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1、高中数学 有关圆锥曲线的经典结论 有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.x0xy0yx2y2+2=1. +=15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2+2=1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点abxxyy弦P1P2的直线方程是02+02=
2、1.abx2y27. 椭圆2+2=1 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点abF1PF2=，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2=b2tan.2x2y28. 椭圆2+2=1（ab0）的焦半径公式：ab|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0) , F2(c,0)M(x0,y0).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N
3、，则MFNF.x2y211. AB是椭圆2+2=1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则abb2kOMkAB=-2，ab2x0即KAB=-2。ay0x2y2+=1内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在椭圆a2b2x0xy0yx02y02+2=2+2. 2ababx2y2+2=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在椭圆2abx2y2x0xy0y+=2+2. a2b2ab二、双曲线1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2. PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
4、轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2-2=1（a0,b0）上，则过P0的双曲线的切线方程abxxyy是02-02=1. abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线2-2=1（a0,b0）外 ，则过Po作双曲线的两条切abxxyy线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02-02=1.abx2y27. 双曲线2-2=1（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意ab2S=bcot一点F，则双曲线的焦点角形的面
5、积为. PF=F1PF2122x2y28. 双曲线2-2=1（a0,bo）的焦半径公式：(F1(-c,0) , F2(c,0)ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0+a,|MF2|=-ex0-a9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.x2y2
6、11. AB是双曲线2-2=1（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为ABabb2x0b2x0的中点，则KOMKAB=2，即KAB=2。ay0ay0x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线2-2=1（a0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的abx0xy0yx02y02方程是2-2=2-2.ababx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线2-2=1（a0,b0）内，则过Po的弦中点的轨迹方abx2y2x0xy0y程是2-2=2-2.abab椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭 圆x2y21. 椭圆2+2=1（abo）的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与
7、y轴平行的直abx2y2线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2-2=1.abx2y22. 过椭圆2+2=1 (a0, b0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直abb2x0线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC=2（常数）.ay0x2y23. 若P为椭圆2+2=1（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,abPF1F2=, PF2F1=，则a-c=tancot. a+c22x2y24. 设椭圆2+2=1（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上ab任意一点，在PF1F2中，记F1PF2=, PF1F2=,F1F2P=，则有
8、sinc=e.sin+sinax2y25. 若椭圆2+2=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0abe1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.x2y26. P为椭圆2+2=1（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，ab则2a-|AF2|PA|+|PF1|2a+|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.(x-x0)2(y-y0)2+=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是7. 椭圆a2b2A2a2+B2b2(Ax0+By0+C)2.x2y28. 已知椭圆2+2=1（ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆
9、上两动点，且OPOQ.ab4a2b2111122+=+;（1（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）SOPQ|OP|2|OQ|2a2b2a+b2a2b2的最小值是2.a+b2x2y29. 过椭圆2+2=1（ab0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦ab|PF|eMN的垂直平分线交x轴于P，则=.|MN|2x2y210. 已知椭圆2+2=1（ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分aba2-b2a2-b211. 设P点是椭圆2+2=1（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点ab2b22S=btan|PF|PF|=记F，则(1).(2) . PF=PF1
10、F2121221+cosx2y212. 设A、B是椭圆2+2=1（ ab0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，abPAB=, PBA=,BPA=，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2a2b22ab2|cos|2cot. (1)|PA|=2.(2) tantan=1-e.(3) SPAB=2222b-aa-ccosx2y213. 已知椭圆2+2=1（ ab0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点Fab的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直
11、.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线x2y21. 双曲线2-2=1（a0,b0）的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴abx2y2平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2+2=1.abx2y22
12、. 过双曲线2-2=1（a0,bo）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互abb2x0补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC=-2（常数）.ay0x2y23. 若P为双曲线2-2=1（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,abF 2是焦点, PF1F2=, PF2F1=，则c-a=taco（或c+a22c-a=taco）. c+a22x2y24. 设双曲线2-2=1（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）ab为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记F1PF2=,PF1F2=,F1F2P=，则有sinc=e.(sin-sin)ax2y25. 若双曲线
13、2-2=1（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，ab则当1e1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.x2y26. P为双曲线2-2=1（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线abP和内一定点，则|AF2|-2a|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且A,F2在y轴同侧时，等号成立.x2y27. 双曲线2-2=1（a0,b0）与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条ab22222件是Aa-BbC.x2y28. 已知双曲线2-2=1（ba 0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，ab且OPOQ. 4a2b2111
14、122（1（2）|OP|+|OQ|的最小值为2;（3）SOPQ+=-;b-a2|OP|2|OQ|2a2b2a2b2的最小值是2.b-a2x2y29. 过双曲线2-2=1（a0,b0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于ab|PF|eM,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则=.|MN|2x2y210. 已知双曲线2-2=1（a0,b0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的aba2+b2a2+b2垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或x0-.aax2y211. 设P点是双曲线2-2=1（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2ab2b2为其焦点记F，则(1)|PF1|PF2|=
15、.(2) 1PF2=1-cosSPF1F2=b2cot.2x2y212. 设A、B是双曲线2-2=1（a0,b0）的长轴两端点，P是双曲线上的ab一点，PAB=, PBA=,BPA=，c、e分别是双曲线的半焦距2ab2|cos|离心率，则有(1)|PA|=2.|a-c2cos2|2a2b22cot. (2) tantan=1-e.(3) SPAB=2b+a2x2y213. 已知双曲线2-2=1（a0,b0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲ab线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以
16、长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：AB=1-x
17、2=y1-y2 (A,B不同时为0)的形式。2、直线的一般式方程：任何直线均可写成3、知直线横截距与直线，常设其方程为垂直的直线可表示为(它不适用于斜率为0的直线)。4、两平行线5、若直线则6、圆的一般方程：（斜率）且与直线（在间的距离为平行。轴上截距） （充要条件），特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程条件是且且。表示圆的充要7、圆的参数方程：的参数方程的主要应用是三角换元：8、切线长：过圆的切线的长为（为参数），其中圆心为，半径为。圆；为直径端点的圆方程（）外一点）所引圆9、弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：共弦)系为在直线方程.。，当；过两圆时，方程、交点的圆(公为两圆公共弦所 18