1】,再利用待定系数法求出M的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数 M,构造成等比数列.常数 M的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.【经典例题1】已知 an满足a1=3,an+1=2an+1求数列 an的通项公式.【经典例题2】【经典例题2】已知数列 an中,a1=1,an+1=2an+3,求数列 an的通项公式.【经典例题3】【经典例题3】已知数列 an中,a1=1,an+1=3an+4,求数列 an的通项公式.【练习1】【练习1】数列 an中,an+1=2an-
3、1,a3=2,设其前n项和为Sn,则S6=()A.874B.634C.15D.27【练习2】【练习2】已知数列 an的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2018=()A.22018-1B.22018-6C.122018-72D.132018-103【练习3】【练习3】在数列 an中,a1=2,an+1=2an+1,则a5=_.【练习4】【练习4】已知数列 an满足a1=3,an+1=2an+1,则数列 an的通项公式an=_.【练习5】【练习5】已知数列 an的首项a1=2,且an+1=12an+12nN N*,则数列1an-1 的前10项的和为 _.【练习6】【练习6】已知数列 a
4、n中,a1=1,an+1=3an+2,则an=_.构造二:待定系数之a构造二:待定系数之an+1n+1=Aa=Aan n+Bn+C型构造等比数列+Bn+C型构造等比数列求关于an+1=Aan+Bn+C(A1,C0,B0)类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项Bn,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项 pn再构造等比数列就可以,即令 an+1+p(n+1)+q=A an+pn+q,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解 p,q,从而得到an+pn+q是公比为A的等比数列.【经典例题【经典例题1 1】设数列 an满足a1=4,an=3an-1+2n-1(n2)
5、,求数列 an的通项公式.【经典例题【经典例题2 2】已知:a1=1,n2时,an=12an-1+2n-1,求 an的通项公式.【练习【练习1 1】已知数列 an是首项为a1=2,an+1=13an+2n+53.(1)求 an通项公式;(2)求数列 an的前n项和Sn.【练习【练习2 2】已知数列 an和 bn,an的前n项和Sn,对于任意的nN N*,an,Sn是二次方程x2-3n2x+bn=0的两根.(1)求 an和 bn通项公式;(2)an的前n项和Sn.【练习【练习3 3】设数列 an是首项为 a1=1,满足 an+1=2an-n2+3n(n=1,2,).问是否存在,使得数列an+n2
6、+n成等比数列?若存在,求出,的值,若不存在,说明理由;构造三构造三:待定系数之待定系数之a an n+1 1=papan n+q qn n型构造数列型构造数列求关于an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)0)类型的通项公式时,共有3种方法.方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为an+1+qn+1=p an+qn,根据对应项系数相等求出的值,再利用换元法转化为等比数列求解.方法二:先在递推公式两边同除以qn+1,得an+1qn+1=pqanqn+1q,引入辅助数列 bn(其中bn=anqn),得bn+1=pqbn+1q,再利用待定系数法解决；方法二:也可以在原递推公式两边同
7、除以 pn+1,得an+1pn+1=anpn+1pqpn,引入辅助数列 bn(其中 bn=anpn),得bn+1-bn=1pq.pn,再利用叠加法(逐差相加法)求解.【经典例题【经典例题1 1】已知数列 an中a1=56,an+1=13an+12n+1,求 an的通项公式.【经典例题【经典例题2 2】已知数列 an满足an+1=2an+43n-1,a1=-1,求数列 an的通项公式.【练习【练习1 1】已知数列 an满足 a1=1,an+1=3an+2nnN N*,bn=an+1an.设 t Z Z,若对于 n N N*,都有 bn t恒成立,则t的最大值为()A.3B.4C.7D.9【练习【
8、练习2 2】已知数列 an满足a1=2,an+1=an+2n+2 nN N*.(1)判断数列 an-2n是否为等差数列,并说明理由;(2)记Sn为数列 an的前n项和,求Sn.【过关检测】【过关检测】一、一、单选题单选题1.已知Sn为数列 an的前n项和，若an+1=2an-2,S2=10，则 an的通项公式为()A.an=3n-4B.an=2n+2C.an=n2+nD.an=3n2-12.已知数列 an中，a1=1，an+1=2an+1，则数列 an的通项公式为()A.an=nB.an=n+1C.an=2nD.an=2n-13.已知数列 an满足a1=3，an+1=5an-8，则a2022的
9、值为()A.52021-2B.52021+2C.52022+2D.52022-24.设数列 an的前n项和为Sn，若Sn=2an-2n+1，则S10=()A.211-23B.210-19C.3210-23D.329-195.在数列 an中，a1=1，且an+1=2an+1，则 an的通项为()A.an=2n-1B.an=2nC.an=2n+1D.an=2n+16.数列 an中，an+1=2an+1，a1=1，则a100=()A.2100+1B.2101C.2100-1D.21007.数列 an满足12an=an+1-12n+1，且a1=12，若an980，则n的最小值是()A.8B.9C.10
10、D.1112.设数列an中，a1=2，an+1=2an+3，则通项an可能是()A.5-3nB.32n-1-1C.5-3n2D.52n-1-313.在数列 an中，若a1=2，an+1=3an+2n+1，则an=()A.n2nB.52-12nC.23n-2n+1D.43n-1-2n+114.已知在数列 an中，a1=56，an+1=13an+12n+1，则an=()A.32n-23nB.23n-32nC.12n-23nD.23n-12n15.数列 an满足an+1=2an+3,nN*，若a2017a1，则a1的取值范围为()A.(-,-3B.-3C.(-3,+)D.-3,+)二、二、填空题填空
11、题16.设数列 an满足a1=1，且an=3an-1+4 n2，则数列 an的通项公式为an=_.17.已知数列 an中，a1=1，an+1=2an+1，则 an通项an=_；18.数列an满足 a1=1，an+1=2an+1.(nN*).数列an的通项公式为_19.数列 an满足an=4an-1+3，且a1=0，则a6=_.20.已知数列 an满足an+1=2an+12，且 an前8项和为761，则a1=_三、三、解答题解答题21.已知数列 an满足a1=1,an+1=3an+2.(1)证明 1+an为等比数列，并求 an的通项公式；(2)记数列11+an 的前n项和为Sn，证明Sn34.2
12、2.已知数列 an满足a1=3,an+1=2an-2.(1)求 an的通项公式；(2)求 an的前n项和Sn.23.已知数列 an的首项a1=1，且1an+1=2an+1(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足anbn=n，求数列 bn的前n项和Sn24.在数列 an中，a1=5，且an+1=2an-1 nN*.(1)证明：an-1为等比数列，并求 an的通项公式；(2)令bn=(-1)nan，求数列 bn的前n项和Sn.25.已知数列 an的前n项和为Sn，a1=2，且an+1=2an+2(1)求数列 an的通项公式；(2)令bn=2 n+1an+2，记数列 bn的前n项和为Tn
13、，求证：Tn t恒成立,则t的最大值为()A.3B.4C.7D.9【答案】A【解析】解法一：因为an+1=3an+2n,所以an+12n=3an2n+1,所以an+12n+1=32an2n+12,所以an+12n+1+1=32an2n+1,因为a1=1,所以a121+1=32,所以数列an2n+1 是以32为首相以32为公比的等比数列,所以an2n+1=32n,所以an=3n-2n,故选A.解法二:令an+1+A2n+1=3 an+A2n,因为an+1=3an+2n,对比系数得:A=1,所以数列 an+2n是以3为首项,3为公比的等比数列,所以an+2n=3n,所以an=3n-2n,所以 bn
14、=an+1an=3n+1-2n+13n-2n=332n-232n-1n=3+132n-1,因为nN N*,所以32n-112.所以0132n-12,所以3t恒成立,所以t3,所以t的最大值为3,故选 A.【练习【练习2 2】已知数列 an满足a1=2,an+1=an+2n+2 nN N*.(1)判断数列 an-2n是否为等差数列,并说明理由;(2)记Sn为数列 an的前n项和,求Sn.【解析】(1)数列 an满足a1=2,an+1=an+2n+2 nN N*,所以 an+1-2n+1-an-2n=2.a1-2=0,所以数列 an-2n为等差数列,首项为0，公差为2.(2)由(1)可得:an-2
15、n=0+2(n-1),可得:an=2n+2(n-1),所以Sn=2 2n-12-1+2n(0+n-1)2=2n+1-2+n2-n【过关检测】【过关检测】一、一、单选题单选题1.已知Sn为数列 an的前n项和，若an+1=2an-2,S2=10，则 an的通项公式为()A.an=3n-4B.an=2n+2C.an=n2+nD.an=3n2-1【答案】B【解析】令n=1可得a2=2a1-2，又S2=a1+a2=10，解得a1=4，又an+1-2=2an-4=2(an-2)，则a1-2=2，an+1-2an-2=2，即 an-2是以2为首项，2为公比的等比数列，则an-2=22n-1，an=2n+2
16、.故选：B.2.已知数列 an中，a1=1，an+1=2an+1，则数列 an的通项公式为()A.an=nB.an=n+1C.an=2nD.an=2n-1【答案】D【解析】an+1=2an+1，an+1+1=2(an+1),又a1=1，a1+1=2，所以数列 an+1是首项为2，公比为2 的等比数列，所以an+1=22n-1，an=2n-1.故选：D.3.已知数列 an满足a1=3，an+1=5an-8，则a2022的值为()A.52021-2B.52021+2C.52022+2D.52022-2【答案】B【解析】因为an+1=5an-8，所以an+1-2=5(an-2)，又a1-2=1，所以
17、an-2是等比数列，公比为5，首项是1，所以an-2=5n-1，an=5n-1+2，所以a2022=52021+2故选：B4.设数列 an的前n项和为Sn，若Sn=2an-2n+1，则S10=()A.211-23B.210-19C.3210-23D.329-19【答案】C【解析】当n=1时，S1=a1=2a1-2+1，解得a1=1.当n2时，Sn-1=2an-1-2n+3，所an=Sn-Sn-1=2an-2n+1-2an-1-2n+3，即an=2an-1+2，所以an+2=2 an-1+2，即an+2an-1+2=2，所以数列 an+2是首项为3，公比为2的等比数列，则an+2=32n-1，从
18、而Sn=32n-2n-3，故S10=3210-23.故选：C5.在数列 an中，a1=1，且an+1=2an+1，则 an的通项为()A.an=2n-1B.an=2nC.an=2n+1D.an=2n+1【答案】A【解析】解：an+1=2an+1，an+1+1=2 an+1，由a1=1，得a1+1=2，数列 an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，an+1=22n-1=2n，即an=2n-1故选：A6.数列 an中，an+1=2an+1，a1=1，则a100=()A.2100+1B.2101C.2100-1D.2100【答案】C【解析】数列 an中，an+1=2an+1，故an+1+1=2 a
19、n+1，故an+10，所以an+1+1an+1=2，因为a1=1，所以a1+1=20，所以 an+1是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1=2n，即an=2n-1，故a100=2100-1，故选：C.7.数列 an满足12an=an+1-12n+1，且a1=12，若an13，则n的最小值为()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】因为12an=an+1-12n+1，等式两边同时乘以2n+1可得2nan=2n+1an+1-1，所以，2n+1an+1-2nan=1且2a1=1，所以，数列 2nan是等差数列，且首项和公差都为1，则2nan=1+n-1=n，所以，an=n2n，因为an+1
20、-an=n+12n+1-n2n=n+1-2n2n+1=1-n2n+1.当n=1时，a1=a2=12；当n2时，an+113，a4=1413；当n4时，an13.所以，an980，则n的最小值是()A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】因为an=2an-1-n+2 n2,nN+，所以an-n=2 an-1-n-1n2,nN+.因为a1=3，所以a1-1=2，所以数列 an-n是首项和公比都是2的等比数列，则an-n=2n，即an=2n+n,因为an-an-1=2n-1+10，所以数列 an是递增数列,因为a9=521980，所以满足an980的n的最小值是10,故选：C12.设数列an中
21、，a1=2，an+1=2an+3，则通项an可能是()A.5-3nB.32n-1-1C.5-3n2D.52n-1-3【答案】D【解析】设an+1+x=2 an+x，则an+1=2an+x，因为an+1=2an+3，所以x=3，所以 an+3是以a1+3为首项，2为公比的等比数列，an+3=52n-1，所以an=52n-1-3故选：D13.在数列 an中，若a1=2，an+1=3an+2n+1，则an=()A.n2nB.52-12nC.23n-2n+1D.43n-1-2n+1【答案】C【解析】令bn=an2n+2，则bn+1bn=an+12n+1+2an2n+2=3an+2n+12n+1+2an
22、2n+2=32，又b1=a12+2=3，所以 bn是以3为首项，32为公比的等比数列，所以bn=an2n+2=332n-1，得an=23n-2n+1故选：C14.已知在数列 an中，a1=56，an+1=13an+12n+1，则an=()A.32n-23nB.23n-32nC.12n-23nD.23n-12n【答案】A【解析】解:因为a1=56，an+1=13an+12n+1，所以2n+1an+1=232nan+1，整理得2n+1an+1-3=232nan-3，所以数列 2nan-3是以2a1-3=-43为首项，23为公比的等比数列所以2nan-3=-4323n-1，解得an=32n-23n故
23、选：A15.数列 an满足an+1=2an+3,nN*，若a2017a1，则a1的取值范围为()A.(-,-3B.-3C.(-3,+)D.-3,+)【答案】D【解析】由an+1=2an+3可得an+1+3=2 an+3，所以an+3=a1+32n-1所以an=a1+32n-1-3，所以a2017=a1+322016-3a1所以 a1+322016a1+3，所以a1+30，所以a1-3故选：D二、二、填空题填空题16.设数列 an满足a1=1，且an=3an-1+4 n2，则数列 an的通项公式为an=_.【答案】3n-2#-2+3n【解析】解：因为an=3an-1+4 n2，an+2=3 an
24、-1+2，an+2an-1+2=3，a1=1，则a1+2=3，数列 an+2是以3为首项，3为公比的等比数列.an+2=33n-1=3n，所以an=3n-2，故答案为：3n-217.已知数列 an中，a1=1，an+1=2an+1，则 an通项an=_；【答案】2n-1【解析】因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1),an+1+1an+1=2，所以 an+1是一个以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，所以an+1=22n-1=2n,an=2n-1.故答案为：2n-118.数列an满足 a1=1，an+1=2an+1.(nN*).数列an的通项公式为_【答案】an=2n-
25、1 nN*【解析】an+1=2an+1(nN*)，an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2 an+1是以2为首项，2为公比的等比数列an+1=2n即an=2n-1(nN*)故答案为：an=2n-1 nN*19.数列 an满足an=4an-1+3，且a1=0，则a6=_.【答案】1023【解析】由题意知：an+1=4an-1+4=4(an-1+1)，又a1+1=1，故 an+1是1为首项，4为公比的等比数列，故a6+1=a1+145=1024，故a6=1023.故答案为：1023.20.已知数列 an满足an+1=2an+12，且 an前8项和为761，则a1=_【答案】52#2.5【解析】
26、解：数列an满足an+1=2an+12，整理得an+1+12=2 an+12，若a1=-12，则an=-12，显然不符合题意，所以an-12，则an+1+12an+12=2(常数)；所以数列 an+12 是以a1+12为首项，2为公比的等比数列；所以an+12=a1+122n-1，整理得an=a1+122n-1-12；由于前8项和为761，所以S8=a1+12(1+2+.+27)-812=a1+121-281-2-4=255 a1+12-4=761，解得a1=52故答案为：52三、三、解答题解答题21.已知数列 an满足a1=1,an+1=3an+2.(1)证明 1+an为等比数列，并求 an
27、的通项公式；(2)记数列11+an 的前n项和为Sn，证明Sn34.【答案】(1)证明见解析，an=23n-1-1(2)见解析【解析】(1)证明：因为an+1=3an+2，所以an+1+1=3 an+1，又a1+1=2，所以数列 1+an是以2为首项，3为公比的等比数列，则an+1=23n-1，所以an=23n-1-1；(2)证明：由(1)得1an+1=123n-1，因为1an+1+11an+1=123n123n-1=13，1a1+1=12，所以数列11+an 是以12为首项，13为公比的等比数列，则Sn=12 1-13n1-13=341-13n，因为1-13n1，所以Sn34.22.已知数列
28、 an满足a1=3,an+1=2an-2.(1)求 an的通项公式；(2)求 an的前n项和Sn.【答案】(1)an=2n-1+2；(2)Sn=2n+2n-1.【解析】(1)an+1=2an-2，an+1-2=2 an-2 即an+1-2an-2=2数列 an-2是以首相为1，公比为2的等比数列，an-2=2n-1an=2n-1+2(2)由(1)知an=2n-1+2Sn=a1+a2+a3+an=20+2+21+2+22+2+2n-1+2=20+21+22+2n-1+2n=1 1-2n1-2+2n=2n+2n-123.已知数列 an的首项a1=1，且1an+1=2an+1(1)求数列 an的通项
29、公式；(2)若数列 bn满足anbn=n，求数列 bn的前n项和Sn【答案】(1)an=12n-1(2)Sn=n-12n+1+2-n n+12【解析】(1)1an+1=2an+1，等式两边同时加1整理得1an+1+1=21an+1又a1=1，1a1+1=21an+1 是首项为2，公比为2的等比数列1an+1=2n，an=12n-1(2)anbn=n，bn=nan=n2n-n.记 n2n的前n项和为Tn则Tn=121+222+323+n-12n-1+n2n所以2Tn=122+223+324+n-12n+n2n+1相减得-Tn=21+22+23+24+2n-n2n+1整理得Tn=n-12n+1+2
30、.所以Sn=n-12n+1+2-n n+1224.在数列 an中，a1=5，且an+1=2an-1 nN*.(1)证明：an-1为等比数列，并求 an的通项公式；(2)令bn=(-1)nan，求数列 bn的前n项和Sn.【答案】(1)证明见解析，an=2n+1+1(2)Sn=432n-1,n=2k,kN N*,-2n+2+73,n=2k-1,kN N*.【解析】(1)解：因为an+1=2an-1，所以an+1-1=2 an-1，又a1-1=4，所以an+1-1an-1=2，所以 an-1是以4为首项，2为公比的等比数列.故an-1=42n-1，即an=2n+1+1.(2)解：由(1)得bn=(
31、-1)n 2n+1+1，则bn=2n+1+1,n=2k,kN*-2n+1+1,n=2k-1,kN*，当n=2k,kN N*时，Sn=-22-1+23+1-24+1+-2n-1+2n+1+1=-22+23-24+25+-2n+2n+1=22+24+2n=432n-1;当n=2k-1,kN N*时，Sn=Sn+1-bn+1=432n+1-1-2n+2+1=-2n+2+73，综上所述，Sn=432n-1,n=2k,kN*-2n+2+73,n=2k-1,kN*25.已知数列 an的前n项和为Sn，a1=2，且an+1=2an+2(1)求数列 an的通项公式；(2)令bn=2 n+1an+2，记数列 b
32、n的前n项和为Tn，求证：Tn3【答案】(1)an=2n+1-2(2)证明见解析【解析】(1)解：因为a1=2，an+1=2an+2，所以an+1+2=2 an+2，所以 an+2是以4为首项，2为公比的等比数列，所以an+2=42n-1=2n+1，所以an=2n+1-2；(2)解：由(1)可知bn=2 n+1an+2=2 n+12n+1=n+12n，所以Tn=221+322+423+n+12n，所以12Tn=222+323+424+n+12n+1；-得12Tn=1+122+123+12n-n+12n+1=1+1221-12n-11-12-n+12n+1=32-n+32n+1所以Tn=3-n+32n3；